專題05全等三角形章末重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一全等圖形的識(shí)別

題型二全等三角形的概念

題型三全等三角形的性質(zhì)

題型四全等三角形的判定

題型五全等三角形的判定與性質(zhì)綜合

題型六全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題

題型七全等三角形中的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題

題型八全等三角形中倍長(zhǎng)中線模型問題

題型九全等三角形中的多結(jié)論問題

題型十全等三角形的綜合問題

為【經(jīng)典例題一全等圖形的識(shí)別】

【例1】（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）百變魔尺，魅力無窮，如圖是用24段魔尺（24個(gè)等腰直角三角形，把

等腰直角三角形最長(zhǎng)邊看做1）圍成的長(zhǎng)為4寬為3的長(zhǎng)方形.用該魔尺能圍出不全等的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

”【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?河南南陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB=AC.如圖1,。、E為ZBAC的平分線上的兩點(diǎn)，連接BD、

CD、BE、CE-,如圖2,D、E、/為NBAC的平分線上的三點(diǎn)，連接8。、CD、BE、CE、BF,CF■,

如圖3,D、E、F、G為，8AC的平分線上的四點(diǎn)，連接3D、CD、BE、CE、BF、CF、BG、CG…

依此規(guī)律，第17個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是（）

BBB

C.153D.171

2.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖中有6個(gè)條形方格圖，圖上由實(shí)線圍成的圖形與（1）是全等形的有

3.（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，沿著方格線，把下列圖形分割成四個(gè)全等的圖形.

41經(jīng)典例題二全等三角形的概念】

【例2】（2023?全國?八年級(jí)假期作業(yè)）已知△ABC四△DEF,且NA與/。是對(duì)應(yīng)角，/3和/E是對(duì)應(yīng)角,

則下列說法中正確的是（）

A.AC與D尸是對(duì)應(yīng)邊B.AC與DE是對(duì)應(yīng)邊

C.AC與所是對(duì)應(yīng)邊D.不能確定AC的對(duì)應(yīng)邊

*【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）羅同學(xué)學(xué)習(xí)了全等三角形后，利用全等三角形繪制出了下面系列圖案，

第（1）個(gè)圖案由2個(gè)全等三角形組成，第（2）個(gè)圖案由4個(gè)全等三角形組成，第（3）個(gè)圖案由7個(gè)全等

三角形組成，第（4）個(gè)圖案由12個(gè)全等三角形組成，則第（6）個(gè)圖案中全等三角形的個(gè)數(shù)為（）

△△△△△△△△△△…

△△△△△△△△△△△△△△△

(1)(2)(3)(4)

A.25B.38C.70D.135

2.（2022春?黑龍江大慶?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABE和^ADC是^ABC分別沿著AB,AC邊翻折180°

形成的.若NBAC=145。，則Na=.

o

3.（2022春?上海楊浦.七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在乙48。和口，3，。中，已知NA=NA，，=AB=A'B：

試把下面運(yùn)用“疊合法”說明AASC和AA方，。全等的過程補(bǔ)充完整:

說理過程：把AABC放到上，使點(diǎn)A與點(diǎn)4重合，因?yàn)橐?，所以可以使一，并使點(diǎn)C和。在AB

（A'B'）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與4重合，點(diǎn)B與"重合，由于因此，_；

由于一，因此，一；于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)CY射線4。與的交點(diǎn)）重合，這樣一.

【經(jīng)典例題三全等三角形的性質(zhì)】

【例3】（2023春?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AAOB絲AADC,點(diǎn)8和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，ZO=ZD=90°,

記NQ4D=（z,AABO=/3,NABC=ZACB,當(dāng)3C〃Q4時(shí)，a與P之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.a=/3B.a=2（3C.a+乃=90°D.a+2〃=180°

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?安徽合肥?八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖,在銳角AABC中,DE分別是AB,AC

邊上的點(diǎn)AADC/AADC,AAEB^AAEff,且C'D〃EB'〃BC,BE、8交于點(diǎn)尸.若/BAC=40。，則

/C的大小是（）

A.90°B.95°C.100°D.110°

2.（2022秋?遼寧大連?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC四△ADE,BC的延長(zhǎng)線交DE于FNO=32。,

NE=103°,ZDFB=65°,貝！J/ZMC=°.

r>

3.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知△ABC四△DEB,點(diǎn)石在A3上，QE與AC相交于點(diǎn)E

（1）當(dāng)OE=8,BC=5時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)；

（2）已知"=35。，ZC=60°,求NZ>2C與NAED的度數(shù).

_，3【經(jīng)典例題四全等三角形的判定】

【例4】（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD與AB'C'D中，

AB=AB',ZB=ZB',BC=B'C.下列條件中：@ZA=ZA；AD=AD'；?ZA=ZA,CD=C'D'；③

ZA=ZA,ND=ZD'；?AD=AD',CD=C'D'.添加上述條件中的其中一個(gè)，可使四邊形ABCDg四邊

形AB'C'D,上述條件中符合要求的有（)

D.①②③④

W【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在AASC中，A5=AC,點(diǎn)D是底邊BC上異于AC中點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn),

AADE=ADAC,DE=AC.運(yùn)用以上條件（不添加輔助線）可以說明下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AADE=△2MCB.AF=DFC.AF=CFD.ZB=ZE

2.（2022秋?北京海淀?八年級(jí)統(tǒng)考期末）甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行一種數(shù)學(xué)游戲.游戲規(guī)則是：兩人輪流對(duì)

及AAZ'C’對(duì)應(yīng)的邊或角添加等量條件（點(diǎn)A',B，C'分別是點(diǎn)A，B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），某輪添加條件后，若能

判定AABC與AAEC'全等，則當(dāng)輪添加條件者失敗，另一人獲勝.

輪次行動(dòng)者添加條件

1甲AB=AB=2cm

2乙BC=BC=4cm

3甲

上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

①若第3輪甲添加AC=A'C'=5cm,則乙獲勝；

②若甲想獲勝，第3輪可以添加條件疣=C=30?;

③若乙想獲勝，可修改第2輪添加條件為ZA=ZA'=90。.

3.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，AB=AC,D、E是BC邊上的點(diǎn).請(qǐng)從以下三個(gè)條件:

①BD=CE；②NB=NC；③=中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使得AD=AE.

A

（1）你添加的條件是（填序號(hào)）;

（2）添加了條件后，請(qǐng)證明的=小1.

-31經(jīng)典例題五全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】

【例5】（2023春?重慶大渡口?七年級(jí)重慶市第三十七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在AABC中，ZA=60°,/ABC

和—ACS的平分線3￡＞、CE相交于點(diǎn)。，5。交AC于點(diǎn)D,CE交48于點(diǎn)E,若已知AABC周長(zhǎng)為20,BC=I,

AE:AD=5:4,則AO長(zhǎng)為（）

■【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在AABC和ADBC中，NACB=/O3C=90。，E是BC的中點(diǎn)，DEYAB,

垂足為點(diǎn)/，且=若瓦則AC的長(zhǎng)為（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

2.（2023春?陜西西安?七年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在AASC中，分別以464c為邊向外

作AABE和△ACE,使AE=AB,AF=AC,ZEAB=ZFAC=90°,連接E尸，AD為BC邊上的高線，延長(zhǎng)D4

交EF于點(diǎn)、N,下列結(jié)論：（1）AFNA^ADC.（2）NFAN=ZACD；（3）EN=FN；（4）S^ABC=,

其中正確的結(jié)論有—（填序號(hào)）.

3.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）問題：已知AABC中，N3AC=2ZACB,點(diǎn)。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD,

BD=BA.探究/D3C與NABC度數(shù)的比值.請(qǐng)你完成以下探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)

一般情況進(jìn)行分析并加以證明.

（1）當(dāng)?shù)腃=90。時(shí)，依問題中的條件補(bǔ)全上圖；觀察圖形，與AC的數(shù)量關(guān)系為「當(dāng)推出/ZMC=15。

時(shí)，可進(jìn)一步推出/D3C的度數(shù)為二可得到/D3C與NA3C度數(shù)的比值為二

（2）當(dāng)/WC<90。時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究/DBC與/ABC度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你

的猜想并加以證明.

二31經(jīng)典例題六全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】

【例6】（2022春?七年級(jí)單元測(cè)試）現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測(cè)量，NB=NC,AB=10m,BC=8m,

CD=12m,點(diǎn)片是A5邊的中點(diǎn)，小狗汪汪從點(diǎn)3出發(fā)沿以2m/s的速度向點(diǎn)。跑，同時(shí)小狗妞妞從點(diǎn)

C出發(fā)沿CD向點(diǎn)。跑.要使與△CPQ全等，則妞妞的運(yùn)動(dòng)速度為（)

B.—m/sC.2m/s或9m/sD.無法確定

A.2m/s

22一

，【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?湖南株洲?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB=6cm,AC=BD=4cm,NG4B=NDA4=60。，點(diǎn)尸在

線段A3上以lcm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段80上由點(diǎn)8向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間為f（s）,當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為（）cm/s時(shí)，在某一時(shí)刻，A、C、P三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與8、尸、。三

點(diǎn)構(gòu)成的三角形全等.

A

z4.4,,4

A.1或—B.1或—C.2或—D.1

353

2.（2023春?江蘇蘇州?七年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，金。中，ZACB=90°,AC=6,

BC=8.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AfCf3路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為8點(diǎn)；點(diǎn)。從B點(diǎn)出發(fā)沿CfA路徑

向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn).點(diǎn)P和。分別以每秒1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)

時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和。作于￡、作。尸，/于F,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，以尸、

￡、C為頂點(diǎn)的三角形和以。、RC為頂點(diǎn)的三角形全等.

B

C

3.(2023春?陜西西安?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))在直角三角形ABC中，ZACB=90°,直線/過點(diǎn)C.

(1)當(dāng)AC=3C時(shí)，

①如圖1,分別過點(diǎn)A和B作直線/于點(diǎn)BE,直線/于點(diǎn)E.求證：tJCD^&BE；

②如圖2,過點(diǎn)A作直線/于點(diǎn)。，點(diǎn)8與點(diǎn)廠關(guān)于直線/對(duì)稱，連接防交直線/于E,連接CP.求

證：DE^AD+EF.

(2)當(dāng)AC=8cm,3c=6cm時(shí)，如圖3,點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于直線/對(duì)稱，連接所、b.點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以

每秒1cm的速度沿AfC路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C,點(diǎn)N以每秒3cm的速度沿FTCTBTCTF路徑運(yùn)動(dòng)，

終點(diǎn)為R分別過點(diǎn)加、N作VD，直線/于點(diǎn)。，NEL直線/于點(diǎn)E,點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，各自達(dá)到

相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.當(dāng)&IQC與ACEN全等時(shí)，求t的值.

/【經(jīng)典例題七全等三角形中的旋轉(zhuǎn)(翻折)問題】

【例7】（2022秋.福建廈門?九年級(jí)廈門雙十中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上,

把VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABB,NE鉆=20。.旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）

C.70°D.20°

*【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtaABC中,ZACB=90°,AC=BC,將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。，得到AADE,連接BE,則N3即的度數(shù)為（)

A.100°B.120°C.135°D.150°

2.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC紙片中，4c=45。，BC=4,>5ABC=5,P為BC上一

點(diǎn)，將紙片沿AP剪開，并將445尸、△ACP分別沿48、4。向外翻折至4鉆。、AACE,連接。E,則VADE

面積的最小值為.

3.（2022秋?湖北黃岡?九年級(jí)統(tǒng)考期末）⑴如圖1,在四邊形"CD中，AB=AD,ZBAD=120°,

ZB=ZADC=90a,召、廠分別是BC、8上的點(diǎn)且ZE4F=60。，直接寫出圖中線段BE、EF、陽之間的數(shù)

量關(guān)系，不必證明.

（2）如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是BC、8上的點(diǎn)，且

ZEAF=^ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（3）如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東

70。的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時(shí)的速

度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以65海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩

艦艇分別到達(dá)E、尸處，且NEO=70°,試求止匕時(shí)兩艦艇之間的距離.

圖2圖3

-31經(jīng)典例題八全等三角形中倍長(zhǎng)中線模型問題】

【例8】（2023春?黑龍江綏化?七年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中）如圖，在AABC中，AB=5,AC=9,AD

是BC邊上的中線，則的取值范圍是（）

A.4<AD<14B.0<AD<14C.2<AD<7D.5<AD<9

”【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?山東日照.八年級(jí)期中）在AABC中，AB=5,AC=3,AD為8C邊的中線，則的長(zhǎng)x的取

值范圍（）

79

A.5<x<8B.4<x<7C.l<x<4D.—<x<—

22

2.（2022秋?江蘇南通?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，△ABC中，AB=1Q,BC=15,。為AC的中點(diǎn)，則中

線BD的取值范圍為.

3.（2023春?廣東佛山?七年級(jí)?？计谥校鹃喿x理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

如圖，AASC中，A5=8,AC=6,求邊上的中線AD的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流.小明得到了如

下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD

請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

E

（1）求得AO的取值范圍是；

【問題解決】請(qǐng)利用上述方法（倍長(zhǎng)中線）解決下列三個(gè)問題

（2）如圖1,若A,C,。共線，求證：AP平分/&LC；

（3）如圖2,若A,C,。不共線，求證：APA.DP；

（4）如圖3,若點(diǎn)C在BE上，記銳角/BAC=x,S.AB=AC=CD=DE,則NPDC的度數(shù)是

（用含x的代數(shù)式表示）.

【經(jīng)典例題九全等三角形中的多結(jié)論問題】

【例9】1（2023秋?湖南衡陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，AD是邊上的高，ZBAF=ZCAG=90°,

AB^AF,AC^AG.連接FG,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BG,CF.則下列結(jié)論:①BG=CF；②BGXCF；

③EF=EG；④BC=2AE；⑤SMBC=S"AG，其中正確的有（）

C.①②③⑤D.①②③④⑤

—【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AABC的角平分線AD、鹿相

交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①NBOD=45。；②

BD+AG=AB；?AD=OE+OF；@S^CD=CD:BD.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③④

2.（2023春?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ADI5c于點(diǎn)O,BELAC于點(diǎn)E,AD與BE交于點(diǎn)0,連接

CO并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)的＞至點(diǎn)G,若GE平分ZDGC,CE平分NDCH,則下列結(jié)論：①

ZABE^ZACF②NGEB=45。；③EO=EC；?AE-CE=BF■?AG-CG=BC,其中正確的結(jié)論有

（寫序號(hào)）.

3.（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，NB4C和/ABC的平分線AE、8尸相交于點(diǎn)0,AE

交BC于點(diǎn)E,BF交AC于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作OD，3c于點(diǎn)則下列三個(gè)結(jié)論：①NAOB=90。+=NC；

②當(dāng)/C=60。時(shí)，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,則5兇如=:?！?其中正確的是.

1經(jīng)典例題十全等三角形的綜合問題】

【例10】（2022秋.遼寧葫蘆島?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD.CE是AABC的角平分線，AD.CE相交于

點(diǎn)、F,已知/3=60。，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①AF=FC；②AAEF沿江DF；③AE+CD=AC；④ZAFC=120°.

A.1B.2C.3D.4

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?浙江寧波?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在AABC中，AD1BC,CE1AB,垂足分別為。、E,

AD.CE交于點(diǎn)已知EH=￡S=3,AE=4,則CH的長(zhǎng)是（）

A.gB.1C.3D.2

2.（2023秋?河北邯鄲?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在AABC中，ZACB=90°,AC=1cm,BC=3cm,CD為

AB邊上的高，E在直線3c上.

（1）若NECF=40。，貝！|/CAB=°；

（2）若點(diǎn)E從點(diǎn)3出發(fā)，在直線BC上以每秒2cm的速度向一個(gè)方向移動(dòng)，過點(diǎn)E作8C的垂線交直線8

于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，CF=AB.

3.（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校校考期中）如圖1,班是AABC中AC邊上的高,

點(diǎn)。是A5上一點(diǎn)，連接CO交BE于點(diǎn)ENEFC=ZA.

⑴求證：CD1AB；

（2）若NACB=2ZABE,求證：AC=BC；

（3）如圖2,在⑵的條件下，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)G,連接AG,CG,^smABCG=^-,S^ABG=16,求線段AB

的長(zhǎng).（注：不能應(yīng)用等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)和判定）

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】

1.（2023春?遼寧沈陽?七年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)期間，為了炸毀敵人的碉

堡，需要測(cè)出我軍陣地與敵人碉堡的距離.我軍戰(zhàn)士想到一個(gè)辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整

帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點(diǎn)B；然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在了我軍陣地的

點(diǎn)E上；最后，他用步測(cè)的辦法量出自己與E點(diǎn)的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判

D.AAA

2.（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）如圖，要判斷一張紙帶的兩邊。，。是否相互平行，提供了如下兩種折疊與

測(cè)量方案:

2

V

方

l方案n：

沿圖中虛線折疊并展開,先沿AB折疊，展開后再沿C。折疊,

測(cè)量發(fā)現(xiàn)N1=N2.測(cè)得AO=BO,CO=。。.

對(duì)于方案I，H,下列說法正確的是（）

A.I可行，II不可行B.I不可行，H可行

C.1,H都不可行D.1,II都可行

3.（2023春?陜西西安?八年級(jí)陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，AABC的周長(zhǎng)為26,點(diǎn)，E都在邊上，

/ABC的平分線垂直于AE,垂足為。/ACB的平分線垂直于AD,垂足為P.若BC=10,則DE的長(zhǎng)

為（）

4.（2022秋?貴州銅仁.八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)C在線段8D上，。于點(diǎn)8,EDLBD于點(diǎn)、

D.ZACE=90°,且AC=6cm,CE=7cm,點(diǎn)尸以2cm/s的速度沿AfCfE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。

以3cm/s的速度從點(diǎn)E開始,在線段EC上往返運(yùn)動(dòng)（即沿EfCfE-C7…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)P,。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P,。分別作3D的垂線，垂足為M,N.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為人，當(dāng)以p,c,M為

頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等時(shí)，/的值不可能是（）

27

A.15B.1C.—D.—

55

5.（2023春?全國?七年級(jí)期末）如圖，在△ABD和“良中，AB=AD,AC=AE,AB>AC,

NZMB=NC4E=50。，連接BE,CD交于點(diǎn)F,連接AF.下列結(jié)論：①BE=CD；②NEFC=5O。；③AF

平分A/ME；@FA平分NDFE.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）在AABC中，AB=5,AC=3,AO是BC邊上的中線，則AD的取值范圍

是_.

7.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，AD、A2分別是銳角“4BC和△AgG中邊3C耳￡的高，且

AB=A,B,,AD=A,DI,若要使瓦G，可補(bǔ)充的條件是（只需要填寫一個(gè)你認(rèn)為適

當(dāng)?shù)臈l件即可）

8.（2023秋?湖南益陽?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm,4）=12cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)88

出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以"cm/s的速度沿CZ）

邊向點(diǎn)￡）運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)V為

時(shí)，AAB尸與△PCQ全等.

9.（2023?全國?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)。在BC上，于點(diǎn)E,叱1BC交AC于點(diǎn)F,BD=CF,

BE=CD.若ZAFD=145°,則/EDF=.

10.（2022春?山東荷澤?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,兩銳角的角平分線交于點(diǎn)P,

點(diǎn)E、尸分別在邊8C、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若/EPF=45。,連接ER當(dāng)AC=6,8C=8,AB=10

時(shí)，則ACEF的周長(zhǎng)為.

11.（2023春?河北邯鄲?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：NACB=90。，AC^BC,AD^CM,BELCM,垂

足分別為。，E.

（1）如圖1,把下面的解答過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由.

①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是：CD=BE；

②請(qǐng)寫出線段AD,BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

解：①結(jié)論：CD=BE.

理由：'：ADLCM,BELCM,

：.?ACB?BEC1ADC90?,

ZACD+NBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

ZACD=_()

在AAC。和ACBE中，

：.^ACD^^CBE,()

CD=BE.

②結(jié)論：AD=BE+DE.

理由：,/△ACD^ACSE,

??_，

,?CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

(2)如圖2,上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)寫出線段AD,BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

12.(2023春?廣東惠州?八年級(jí)?？计谥?如圖，已知AABC中AB=AC=12厘米，8C=9厘米，點(diǎn)。為A3

的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P在線段上以3厘米/秒的速度由8點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段C4上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng);

①若點(diǎn)尸點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，ZXBPD與VCQP是否全等,請(qǐng)說明理由；

②若點(diǎn)尸點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與VCQP全等？

(2)若點(diǎn)。以①中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)尸以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿AABC三邊運(yùn)

動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)尸與點(diǎn)。第一次在AABC的哪條邊上相遇？此時(shí)相遇點(diǎn)距到達(dá)點(diǎn)3的路程是多少？

13.(2022?山東青島?山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))(1)如圖1,/B=/D=90。,E是的中

點(diǎn)，AE平分N8AC,求證：CE平分NACD.

(2)如圖2,AM\\CN,和/ACD的平分線并于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作,分別交AM、CN于B、

。，請(qǐng)猜想AB、CD、AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不要求證明.

(3)如圖3,AM\\CN,4c和/ACD的平分線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作不垂直于A0的線段8。，分別交

AM.CN于B、D點(diǎn),且3、。兩點(diǎn)都在AC的同側(cè)，(2)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不

成立，請(qǐng)說明理由.

專題05全等三角形章末重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一全等圖形的識(shí)別

題型二全等三角形的概念

題型三全等三角形的性質(zhì)

題型四全等三角形的判定

題型五全等三角形的判定與性質(zhì)綜合

題型六全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題

題型七全等三角形中的旋轉(zhuǎn)(翻折)問題

題型八全等三角形中倍長(zhǎng)中線模型問題

題型九全等三角形中的多結(jié)論問題

題型十全等三角形的綜合問題

41經(jīng)典例題一全等圖形的識(shí)別】

【例1】(2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))百變魔尺，魅力無窮，如圖是用24段魔尺(24個(gè)等腰直角三角形，把

等腰直角三角形最長(zhǎng)邊看做1)圍成的長(zhǎng)為4寬為3的長(zhǎng)方形.用該魔尺能圍出不全等的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)14=(1+6)x2=(2+5)x2=(3+4)x2,可知能圍出不全等的長(zhǎng)方形有3個(gè).

【詳解】解：；長(zhǎng)為4、寬為3的長(zhǎng)方形，

二周長(zhǎng)為2x(3+4)=14

14=(1+6)x2=(2+5)x2=(3+4)x2,

能圍出不全等的長(zhǎng)方形有3個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的規(guī)律變化，通過觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決

問題是解題的關(guān)鍵.

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋.河南南陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A3=AC.如圖1,。、E為ZBAC的平分線上的兩點(diǎn)，連接8。、

CD、BE、CE；如圖2,D、E、下為—SAC的平分線上的三點(diǎn)，連接8。、CD、BE、CE、BF、CF■,

如圖3,D、E、F、G為/8AC的平分線上的四點(diǎn)，連接8。、CD、BE、CE、BF、CF、BG、CG…

依此規(guī)律，第17個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是（）

A.17B.54C.153D.171

【答案】D

【分析】通過觀察分析，找出圖形變換中，有全等三角形的對(duì)數(shù)規(guī)律：當(dāng)有5+1）個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有上當(dāng)9

個(gè)全等三角形，然后把”=17代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：圖1中，當(dāng)有2點(diǎn)￡＞、E時(shí)，有1+2=3對(duì)全等三角形；

圖2中，當(dāng)有3點(diǎn)。、E、/時(shí)，有1+2+3=6對(duì)全等三角形；

圖3中，當(dāng)有4點(diǎn)時(shí)，有1+2+3+4=10對(duì)全等三角形；

圖〃中，當(dāng)有（〃+1）個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有（〃+1）,+2）個(gè)全等三角形,

1QVIQ

當(dāng)〃=17時(shí)，全等三角形的對(duì)數(shù)是吧盧=171,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換規(guī)律，全等三角形的判定，找出圖形變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖中有6個(gè)條形方格圖，圖上由實(shí)線圍成的圖形與（1）是全等形的有

【答案】(2)(3)(6)

【分析】根據(jù)全等形是可以完全重合的圖形并觀察對(duì)比圖形，進(jìn)行判定即可.

【詳解】(6)以左下角頂點(diǎn)為定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，與(1)兩個(gè)實(shí)線圖形剛好重合，

(3)可上下反轉(zhuǎn)成(1)的情況，與(1)兩個(gè)實(shí)線圖形剛好重合，

(2)以右下角頂點(diǎn)為定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后成圖(3),然后反轉(zhuǎn)成(1)的情況，與(1)兩個(gè)實(shí)線圖形剛好重合,

(4)為平行四邊形，而(1)為梯形，所以不能和(1)中圖形完全重合，

(5)為直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中圖形完全重合，

故答案是：⑵⑶(6)

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)全等形的概念的理解及運(yùn)用，認(rèn)真對(duì)觀察對(duì)比是正確解答本題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，沿著方格線，把下列圖形分割成四個(gè)全等的圖形.

【答案】見解析

【分析】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進(jìn)而求出答案.

【詳解】解：如圖所示：紅色分割線即為所求.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)圖作圖，正確求出每部分面積是解題關(guān)鍵，

考點(diǎn)：作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.

41經(jīng)典例題二全等三角形的概念】

【例2】(2023?全國?八年級(jí)假期作業(yè))已知AABC四△OEF,且ZA與/。是對(duì)應(yīng)角，和/E是對(duì)應(yīng)角,

則下列說法中正確的是()

A.AC與。尸是對(duì)應(yīng)邊B.AC與是對(duì)應(yīng)邊

C.AC與E尸是對(duì)應(yīng)邊D.不能確定AC的對(duì)應(yīng)邊

【答案】A

【分析】根據(jù)全等三角形的概念即可得到答案.

【詳解】解：?.?NA與—D是對(duì)應(yīng)角，/3和，E是對(duì)應(yīng)角，

NC和NF是對(duì)應(yīng)角，

，AC與。尸是對(duì)應(yīng)邊，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）羅同學(xué)學(xué)習(xí)了全等三角形后，利用全等三角形繪制出了下面系列圖案,

第（1）個(gè)圖案由2個(gè)全等三角形組成，第（2）個(gè)圖案由4個(gè)全等三角形組成，第（3）個(gè)圖案由7個(gè)全等

三角形組成，第（4）個(gè)圖案由12個(gè)全等三角形組成，則第（6）個(gè)圖案中全等三角形的個(gè)數(shù)為（）

△△△△△△△△△△

△△△△△△△△△△△△△△△

(1)(2)(3)(4)

A.25B.38C.70D.135

【答案】B

【分析】仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第"個(gè)圖形有〃+2"一個(gè)三角形，根據(jù)規(guī)律求解即可.

【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn):

第一個(gè)圖形有1+1=2個(gè)全等三角形;

第二個(gè)圖形有2+2=4個(gè)全等三角形;

第三個(gè)圖形有3+2。=7個(gè)全等三角形;

第四個(gè)圖形有4+23=12個(gè)全等三角形;

第〃個(gè)圖形有〃+27個(gè)全等三角形；

當(dāng)”=6時(shí)，〃+2"T=6+2$=38（個(gè)）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等的定義，圖形類規(guī)律題，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)

找出哪些部分發(fā)生了變化，按照什么規(guī)律變化的.

2.（2022春?黑龍江大慶?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABE和^ADC是^ABC分別沿著AB,AC邊翻折180°

形成的.若/BAC=145。，則/a=

【答案】70。

【詳解】:△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB,AC邊翻折180。形成的,

.,.ZBAE=ZBAC=145°,ZDAC=ZBAC=145°,ZE=ZACD=ZACB,

.,.ZDAE=ZBAC+ZBAE+ZDAC-360°=145o+145o+145o-360o=75°,

NEAC=NDAC-NDAE=145°-75°=70°,

VZE+Za+ZEMD=180°,ZEAC+ZAMC+ZACD=180°,ZEMD=ZAMC,

Za=ZEAC=70°,

故答案為70°.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和是180度等，掌握翻折前后的兩個(gè)三角形是全等的，對(duì)

應(yīng)角是相等的是解題的關(guān)鍵.

3.（2022春?上海楊浦?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,在乙48（?和44，￡。，中，已知==AB=A'B',

試把下面運(yùn)用“疊合法”說明AABC和全等的過程補(bǔ)充完整：

說理過程：把AABC放到AA7，。上，使點(diǎn)A與點(diǎn)4重合，因?yàn)橐?，所以可以使并使點(diǎn)C和C'在AB

（A'B'）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與4重合，點(diǎn)B與方重合，由于因此，_；

由于因此，一；于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)C'（射線4。與歹C的交點(diǎn)）重合，這樣_.

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)“疊合法”說明兩三角形全等即可.

【詳解】說理過程：把AA6C放到上，使點(diǎn)A與點(diǎn)4重合，因?yàn)?所以可以使AB與

重合，并使點(diǎn)C和。在AB（4U）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與4重合，點(diǎn)B與夕重合，由于NA=NAl因此，

射線AC與射線4c，疊合；

由于NB=NBL因此，射線BC與射線用。疊合；于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)C，（射線4。

與V。的交點(diǎn)）重合，這樣AABC與重合，即

AABC與AAB'C全等.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的定義，掌握“疊合法”說明三角形全等，是解題的關(guān)鍵.

A[經(jīng)典例題三全等三角形的性質(zhì)】

【例3】（2023春?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，“03/44DC,點(diǎn)3和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，ZO=ZD=90°,

記NQ4D=（z,^ABO=[3,NABC=ZACB,當(dāng)3C〃Q4時(shí)，a與尸之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.a=/3B.a=2(3C.a+(3=90°D.a+2(3=180°

【答案】B

［分析］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得至IJ/OAB=ADAC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到NOAB=ZABC=90°-4,

利用/Q4JD+NQ4C+/4CB=180。，即可解答.

【詳解】解：?.?△AO3絲AADC,NO="=90°,

ADAC=NOAB=90°-AOBA=90°-/?,

VBC//OA,NABC=ZACB,

ZABC=ZACB=NOAB=90。一#,ZOAC+ZACB=180°,

ZOAC=ZOAD+DAC,

a+90°-jS+90o-j8=180°,

化簡(jiǎn)得：a=2/3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，結(jié)合圖形和題意找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?安徽合肥?八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖,在銳角AABC中,DE分別是AB,AC

邊上的點(diǎn)AADC絲AADC,AAEB冬AAEg,且CD〃EB，〃BC,BE、CD交于點(diǎn)凡若/BAC=40。，則

/C的大小是（）

A.90°B.95°C.100°D.110°

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)CZ＞交A9于H.利用全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)證明

ZBFC=ZC+ZAHC+ADAC,再求出Z.C+ZAHC即可解決問題.

【詳解】解：延長(zhǎng)C'。交A9于H.

,/4AEB咨AAEB,

ZABE=ZAB'E,

CH//EB',

：.ZAHC'=ZAB'E,

ZABE=ZAHC,

。；AADC均ADC,

：.ZC'=ZACD,

,/Z.BFC=/DBF+ZBDF,ZBDF=ACAD+ZACD,

，NBFC=ZAHC+ZC+ZDAC,

,?ZDAC^ZDAC'=ZCAB'^40°,

ZC'AH=120°,

ZC+ZAHC'=60°,

：.ZBFC=60°+40°=100°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),

能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?遼寧大連?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC四△ADE,3C的延長(zhǎng)線交。E于尸，NO=32。，

NE=103°,ZDFB=65°,貝！J/ZMC=°.

【答案】20

【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求NZME=45。，由全等三角形的性質(zhì)可得/8="=32。，由三角形外角

求出性質(zhì)NACW=77。，在和"函中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)AD與即交于點(diǎn)

B

VZD=32°,4=103°,

/.ZDAE=180?！?2°一103°=45°,

又「△ABC四△ADE,

/5=/O=32。，ABAC=ZDAE=45°,

：.ZACM=NBAC+NB=77°,

,:ZDMF=ZAMC,ZDMF+ZDFB+ZD=ZAMC+ZDAC+ZACM,

：.NDFB+ZD=ZDAC+ZACM,

：.65°+32°=NZMC+77°,

/.ZZMC=20°,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)

角相等是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，己知△ABC四△DEB,點(diǎn)E在43上，DE與AC相交于點(diǎn)E

⑴當(dāng)OE=8,BC=5時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)；

⑵已知/。=35。，ZC=60°,求N7)3c與NAFD的度數(shù).

【答案】⑴3

⑵NDBC=25°,ZAFD=130°

【分析】⑴根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4?=應(yīng)=8,BE=BC=5,結(jié)合圖形計(jì)算，即可得到答案；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到"3E=/C=60。，ZA=Z￡>=35。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ABC,

計(jì)算即可求得.

【詳解】（1）解：?.?△ABC絲DE=8,BC=5,

.-.AB=DE=8,BE=BC=5,

:.AE^AB-BE^8-5^3；

(2)W：-.-^ABC^DEB,ZD=35°,NC=60°,

:.ZDBE=ZC=6Q°,ZA=ZD=35°,ZABC=ZDEB,

ZABC=180°-ZA-ZC=180°-35°-60°=85°,

ZDBC=ZABC-ZDBE=85°-60°=25°,

?.?ZABC=85°,

..ND班=85。，

/.ZAED=180°-/DEB=180°-85°=95°,

NAFD=NA+NA￡D=35。+95。=130。.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題四全等三角形的判定】

【例4】(2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))如圖，在四邊形ABCD與中,

AB=ABr,NB=NB',BC=B,C,下列條件中：?ZA=ZA；AD=ADf；②Z4=NA',CD=C'D'；③

NA=NA1ND=ND；?AD=AD\CD=CDf.添加上述條件中的其中一個(gè)，可使四邊形ABC。物四邊

D.①②③④

【答案】B

【分析】連接AC、A'C,通過證明△ABC二△A3'C'(SAS),AA8^AAC'D(SAS),故①符合要求，同理

可得③④符合要求，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接4C、AC,

在AABC