多選題加練（七）立體幾何與空間向量

1.（2024?常德模擬）已知平面a,B，直線/,m,則下列命題正確的是（）

A.若a_LA，aCB=m,lua,則/_1_夕

B.若a〃A，lua,muB,則/〃加

C.若機(jī)ua,則是“/，機(jī)”的充分不必要條件

D.若mua,IQa,則“/〃a”是“/〃機(jī)”的必要不充分條件

答案ACD

解析由面面垂直的性質(zhì)定理可知A正確；

對(duì)于B,若a〃夕，Zca,mu8,則/〃機(jī)，或者/,機(jī)異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若機(jī)ua,l_La,則/_1_機(jī)，故充分性成立，

但是/m，mua,不能得到/_La,故C正確；

對(duì)于D,若mua,l（ta,I//a,不能得到/〃機(jī)，

因?yàn)?,機(jī)有可能異面，但是/〃機(jī)，mea,Ma,則/〃a,故D正確.

2.（2024.十堰模擬）《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做

塹堵，在如圖所示的塹堵中，BJ）=2DCi,貝U（)

A.AZ）=AAI+|AB+|AC

B.AD=AAI+^AB+^AC

o

c.向量Ab在向量檢上的投影向量為嚴(yán)

D.向量量）在向量危上的投影向量為聲

答案BD

f—>—>rr

解析因?yàn)锳D=AAiB\D—AA\+^BiCi=AAiA\B\+^（AiCi-

ALBI）=AAI+^AB+^4C,故A不正確，B正確；

如圖所示，故。作。。垂直3C,過。作VU垂直AB,UW垂直AC,

故向量助在向量協(xié)上的投影向量為筋，向量助在向量危上的投影向量為4W,

由題意易得第=/4^=|,

故亦=|■檢，C不正確；

—2f

AW=^AC,D正確.

3.（2024?梅州模擬）已知正方體A3CD—ALBICLDI的棱長為2,。1為四邊形ALBCLDI

的中心，尸為線段A。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為線段CDi上一點(diǎn)，若三棱錐Q—P3D

的體積為定值，則（）

A.DQ=2QCiB.DQ=QCi

C.OiQ=^2D.OiQ=y[3

答案BC

解析連接AC,BD,交3。于點(diǎn)。，連接。Ci,

AB

因?yàn)椤?為四邊形AiBCbDi的中心，

所以AOi〃OCi,

又。Ciu平面3DG,AOU平面3D。，

所以AOi〃平面BDCi,

因?yàn)槿忮FQ—PBD的體積等于三棱錐尸一Q3D的體積，且為定值,

所以AOi〃平面QBD,

所以平面QBD與平面BDCi為同一平面，

所以。為CDi與DG的交點(diǎn)，

所以DQ=QC，故A錯(cuò)誤，B正確;

因?yàn)檎襟w的棱長為2,

所以。iQ=嚴(yán)”=/，故C正確，D錯(cuò)誤.

4.（2024.西安模擬）沙漏，據(jù)《隋志》記載：“漏刻之制，蓋始于黃帝它是古代

的一種計(jì)時(shí)裝置，由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始

時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱

為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均

2

為6cm,細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的）（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)該

沙漏每秒鐘漏下0.02cn?的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏

底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是（）

A.沙漏的側(cè)面積是9小兀cm2

B.沙漏中的細(xì)沙體積為竽cm3

C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是837秒（兀心3.14）

答案BD

解析A中，設(shè)下面的圓錐的母線長為/,

則I=yj32+62=3^5cm,

故下面圓錐的側(cè)面積為

S=nrl=3X3y[5n=9y[5ncm2,

故沙漏的側(cè)面積為2s=18小71cm2,故A錯(cuò)誤；

2

B中，因?yàn)榧?xì)沙全部在上部時(shí)，高度為圓錐高的學(xué)

22

所以細(xì)沙形成的圓錐底面半徑為§義3=2cm,高為6X-=4cm,

故底面積為兀。2=4兀cm2,

所以沙漏中的細(xì)沙體積為]x4兀X4=^^cm3,B正確；

C中，由B選項(xiàng)可知，細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的體積為竽cm3,其中

3*竽16

此錐體的底面積為加32=9兀，故高度為一面一=-^-%1.8cm,C錯(cuò)誤；

中,華?16X3.14

D:0.02837秒，故該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是837秒，D正確.

3X0.02

5.（2024?合肥模擬）如圖，在直三棱柱ABC—ALBCI中，AB=AC=y[3,BC=1,AAi

=3,點(diǎn)航在線段33上，且3iM=2Affi,N為線段Ci航上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.當(dāng)N為的中點(diǎn)時(shí)，直線AN與平面ABC所成角的正切值為千

B.當(dāng)MN=2NCi時(shí)，BN〃平面ACM

C.AAC2V的周長的最小值為3小

D.存在點(diǎn)N,使得三棱錐N-AMC的體積為苗

答案BD

解析對(duì)于A,當(dāng)N為的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)P,連接PN,AP,

易知PN〃CCi,CCi,平面ABC,

則平面ABC,故N/W為直線AN與平面ABC所成的角，

PN2（"3+CC1）1+34、

則tan/B4N=Q=面二而=而’故人錯(cuò)誤;

2

對(duì)于B,當(dāng)MN=2NCi時(shí)，延長BN交CG于點(diǎn)Q,此時(shí)霽=祟=；，

JLJilVJ.1VJ.1V乙

所以CiQ=l,CQ=2,所以CQ=3iM.

又CQ〃田所以四邊形CQBi般是平行四邊形，

所以CM〃3Q,即CM〃囪N.

因?yàn)锽iNC平面ACM,CMu平面ACM,所以3iN〃平面ACM,故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)N與〃重合時(shí)，易知AN=2,CN=y[2,

此時(shí)△ACN的周長為2+6+小，顯然有2+也十小<3小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,取3C的中點(diǎn)P,連接AP,

、伍

易知AP,平面BCCLBI,AP=^,

若三棱錐N-AMC的體積為千，

即v—近

即VN-AMC—$，

所以々ACMN，,所以ACMN

5SA0PS=11

13

因?yàn)镾^CMCI=1X3X1=2>5ACMW=1,

所以存在點(diǎn)N,使得三棱錐N—AMC的體積為千，故D正確.

6.(2024?煙臺(tái)模擬)三棱錐V—A3C中，底面ABC,側(cè)面VAC均是邊長為2的等邊

三角形，平面ABC,平面以C,尸為AC的中點(diǎn)，貝1]()

A.VB±AC

B.VA與BC所成角的余弦值為；

C.點(diǎn)P到VB的距離為坐

D.三棱錐V—ABC外接球的表面積為半

答案ACD

解析連接VP,BP,

因?yàn)椤鰽BC和△必C為等邊三角形，P為AC中點(diǎn)，

所以ASVP,ACLBP,

因?yàn)閂PCBP=P,VP,3Pu平面VP3,

所以AC,平面VPB,

因?yàn)閂Bu平面VPB,

所以VB1AC,故A正確；

因?yàn)槠矫鍭BCmVAC,平面ABCn平面VAC=AC,VP±AC,VPu平面VAC,

所以VP，平面ABC,

以P為原點(diǎn)，分別以必，PB,PV為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

A(l,0,0),V(0,0,5),

3(0,小，0),C(-l,0,0),

該=（1,0,一?。珺C=（-1,一小，0）,

設(shè)必與3C所成角為仇

斫“aI談?病ILU1為口排火

所以cos0___一°x0—A,故B錯(cuò)誤：；

\VA\\BC\z2

因?yàn)閂P,平面ABC,BPu平面ABC,

所以VP±BP,

因?yàn)椤鰽BC和△必C的邊長為2,

所以VP=BP=y[3,

在等腰直角中，VP=BP=y[3,

所以點(diǎn)P到VB的距離為小X^=坐，故C正確；

分別取△ABC和△以C的外心。2,01,再分別過。2,。1作平面A3C,平面用C

的垂線交于點(diǎn)。，所以。為三棱錐V—ABC的外接球球心，

OCh=OiP=；VP=*,B02=：Bp￡^,

20兀

三棱錐V-ABC的外接球的表面積為4TIX故D正確.

7.（2024?長沙調(diào)研）已知正方體ABCD—ALBCIDI的棱長為2,點(diǎn)E,F,G分別是

線段3Ci,CDi,ALBI的中點(diǎn)，則()

A.DE±BG

B.AR〃平面BCiG

C.直線AB與平面BCiG所成的角的余弦值為竽

D.過點(diǎn)F且與直線DE垂直的平面a,截該正方體所得截面的周長為3小十表

答案ACD

解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,DDi分別為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，如圖

所示，

D(0,0,0),E(l,2,1),

BQ,2,0),G(2,1,2),

A(2,0,0),F(0,1,1),Ci(0,2,2),

：.DE=(1,2,1),BG=(0,-1,2),

VDEJBG=1XO+2X(-1)+1X2=O,

：.DE±BG,故A正確；

BCi=(-2,0,2),BG=(0,-1,2),AF=(-2,1,1),

設(shè)平面BCiG的法向量為〃=(xi,yi,zi),

BCi-n—Q,—2xi+2zi=0,

則即《

〔一

BGn=0,yi+2zi=0,

令zi=l,則xi=l,yi=2,則〃=(1,2,1),

VAF-n=(-2)X1+1X2+1X1=1^0,

...AR與平面BCiG不平行，故B不正確;

AB=(0,2,0),設(shè)直線A3與平面BCiG所成的角為a,

ri,一、\AB-n\4A/6

則sma=|cos{AB,〃〉|=-----=^f7=q>

\AB\\n\2xXzV63

cosa=gi-sin2a=9,故C正確；

Vn=DE,...DE，平面BCG,

取X,T為AiDi,AAi的中點(diǎn),

如圖所示，則WDi=CV=AU=^,

由幾何關(guān)系可知，WX〃儀7,WV//TU,

則WXTUV組成一個(gè)平面，

由3G〃TU,BC1//TX,TU,7X均在平面WXTUV內(nèi)，

則DEL平面WXTUV,即過點(diǎn)歹且與直線DE垂直的平面a,截該正方體所得截

面為如圖所示的平面WXTUV,則截面WXTUV的周長為

WX+XT+TU+uv+vw=+i+Vi+i+AJ出+1+百+1+百+1

=375+72,故D正確.

8.（2024.南通質(zhì)檢）已知A3為圓錐S。底面圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異于A,B

的一點(diǎn)，N為SA的中點(diǎn)，SA=5,圓錐S。的側(cè)面積為15兀，則下列說法正確的

是（）

A.圓。上存在點(diǎn)M使MN〃平面SBC

B.圓。上存在點(diǎn)M使AM,平面SBC

C.圓錐SO的外接球表面積為喂

D.棱長為加的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)

答案ACD

解析對(duì)于A,如圖，過點(diǎn)。作0M〃3C,交劣弧念于點(diǎn)連接ON,

由于N,。分別為SA,A3的中點(diǎn),

所以O(shè)N〃SB,

又ONC平面SBC,OAfi平面SBC,S3u平面SBC,3Cu平面SBC,

所以O(shè)N〃平面SBC,0M〃平面SBC,

又0MC0N=0,所以平面。肱V〃平面SBC.

又MNu平面0MN,所以MN〃平面SBC,故A正確；

對(duì)于B,假設(shè)圓。上存在點(diǎn)M使AM,平面SBC,SBu平面SBC,所以AMLSB.

又因?yàn)镾。，平面ABC,AMu平面ABC,

所以AMLS。，

又S0nS3=S,所以AM,平面SOB,

又AM,平面SBC,

所以平面S03〃平面SBC,而平面SOBA平面SBC=SB,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,如圖，已知SA=5,圓錐S。的側(cè)面積為S=7iXAOXSA=157i,解得A。

=3,則50=4,

由題意可知球心在S。上，記為O,設(shè)其半徑為七

由勾股定理得0A2+。。，2=。幺2,

所以32+(4—尺)2=尺2,解得R=W25，

所以圓錐S。的外接球表面積為4兀火2=鬻，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)圓錐S。的內(nèi)切球半徑為廣，則圓錐的軸截面SAB內(nèi)切圓的半徑為廣,

SA=5,A0=3,則S0=4,

113

如圖，由等面積法知了八(6+5+5)=5乂6*4,『力

S

AOB

3

設(shè)半徑為廠=]的球的內(nèi)接正四面體棱長為a.

如圖，T為正四面體底面中心，K為正四面體外接球球心,

PT=^a,LT=^-a,

則r=PT2+(LT-r)2,

解得。=小，故D正確.

9.（2024.成都診斷）在棱長為1的正方體A3CD—A向CQ中，點(diǎn)P滿足與^^十

xAAi+yAD,%￡[0,1],y?[0,1],則（）

A.當(dāng)尤=1時(shí)，DiP+BP的最小值為小

B.當(dāng)x=y時(shí)，有且僅有一點(diǎn)尸滿足，4尸

C.當(dāng)x+y=l時(shí)，有且僅有一點(diǎn)P滿足到直線ALBI的距離與到平面ABC。的距離

相等

D.當(dāng)爐+產(chǎn)=1時(shí)，直線AP與CDi所成角的大小為定值

答案ACD

解析如圖所示，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),3(0,1,0),

C(l,1,0),D(l,0,0),

Ai(0,0,1),5(0,1,1),

Ci(l,1,1),Di(l,0,1),

則協(xié)=(0,1,0),xAAi=(0,0,x),yAD=(y,0,0),

則成=屈+工筋i+yAb=(y,1,x),

P(y,1,x).

對(duì)于A,當(dāng)x=l時(shí)，P(y,1,1)為線段BQ上的點(diǎn)，

將平面AI1C1D1和平面BCC131展開為同一個(gè)平面，如圖,

A,B,B

p

連接DiB,則DiP+BP的最小值即為DIB=、DIC2+BC2=&故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x=y時(shí)，P(x,1,x),

DBi=(-l,1,1),A^P=(x,1,x-1),

則擊瓦>=—x+l+x—l=O,

即DBLAP,即滿足條件的尸點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)x+y=l時(shí)，y=l~x,

則尸(1—x,1,x),A75I=(0,1,0),W>=(1—尤，1,x-1),而>|=,3+2.一4x,

則出力在A宓1上的投影長度為

\ATP-A^i\1,

|A^i|一「，

則點(diǎn)P到直線AiBi的距離公弋人評(píng)—「母―4x+2；

平面A5CD的一個(gè)法向量為筋i=(0,0,1),AP=(l-x,1,x),

則點(diǎn)尸到平面ABCD的距離為但&叫=》；

IAA1I

當(dāng)點(diǎn)尸到直線AiBi的距離與到平面ABCD的距離相等時(shí)，

^/2x2—4x+2=x=>x2—4x+2=0,

Vxe[0,1],.?.方程有一個(gè)解x=2—陋，

即尸巾—1,即僅存在一個(gè)點(diǎn)尸滿足條件，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)％2+>2=1時(shí)，AP=(y,1,x),Clbi=(0,-1,0),

Vcos（AP,Gbi）=竺CC

|AP||Obi|

_-i_

.K+I+N2，

故直線AP與CD所成角的大小會(huì)為定值，故D正確.

10.（2024?寧波調(diào)研）在正四棱柱ABC。一A山CLDI中，A4i=2AB=2,點(diǎn)尸滿足N

=ACb+/zCCi,Ae[0,1],〃?[0,1],則（）

A.當(dāng)2=1,〃=3時(shí)，直線CP與AP所成角為60。

B.當(dāng)4=1時(shí)，AP+尸。的最小值為小+1

C.若BiP與平面CDDiCi所成角為45°,則P點(diǎn)的軌跡長為為

D.當(dāng)〃=1時(shí)，平面ALPB截此正四棱柱所得截面的最大面積為小

答案ACD

解析對(duì)于A,當(dāng)7=1,〃=g時(shí)，點(diǎn)P為￡>￡>1的中點(diǎn)，

所以AP=①產(chǎn)萬聲=表,CP=NC?+DP2="AC=y/CD2+AD2=^2,

所以△ACP為等邊三角形，

所以直線CP與AP所成角為60。，A正確；

對(duì)于B,當(dāng)7=1時(shí)，點(diǎn)P在。Di上，此時(shí)把正