第1講立體幾何中的向量方法、拋物線專題八

附加題板塊三專題突破核心考點[考情考向分析]1.利用空間向量的坐標(biāo)判定線面關(guān)系，求異面直線、直線與平面、平面與平面所成的角，其中求角是考查熱點，均屬B級要求.2.考查頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，A級要求.熱點分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點分類突破例1

(2018·淮安等四市模擬)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F(xiàn)，G分別是AA1，AC和A1C1的中點.以

為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F－xyz.熱點一利用空間向量求空間角解答(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值；解因為AB＝1，AA1＝2，則F(0,0,0)，記異面直線AC與BE所成的角為α，(2)求二面角F－BC1－C的余弦值.解答解設(shè)平面BFC1的法向量為m＝(x1，y1，z1),取x1＝4得，m＝(4,0,1).設(shè)平面BCC1的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)，所以cos〈m，n〉根據(jù)圖形可知二面角F－BC1－C為銳二面角，利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.思維升華解答跟蹤演練1

(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，AC⊥BC,O為AB中點，且DC⊥平面ABC,DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.(1)求直線AD與CE所成角；∵AC＝BC＝BE＝2，∴C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，∴AD與CE的夾角為60°.解答(2)求二面角O－CE－B的余弦值.解平面BCE的法向量m＝(0，1，0)，設(shè)平面OCE的法向量n＝(x0，y0，z0).取x0＝－1，則n＝(－1，1，1).∵二面角O－CE－B為銳二面角，記為θ，熱點二拋物線解答例2

(2018·南通模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點T(1，t)(t<0)到拋物線y2＝2px(p>0)焦點的距離為2.(1)求p，t的值；將點T(1，t)(t<0)代入拋物線y2＝4x，得t＝－2.證明(2)設(shè)A，B是拋物線上異于點T的兩個不同點，過A作y軸的垂線，與直線TB交于點C，過B作y軸的垂線，與直線TA交于點D，過T作y軸的垂線，與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn).求證：①直線CD的斜率為定值；故直線CD的斜率為定值.證明②T是線段EF的中點.證明設(shè)點E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)分別為xE，xF，所以T是線段EF的中點.對于拋物線試題，解題關(guān)鍵是聯(lián)立方程組，構(gòu)造方程，應(yīng)用拋物線的定義及幾何性質(zhì)進(jìn)行分析求解，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題要注意分類討論.思維升華解答跟蹤演練2

(2018·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(1，a)(a>0)是拋物線C上一點，且AF＝2.(1)求p的值；解因為點A(1，a)(a＞0)是拋物線C上一點，解答(2)若M，N為拋物線C上異于A的兩點，且AM⊥AN.記點M，N到直線y＝－2的距離分別為d1，d2，求d1d2的值.解由(1)得拋物線方程為y2＝4x.因為點A(1，a)(a＞0)是拋物線C上一點，所以a＝2.設(shè)直線AM的方程為x－1＝m(y－2)(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).即(y－2)(y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2.真題押題精練解答1.(2018·江蘇)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點.(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.解答設(shè)n＝(x，y，z)為平面AQC1的一個法向量，設(shè)直線CC1與平面AQC1所成的角為θ，解答2.(2018·鹽城模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O,OP⊥底面ABCD，點M為PC中點，AC＝4，BD＝2，OP＝4.(1)求直線AP與BM所成角的余弦值；解因為ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD，以O(shè)為原點，直線OA，OB，OP

分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則A(2，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，4)，C(－2，0，0)，M(－1，0，2).解答(2)求平面ABM與平面PAC所成銳二面角的余弦值.設(shè)平面ABM的一個法向量為n＝(x，y，z)，得平面ABM的一個法向量為n＝(2，4，3).解答3.(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0).(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；解∵l：x－y－2＝0，∴l(xiāng)與x軸的交點坐標(biāo)為(2,0).∴拋物線C的方程為y2＝8x.證明(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q.①求證：線段PQ的中點坐標(biāo)為(2－p，－p)；證明設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2).又∵P，Q關(guān)于l對稱.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴線段PQ的中點坐標(biāo)為(2－p，－p).解答②求p的取值范圍.解∵PQ的中點為(2－p，－p)，解答4.(2018·徐州質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動直線l交拋物線C：y2＝4x于點P，點F為C的焦點.圓心不在y軸上的圓M與直線l,PF,x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；解因為拋物線C的方程為y2＝4x，所以F的坐標(biāo)為(1，0)，設(shè)M(m，n)，因為圓M與x軸、直線l都相切，l平行于x軸，所以圓M的半徑為|n|，點P(n2,2n)，所以E的方程為y2＝x－1(y≠0).解答(2)若直線l1與曲線E相切于點Q