第3章液體運(yùn)動(dòng)學(xué)3.1描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法3.2液體運(yùn)動(dòng)的基本概念3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型3.4連續(xù)性方程3.5液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式3.6無(wú)旋流與有旋流液體的運(yùn)動(dòng)要素:流速、加速度及動(dòng)水壓強(qiáng)

§3.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法1.拉格朗日法

——以研究單個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程作為基礎(chǔ)，綜合所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成整個(gè)液體的運(yùn)動(dòng)。又稱為質(zhì)點(diǎn)系法。xzyO

M（a，b，c）（t0）（x，y，z）t初始時(shí)刻的位置坐標(biāo)是（a、b、c）任意時(shí)刻的位置坐標(biāo)是（x、y、z）,a、b、c、t

稱為拉格朗日變數(shù)。若給定a，b，c，即為某一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡線方程。、、是速度在x、y、z軸的分量同理，該液體質(zhì)點(diǎn)在x、y、z方向的加速度分量§3.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法跟蹤每一個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)來(lái)得出整個(gè)液體運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，在數(shù)學(xué)上是很困難的。在實(shí)際應(yīng)用中需要研究的是運(yùn)動(dòng)要素的空間分布規(guī)律，一般不必了解每一個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。因此這種方法在水力學(xué)上很少采用。可以表示為：然而由于液體具有黏滯性：§3.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.歐拉法——以考察不同液體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)固定的空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況作為基礎(chǔ)，綜合所有空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)情況，構(gòu)成整個(gè)液體的運(yùn)動(dòng)。又稱為流場(chǎng)法。xzyO

M（x，y，z）t時(shí)刻拉格朗日法著眼于液體質(zhì)點(diǎn)。歐拉法則著眼于液體運(yùn)動(dòng)時(shí)所占據(jù)的空間點(diǎn)。在實(shí)際工程中，只需要弄清楚在某一些空間位置上水流的運(yùn)動(dòng)情況，而并不去研究液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以在水力學(xué)中常采用歐拉法?！?.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法可將流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要素視作空間點(diǎn)坐標(biāo)（x,y,z)和時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。t時(shí)刻x,y,z軸上的速度投影：x,y,z,t稱為歐拉變數(shù)同樣壓強(qiáng)也可以表示為若x，y，z為常數(shù)，t為變數(shù)，則可得到某一固定點(diǎn)上的流速隨時(shí)間的變化情況§3.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法若t為常數(shù)，x，y，z為變數(shù)，得到在同一時(shí)刻，位于不同空間點(diǎn)上的液體質(zhì)點(diǎn)的流速分布，也就是得到了t時(shí)刻的一個(gè)流速場(chǎng)。若針對(duì)一個(gè)具體的質(zhì)點(diǎn)，x，y，z，t均為變數(shù)，且有x（t），y（t），z（t）歐拉法中，液體質(zhì)點(diǎn)的加速度就是流速對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)。即§3.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法在直角坐標(biāo)軸上投影對(duì)于一維流動(dòng)，流速或壓強(qiáng)都是位置坐標(biāo)s和時(shí)間t的函數(shù)?！?.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法又由時(shí)變加速度（或者當(dāng)?shù)丶铀俣龋?，在同一空間點(diǎn)上液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化。

位變加速度（或者遷移加速度），在同一時(shí)刻位于不同空間點(diǎn)上液體質(zhì)點(diǎn)的速度變化。可得：全加速度加速度的表達(dá)式：§3.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法當(dāng)水箱水位H一定,末端閥門K開度保持不變時(shí),即，管中各點(diǎn)的流速不隨時(shí)間變化，不存在時(shí)變加速度。流速:

位變加速度:

當(dāng)水箱水位H變化時(shí)，即管中各點(diǎn)的流速隨著時(shí)間變化時(shí)變加速度

位變加速度

A有無(wú)B有有§3.1

描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法定義：如果流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的所有運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，這種流動(dòng)稱為恒定流。否則，成為非恒定流。性質(zhì)：(2)恒定流中，時(shí)變加速度為零，位變速度可以不為零。(1)恒定流中，只是空間點(diǎn)位置坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。實(shí)際工程中較常見的一類水流運(yùn)動(dòng)。如果運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化緩慢，也可近似按恒定流處理。

本書主要研究恒定流，在今后的討論中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，即指恒定流。§3.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念3.2.2跡線、流線及其微分方程跡線——是指某液體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)所連成的線。流線——是指某一瞬時(shí)，在流場(chǎng)中繪出的一條光滑曲線，其上所有各點(diǎn)的速度向量都與該曲線相切。流線能反映瞬時(shí)的流動(dòng)方向流線圖流線圖形具有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）流線分布的疏密程度與液流橫斷面面積的大小有關(guān)。流線的疏密程度直觀地反映了流速的大小。（2）流線的形狀與固體邊界形狀有關(guān)?！?.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念在某一時(shí)刻t，流場(chǎng)上A1點(diǎn)的流速矢量u1，在矢量u1上取微小線段△s1得到A2點(diǎn)。在同一時(shí)刻t，繪出A2點(diǎn)的流速矢量u2，同樣在流速矢量u2上取微小線段△s2得到A3點(diǎn)。依次繪制下去，就得到一條折線A1—A2—A3……若各微小線段的長(zhǎng)度△s1、△s2、……趨近于零，該折線將成為一條曲線，此曲線即為t時(shí)刻通過(guò)流場(chǎng)中A1點(diǎn)的一條流線。作出t時(shí)刻通過(guò)流場(chǎng)中另外一些空間點(diǎn)的流線，這樣一簇流線就形象直觀地描繪出該瞬時(shí)整個(gè)流場(chǎng)的流動(dòng)趨勢(shì)?！?.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念流線圖§3.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念流線的特征：在同一時(shí)刻，流線不能相交或轉(zhuǎn)折（流速為零的點(diǎn)除外），只能是一條光滑的連續(xù)曲線。恒定流中，流線的位置和形狀不隨時(shí)間變化。恒定流中，液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的跡線與流線相重合。流線的形狀與邊界條件有關(guān)。離邊界越近，邊界對(duì)流線形狀的影響越明顯。！流線不能相交，不能為折線?！?.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念根據(jù)流線的定義，可建立流線的微分方程。在流線AB上取一微分段ds，近似為直線。速度與流線微分段ds相重合速度流線微分段ds§3.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念即由此可知,流線的微分方程式:把某一質(zhì)點(diǎn)在連續(xù)的時(shí)間內(nèi)所占據(jù)的空間點(diǎn)連成線，就是跡線?！?.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念跡線的微分方程式為則所取微分段即代表液體質(zhì)點(diǎn)在

時(shí)間內(nèi)的位移，在恒定流中，各運(yùn)動(dòng)要素與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以跡線方程式與流線方程式相同，都可用下列微分方程式表示:或若將曲線AB視為某一液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的跡線時(shí)，則所取微分段?！?.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念3.2.3流管、元流、總流和過(guò)水?dāng)嗝媪鞴堋闪骶€構(gòu)成的一個(gè)封閉的管狀曲面dA元流（微小流束）——充滿以流管為邊界的一束液流總流——在一定邊界內(nèi)具有一定大小尺寸的實(shí)際流動(dòng)的水流，它是由無(wú)數(shù)多個(gè)微小流束組成過(guò)水?dāng)嗝妗c元流或總流的流線成正交的橫斷面過(guò)水?dāng)嗝娴男螤羁梢允瞧矫嬉部梢允乔?。！?.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念過(guò)水?dāng)嗝鎴D:斷面§3.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)元流過(guò)水?dāng)嗝娴囊后w體積即為元流的流量為：

3.2.4流量和斷面平均流速流量——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一過(guò)水?dāng)嗝娴囊后w體積，常用單位m3/s或L/s，以符號(hào)Q表示。udA在總流中任取一元流，其過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為上各點(diǎn)的流速為總流過(guò)水?dāng)嗝鍭流量為：§3.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念斷面平均流速——是一個(gè)假想的流速，過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速大小均等于v，方向與實(shí)際流動(dòng)方向相同，此時(shí)所通過(guò)的流量與實(shí)際上流速為不均勻分布時(shí)所通過(guò)的流量相等所對(duì)應(yīng)的流速v。根據(jù)斷面平均流速的定義：得：§3.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念旋轉(zhuǎn)拋物面即為旋轉(zhuǎn)拋物體的體積斷面平均流速V即為柱體的體積A§3.2

液體運(yùn)動(dòng)的基本概念按運(yùn)動(dòng)要素隨空間坐標(biāo)的變化一元流二元流三元流水庫(kù)hB若運(yùn)動(dòng)要素是空間三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為三維流

（或三元流）。若運(yùn)動(dòng)要素是空間二個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為二維流

（或二元流）。若運(yùn)動(dòng)要素僅是空間一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為一維流?！?.3液體運(yùn)動(dòng)的類型三維流圖二維流圖§3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型對(duì)于一維流動(dòng)，如果流動(dòng)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)要素不隨流程坐標(biāo)s而改變，這種流動(dòng)稱為均勻流；反之，稱為非均勻流。3.3.2均勻流和非均勻流對(duì)于一維流動(dòng)加速度切向加速度法向加速度根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)§3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型時(shí)變加速度位變加速度同理，法向加速度：時(shí)變加速度位變加速度就是曲線運(yùn)動(dòng)的向心加速度切向加速度：§3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型均勻流特性：過(guò)水?dāng)嗝媸瞧矫?、而且大小和形狀都沿流程不變。各過(guò)水?dāng)嗝嫔狭魉俜植记闆r相同，斷面平均流速沿流程不變。同一過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)動(dòng)水壓強(qiáng)的分布符合靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律，即同一過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的。

對(duì)于均勻流來(lái)說(shuō)，不存在位變加速度，即§3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型在均勻流過(guò)水?dāng)嗝?/p>

上取一個(gè)微分柱體，高為，底面積為

，并與鉛垂線成夾角。-根據(jù)牛頓第二定律得：得：積分得：§3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型均勻流及非均勻流均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流非均勻流§3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型3.3.3漸變流和急變流當(dāng)流線之間的夾角較小或流線的曲率半徑較大，各流線近似是平行直線時(shí)，稱為漸變流。流線之間的夾角較大或流線的曲率半徑較小，這種非均勻流稱為急變流。均勻流、漸變流過(guò)水?dāng)嗝娴闹匾匦裕壕鶆蛄魇橇骶€為彼此平行的直線。過(guò)水?dāng)嗝鏋槠矫妫疫^(guò)水?dāng)嗝娴男螤詈统叽缪爻滩蛔?。同一流線上不同的流速應(yīng)相等，從而各過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植枷嗤瑪嗝嫫骄魉傧嗟?。?.3液體運(yùn)動(dòng)的類型均勻流（包括漸變流）過(guò)水?dāng)嗝嫔系膭?dòng)水壓強(qiáng)分布規(guī)律與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即在同一過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的測(cè)壓管水頭為一常數(shù)；推論：均勻流過(guò)水?dāng)嗝嫔蟿?dòng)水總壓力的計(jì)算方法與靜水總壓力的計(jì)算方法相同。對(duì)于由孔口或管道末端射入大氣中的水流，如圖所示，雖然在出口不遠(yuǎn)處的c-c過(guò)水?dāng)嗝嫔?，水流可視為漸變流，但因該過(guò)水?dāng)嗝娴闹芙缍继幵诖髿庵?，一般認(rèn)為c-c過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的壓強(qiáng)都近似地等于大氣壓強(qiáng)，而不再服從靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律?！?.3液體運(yùn)動(dòng)的類型漸變流及急變流均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流非均勻流漸變流急變流急變流急變流§3.3液體運(yùn)動(dòng)的類型在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的前提下，液體運(yùn)動(dòng)必須遵循質(zhì)量守恒定律，該定律應(yīng)用于研究液體運(yùn)動(dòng)亦稱之為連續(xù)性原理，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為液體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程。3.4.1控制體的概念流場(chǎng)中確定的空間區(qū)域稱之為控制體

控制體的邊界面是封閉表面，稱之為控制面控制體的形狀和位置是根據(jù)流動(dòng)情況和邊界位置選定的，它對(duì)于選定的參考坐標(biāo)系是固定不變的?！?.4連續(xù)性方程控制面有以下幾個(gè)特點(diǎn)：⑴控制面相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的；⑵在控制面上可以有液體流進(jìn)和流出，即可以有質(zhì)量交換；⑶在控制面上受到控制體以外物體施加在控制體內(nèi)物體上的力；⑷在控制面上可以有能量進(jìn)入或取出，即可以有能量交換?！?.4連續(xù)性方程3.4.2液體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性微分方程任取一個(gè)微小正交六面體為控制體邊長(zhǎng)分別為六面體形心點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y,z)t時(shí)刻速度u，在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為根據(jù)略去級(jí)數(shù)中二階以上各項(xiàng)的，泰勒級(jí)數(shù)展開：在時(shí)段內(nèi)§3.4連續(xù)性方程由abcd面流入的液體質(zhì)量為：由面流出的液體質(zhì)量為：在x軸方向質(zhì)量的變化為：同理，可得：在y軸方向質(zhì)量的變化為：在z軸方向質(zhì)量的變化為：§3.4連續(xù)性方程dt時(shí)刻初：六面體內(nèi)的質(zhì)量為

dxdydz

在dt時(shí)刻末：六面體內(nèi)的質(zhì)量為則，在dt時(shí)段內(nèi)：六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量增量為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律：§3.4連續(xù)性方程上式同除以可得：即為可壓縮液體的連續(xù)性微分方程，它表達(dá)了任何可能實(shí)現(xiàn)的流體運(yùn)動(dòng)所必須滿足的連續(xù)性條件。展開得：§3.4連續(xù)性方程對(duì)于不可壓縮液體，連續(xù)性微分方程為：此式對(duì)于不可壓縮液體的恒定流和非恒定流均適用。表明：液體微元在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的線變率總和等于零。

物理意義：

液體的體積變形率為零，即它的體積不會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化?！?.4連續(xù)性方程有限分析法：根據(jù)質(zhì)量守恒原理：對(duì)于不可壓縮液體，密度上式化簡(jiǎn)得：此式為不可壓縮液體恒定元流的連續(xù)性方程。它表明：對(duì)于不可壓縮液體作恒定流時(shí)，元流的流速與過(guò)水?dāng)嗝婷娣e成反比。3.4.3恒定總流的連續(xù)性方程§3.4連續(xù)性方程

將元流的連續(xù)性方程對(duì)總流過(guò)水?dāng)嗝娣e分，可得恒定總流的連續(xù)性方程：即：該式為不可壓縮液體恒定總流的連續(xù)性方程。它表明：對(duì)于不可壓縮液體作恒定流動(dòng)，總流的斷面平均流速與過(guò)水?dāng)嗝婷娣e成反比，或者說(shuō)，任意過(guò)水?dāng)嗝嫠ㄟ^(guò)的流量都相等?！?.4連續(xù)性方程連續(xù)性方程是水動(dòng)力學(xué)的三大基本方程之一。它反映了水流運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)水?dāng)嗝婷娣e與斷面平均流速的沿流程變化規(guī)律。連續(xù)性方程式的應(yīng)用條件：⑴水流是連續(xù)的不可壓縮液體，且為恒定流。⑵兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嬷g無(wú)支流。當(dāng)兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嬷g有支流存在時(shí)，匯入或分出的流量，有支流匯入時(shí)取正號(hào)有支流分出時(shí)取負(fù)號(hào)§3.4連續(xù)性方程按連續(xù)介質(zhì)模型，流體是由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的與流動(dòng)空間相比無(wú)限小，又含有大量分子的微元體其尺度效應(yīng)(變形、旋轉(zhuǎn))時(shí)，習(xí)慣上稱為微團(tuán)，因此微團(tuán)是流體運(yùn)動(dòng)的單元。剛體力學(xué)早已證明，剛體的—般運(yùn)動(dòng)，可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體是有流動(dòng)性且極易變形的連續(xù)介質(zhì)，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，除移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外，還將有變形運(yùn)動(dòng)。§3.5液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式以微小六面體液體微團(tuán)ABCD面為例，介紹二維情況下液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式。設(shè)矩形液體微團(tuán)ABCD的邊長(zhǎng)dx和dy，在t時(shí)刻，A點(diǎn)的流速分量為ux和uy，B、C、D各點(diǎn)的流速分量可由泰勒級(jí)數(shù)展開略去二階以、上各項(xiàng)得到?！?.5液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式1、平移運(yùn)動(dòng)（）

只考慮A、B、C、D各點(diǎn)中ux

、uy兩項(xiàng)。液體微團(tuán)由ABCD經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后，矩形微團(tuán)ABCD平移到A1B1C1D1,稱為流體微團(tuán)的平移速度。§3.5液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式2、變形運(yùn)動(dòng)

(1)線變形運(yùn)動(dòng)（）當(dāng)A1B1C1D1,時(shí)，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后變成A1B2C2D2，這時(shí)微團(tuán)發(fā)生線變形運(yùn)動(dòng)。單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度的線變形為線變形速率