§3.5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值

（分值:80分）

ID知識(shí)過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分）

1.已知函數(shù)/（x）=-x+2sinx,%e[0,7t],則函數(shù)外）的最大值為（）

A.0B.2T

C.用D.電

36

答案C

解析/(x)=-x+2sinx，工￡[0,兀],

?**fXx)=-1+2cosx,

令/(x)=0，得x=，

?V削嗎，

又的)=0，角0=-兀，

.".Xx)max=fQ)=V3-^.

2.函數(shù)AkGx-De2叩勺最小值為()

431

A.-3e-3B.-je-3C.O

答案B

解析由/（X）=（3x-l）e2x，得尸（x）=（6久+l）e級(jí),

令/?）＜0，得x＜_；令/（x）＞0，得x＞一,所以函數(shù)m）在（一8,-§上單調(diào)遞減，在（一3，+8）上單調(diào)

遞增，

所以｛工）=（3》-1短的最小值為-?1）e-j|eN

3.已知函數(shù)八x）=lnx+ax在（0,1）上有最大值，則a的取值范圍是（）

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(-8,-1)D.(-l,0)

答案C

解析因?yàn)閥(x)=1+a,x>0,

所以當(dāng)。20時(shí),/f(x)>0恒成立，

故人x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，不存在最大值；

當(dāng)a<0時(shí)，令/（x）=0,得x=3,

所以當(dāng)在（0,-￡）時(shí)，/3>0,函數(shù)啟）單調(diào)遞增，當(dāng)xe（—卜+8）時(shí)，/?）<0,函數(shù)/）單調(diào)遞減，

所以大X）max=/,

所以0—1,解得好】

4.某海上油田/到海岸線（近似直線）的垂直距離為10海里，垂足為8,海岸線上距離8處100海里有一原

油廠C,現(xiàn)計(jì)劃在3C之間建一石油管道中轉(zhuǎn)站M已知海上修建石油管道的單位長度費(fèi)用是陸地上的3倍,

要使從油田A處到原油廠C修建管道的費(fèi)用最低，則中轉(zhuǎn)站〃到5處的距離應(yīng)為（）

A.5魚海里B.苧海里

C.3a海里D.10夜海里

答案B

解析設(shè)8M=x（0<x<100）,并設(shè)陸地上修建石油管道的單位長度費(fèi)用為1,

則AM=1100+X2,AfC=100-x,

所以總費(fèi)用為外）=3400+N+IOOROCXUOO）,貝,

V100+X2

令/。）>0,則笠”100,

即危）在（竽，100）上單調(diào)遞增；

令/（x）<0,則0<x等，

即危）在（0,苧）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x卷時(shí),人x）取得最小值.

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

5.已知定義在R上的函數(shù)?。?，其導(dǎo)函數(shù)一（x）的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）

卜電）磯b）<g

B.函數(shù)人x）在尸c處取得最大值，在x=e處取得最小值

C.函數(shù)J（x）在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)人x）的最小值為處7）

答案AC

解析由題圖可知，當(dāng)xWc時(shí)，/(x)20,

所以函數(shù)人r)在(-8，可上單調(diào)遞增，

又a<b<c,所以大a)勺。)勺(c),故A正確；

因?yàn)?(c)=0，/(e)=0,

且當(dāng)x<c時(shí)，/(x)>0；

當(dāng)c<x<e時(shí),/(無)<0；

當(dāng)介e時(shí),f'(x)>0.

所以函數(shù)人x)在x=c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x=e處取得極小值，但不一定是最小值，故B

不正確，C正確；

由題圖可知，當(dāng)時(shí),所以函數(shù)人x)在［d,e］上單調(diào)遞減，從而次辦次e),故D不正確.

6.(2025?莆田模擬)已知函數(shù)兀r)=(x2-3x+l)e\則下列說法中正確的是()

A/x)在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.7(x)無最大值、無最小值

C.義x)有最小值、無最大值

D.函數(shù)/(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn)

答案AC

解析:TCx)的定義域?yàn)镽,

f,(%)=(x2-x-2)eJC=(x-2)(x+1)6^,

.?.當(dāng)xe(-8,，i)u(2,+8)時(shí)；當(dāng)—2)時(shí),f'(x)<0,

.?凡)在(-8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(一1,2)上單調(diào)遞減，

??必)的極大值為R1)=1,極小值為人2)…2,

當(dāng)x<0時(shí)，x2-3x+l>0,6^>0,

.?.加)>0在(-8,0)上恒成立,

可作出加)的圖象如圖所示，

對(duì)于A,?v）的極大值點(diǎn)為-1,極小值點(diǎn)為2,A正確；

對(duì)于B,C，人-1）不是段）的最大值，人2）是7（x）的最小值，B錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)于D,由圖象可知，/）在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.已知函數(shù)y=（x+a）e"的最小值為-1,則實(shí)數(shù)a=.

答案-1

解析y-Cx+a+l）^,

當(dāng)xd（-8，-q-1）時(shí)，y'<Q,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe（3l,+8）時(shí)，戶0,函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=-a-l時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值，為七門,

故,所以a=-l.

8.（2024雅安模擬）已知<x）=lnx,g（x）=x,若人加尸g（“）,則m-n的最小值為.

答案1

解析由題設(shè)八〃z）=g（"）=：,則Inm=n=t,

z

得m=ezn=t,貝!]m-n=d-t,

設(shè)/z（x）=e\x,〃'（x）=eM,

令〃'（x）=0，得x=0,

當(dāng)xe（-8,o）時(shí)，〃（了）<0,g）單調(diào)遞減,當(dāng)x?（0,+8）時(shí)，6Q）>o,g）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，A（0）=l,

所以怔力的最小值為1.

四、解答題（共28分）

9.（13分）小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該小

型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，當(dāng)年產(chǎn)量為x萬件時(shí)，需另投入流動(dòng)成本以x）萬元.已知在年產(chǎn)量不

足4萬件時(shí)，fT（x）=jx3+2x,在年產(chǎn)量不小于4萬件時(shí)，用（x）=7x嚀-27.每件產(chǎn)品售價(jià)6元.通過市場(chǎng)分析，

小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.

⑴寫出年利潤尸（x）（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)解析式；（年利潤=年銷售收入一年固定成

本-流動(dòng)成本）（6分）

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（7分）

解（1）由題意,當(dāng)0<x<4時(shí)，尸（x）=6x-2-（gx3+2X^=-|X3+4X-2；

當(dāng)x24時(shí)，P(x)=6x-2-［lx+，-27)=25-x1.

f--%3+4%—2,0<x<4,

3

所以P(x尸64

I25-x---1%>4.

(2)當(dāng)0<x<4時(shí)，尸。尸-/+4,

令P(x尸0,解得x=2.

易得P(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)0<X<4時(shí)，尸(X)max=P⑵岑

當(dāng)x24時(shí)，尸(工尸25-(久+?)W25-2Jx,^=9,當(dāng)且僅當(dāng)x4,即x=8時(shí)取等號(hào).

綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤最大，最大年利潤是9萬元.

10.(15分)設(shè)函數(shù)/(x—N+ax-lnx,a^R.

⑴若函數(shù)<x)在［1,2］上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；(6分)

⑵令g(x)=/(x)-x2,是否存在實(shí)數(shù)。，使得當(dāng)xd(o,e］(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是3,若

存在，求出。的值；若不存在，說明理由.(9分)

.?.當(dāng)問1,2］時(shí)J，(x)W0恒成立,

即2N+QX-1W0恒成立，

即a〈-2x+i恒成立,

X

又函數(shù)尸-2x曲［1,2］上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=2時(shí)，(-2x+-)=4,

\X，min」

故a的取值范圍是(-8,-1］.

(2)\*f(x)=x2+ax-\nx,a￡R,

g(x)=f(x)-x2=ax-lnx,x￡(0,e］,

1ny—1

f

g(x)=a--x(0<xe),

當(dāng)時(shí)，g(x)在(0,e］上單調(diào)遞減,

g(x)min=g(e)=ae-1=3,

解得a=-,不合題意，舍去；

e

當(dāng)0<i<e,xe(0,，寸，g@)<0,g(x)在(0,今上單調(diào)遞減，當(dāng)xe弓，e］時(shí)，g?)>0,g(x)在弓，e］上單

調(diào)遞增，

...g(x)min=g(D=l+lna=3,解得a=e2,滿足題意；

當(dāng)拉e,x￡(0,e］時(shí)，g(x)WO,g(x)在(0,e］上單調(diào)遞減，g(x)min=g(e)=ae-l=3,

解得a=-,不合題意，舍去，

e

綜上，存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)xe(0,e］時(shí)，g(x)的最小值是3.

ID能力拓展

每小題5分，共10分

11.已知函數(shù)加)=轉(zhuǎn)3》,xe(a,。+4)存在最小值，貝按數(shù)a的取值范圍為()

A.［-2,1)B.(-2,1)

C.［-3,1)D.(-3,1)

答案A

解析,.7(x)=x3-3x,.,./,(x)=3x2-3,

令尸(x尸3萬2-3=0，得產(chǎn)士1,

且當(dāng)X<-1時(shí)J'(x)>o；當(dāng)時(shí)，/3<0,當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>0，，<X)在(-8,一1)上單調(diào)遞增，在(一1,1)

上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又人-1尸2,<1)=-2,令人x)=x3-3x=-2,解得x=-2或x=l,

,其圖象如圖所示，

由圖可知，當(dāng)xG(a,。+4)時(shí)，/(x)存在最小值，

/.-2^a<l<a+4,解得-2Wa<l,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-2,1).

12.已矢口函數(shù)危尸1!1_￥+工+］_工9,貝［J函數(shù)段)的最大值為.

答案0

解析人X)的定義域?yàn)?0,+8),

設(shè)gaAl-xep〉。),

貝Ug，W=-(x+l)ex<0,

故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

由于g(0)=l>0,g(l)=l-e<0,

故存在猶6(0,1),使g(xo尸0,

即g(xo)=l-xoeX<>=O,即e*。」,

%0

故當(dāng)xW(0,xo)時(shí),g(x)>0,則/<x)>0，當(dāng)xe(xo,+8)時(shí),g(x)<0,則/(x)<0,

所以義x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,M,單調(diào)遞減區(qū)間為(xo,+8).

即函數(shù)小)的最大值為/(xo)=lnxo+xo+1-xoex°=ln-^-H-xo+1-xo-^-=0.

e%o

答案精析

l.C[f(x)=-x+2sinx,x^[0,兀],

?=-1+2cosx,

令/<x)=0，得x=],

?,砥9?

又|。)=0,角t)=-兀,

，/(X)max=/Q)=V3-J]

2.B[由｛x)=(3x-l)e^,

得/<x)=(6%+1)6&,

令/(x)<0，得x<1；

令/(x)>0，得x>],所以函數(shù)段)在(-8,-￡)上單調(diào)遞減，在(-9+8)上單調(diào)遞增,

所以4)=(3x-的最小值為--1)e下

3.C[因?yàn)?(x)=：+a,x>0,

所以當(dāng)。與0時(shí)，八x)>0恒成立，

故,危)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不存在最大值；

當(dāng)a<0時(shí)，令/(x)=0,得x=-：,

所以當(dāng)xe(o,-￡)時(shí)，/。)>0,函數(shù)加)單調(diào)遞增，

當(dāng)無￡(-：，+8)時(shí),

f^)<0,函數(shù)加)單調(diào)遞減，所以漢辦海=/(一3,

所以0<-,解得a<-1.]

a

4.B[設(shè)5M=x(0<x<100),并設(shè)陸地上修建石油管道的單位長度費(fèi)用為1,

則AM=MC=100-x,

所以總費(fèi)用為4)=3^100+%2

+100-x(0<x<100),

則/(x)=/^-1

100+x2

令—(x)>0,則等”100,

即義x)在(苧，100)上單調(diào)遞增；

令/(x)<0,則0<x譽(yù),

即興x)在(0,芋)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=爭寸，

火x)取得最小值.］

5.AC［由題圖可知，

當(dāng)時(shí)，/(x)N0,

所以函數(shù)危)在(-8,可上單調(diào)遞增,

又a<b<c,所以大a)勺3)勺(。)，故A正確；

因?yàn)??=0/3=0,

且當(dāng)x<c時(shí)，/(x)>0；

當(dāng)c<x<e時(shí),/(無)<0；

當(dāng)介e時(shí),f'(x)>0.

所以函數(shù).危)在x=c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x=e處取得極小值，但不一定是最小值，故

B不正確，C正確；

由題圖可知，當(dāng)時(shí)，/(x)<0,所以函數(shù)/(x)在［d,e］上單調(diào)遞減，從而人或次e),故D不正確.］

6.AC「.7(x)的定義域?yàn)镽,

ff(x)=(x2-x-2)eT

=(x-2)(x+l)ex,

.?.當(dāng)xC(-8,-1)U(2,+8)時(shí)，尸(x)>0；當(dāng)xe(-I,2)時(shí)，

/(x)<0,

.,.危)在(-8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(一1,2)上單調(diào)遞減，

.Mx)的極大值為八-1)=|,極小值為<2)=-e2,

當(dāng)x<0時(shí)，N-3x+1>0,ev>0,

...段)>0在(-8,0)上恒成立,

可作出“x)的圖象如圖所示,

對(duì)于A,八x)的極大值點(diǎn)為-1,極小值點(diǎn)為2,A正確；

對(duì)于B,C,

K-1)不是加)的最大值，犬2)是Hx)的最小值，B錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)于D,由圖象可知，/)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.]

7.-1

解析y'-(x+a+1)^,

當(dāng)xd(-8,-。-1)時(shí)，y'<Q,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)xC(-0-1,+8)時(shí)，戶o,函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=-a-1時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值，為-e"i,

故-e"i=-1,所以a=-1.

解析由題設(shè)大〃。=g(?)=t,

貝［］In加=〃=f,得切=e',n-t,

貝［J冽-〃=e'-f,

設(shè)h(x)=-x,h'(x)=-1,

令〃(x)=0，得x=0,

當(dāng)xd(-8,o)時(shí)，h'(x)<0,

g)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，〃(》)>0,以x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，

久0)=1,

所以機(jī)-〃的最小值為L

9.解⑴由題意，當(dāng)0<x<4時(shí)，

尸(x)=6x-2-+2久)

1

=-y3+4%-2；

當(dāng)x?4時(shí)，P(x)

=6x-2-(7x+3—27)

…64

=25-x---.

X

(—-X3+4X—2,0<x<4,

3

所以P(x)=64

(25-x---,%之4.

(2)當(dāng)0<%<4時(shí)，P(x)=-x2+4,

令尸。)=0,解得x=2.

易得P(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)0<x<4時(shí)，

10

尸(x)max=尸(2)=

當(dāng)x24時(shí)，

尸(x)=25-1+?)

C25-2=9,

當(dāng)且僅當(dāng)》="，

X

即X=8時(shí)取等號(hào).

綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤最大，最大年利潤是9萬元.

io.解⑴，./(x)=H詈二，

.?.當(dāng)xe[l,2]時(shí),

/(x)W0恒成立,

即2/+依-1<0恒成立，

即aW-2x+9恒成立，

X

又函數(shù)y=-2x+紙[1,2]上單調(diào)遞減，

...當(dāng)x=2時(shí)，(一2%+工)~-

\力min2

故°的取值范圍是(-8,-3

(2),?fix)=x2+tzx-Inx,

Q￡R,

.".g(x)=J(X)-x2=ax-Inx,

x￡(0,e],

??.g(x)=a[=F(0<xWe),

當(dāng)QWO時(shí)，

g(x)在(0,e］上單調(diào)遞減，

g(x)min=g(e)=ac-1=3,

解得a-e-,不合題意,舍去;

當(dāng)吟e”(0,￡)時(shí)，

g'(x)<0,

g(x)在(0,J上單調(diào)遞減，

當(dāng)e］時(shí)，g(x)>0,

g(x)在&，e］上單調(diào)遞增，

.?.g(x