中考試題2025年福建省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B.0 C. D.22.中國古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的值可以是（）A B. C.0 D.24.福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”——云紋青銅大繞，如圖1．云紋青銅大繞是西周樂器，鼓飾變形獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝煌．圖2為其示意圖，它的主視圖是（）A. B. C. D.5.不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.6.在分別寫有，1，2的三張卡片中，不放回地隨機抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概率是（）A. B. C. D.7.某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，．當(dāng)時，的大小為（）A. B. C. D.8.為加強勞動教育，增加學(xué)生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示．設(shè)矩形的一邊長為x米，根據(jù)題意可列方程（）A. B. C. D.9.如圖，與相切于點A，的延長線交于點C．，且交于點B．若，則的大小為（）A. B. C. D.10.已知點在拋物線上，若，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計．為方便記錄，他將體重增加記作，那么體重減少應(yīng)記作_______．12.某房梁如圖所示，立柱，E，F(xiàn)分別是斜梁，的中點．若，則的長為_______m．13.若反比例函數(shù)的圖象過點，則常數(shù)_______．14.如圖，菱形的對角線相交于點O，過點O且與邊分別相交于點E，F(xiàn)．若，則與的面積之和為_______．15.某公司為選拔英語翻譯員，舉行聽、說、讀、寫綜合測試，其中聽、說、讀、寫各項成績（百分制）按的比例計算最終成績．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽、說、讀、寫各項測試成績及最終成績?nèi)缦卤恚喉椖繂T工聽說讀寫最終成績甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判斷A，B的大小關(guān)系是A_______B．（填“>”“=”或“<”）16.彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來測量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F的大小與彈簧伸長（或壓縮）的長度x成正比，即，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m的物體重力為，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時彈簧的長度為6厘米．在其彈性限度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時，彈簧長度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體的質(zhì)量為_______千克．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：18.如圖，點E，F(xiàn)分別在的延長線上，．求證：．19.先化簡，再求值：，其中．20.甲、乙兩人是新華高級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們在參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊員集訓(xùn)期間的測試成績及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測試成績（單位：分）日期隊員2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績的平均數(shù)分別是；方差分別是．信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分?jǐn)?shù)線（單位：分）年份20202021202220232024獲獎分?jǐn)?shù)線9089908990試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，解決以下問題：（1）計算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對甲、乙的成績進(jìn)行評價；（2）計算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，選誰更合適；（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰更合適？為什么？21.如圖，是等邊三角形，D是的中點，，垂足為C，是由沿方向平移得到的．已知過點A，交于點G．（1）求的大??；（2）求證：等邊三角形．22.如圖，矩形中，．（1）求作正方形，使得點E，G分別落在邊上，點F，H落在上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若，求（1）中所作的正方形的邊長．23.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象過點．（1）求的值；（2）已知二次函數(shù)的最大值為．①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；②若為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點，且，求證：．24.閱讀材料，回答問題．主題兩個正數(shù)的積與商的位數(shù)探究提出問題小明是一位愛思考小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時，他根據(jù)算式“”，猜想：m位的正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個位的正整數(shù)．分析探究問題1小明的猜想是否正確？若正確，請給予證明；否則，請舉出反例推廣延伸小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則稱這個數(shù)的位數(shù)是，數(shù)字是a．借此，小華研究了兩個數(shù)乘積的位數(shù)問題，提出并證明了以下命題．命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且，則必有且，或且．并且，當(dāng)且時，；當(dāng)且時，．證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為，其中a，b，c均為正數(shù)．由，得，即．（*）當(dāng)且時，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以；當(dāng)且時，，所以所以，與（*）矛盾，不合題意；當(dāng)且時，①；當(dāng)且時，②．綜上所述，命題成立．拓展遷移問題2若正數(shù)A，B的位數(shù)分別為m，n，那么的位數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．（1）解決問題1；（2）請把①②所缺的證明過程補充完整；（3）解決問題2．25.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AD，BC的延長線相交于點E，AC，BD相交于點F．G是AB上一點，GD交AC于點H，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的周長．?dāng)?shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B.0 C. D.2【答案】A【解析】【分析】本題考查比較實數(shù)的大小，首先確定各數(shù)的正負(fù)性，再按負(fù)數(shù)小于0小于正數(shù)的順序比較大小即可．【詳解】解：∵，∴最小的數(shù)為；故選：A2.中國古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形的識別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱和軸對稱的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、既不軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，符合題意；故選D．3.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的值可以是（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)必須非負(fù)，即，解不等式即可確定x的取值范圍，進(jìn)而選出正確選項．【詳解】解：要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，需滿足被開方數(shù)，解得．∴符合．故選：D．4.福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”——云紋青銅大繞，如圖1．云紋青銅大繞是西周樂器，鼓飾變形獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝煌．圖2為其示意圖，它的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了幾何體的三視圖，從前面看到的圖形是主視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左邊看到的圖形是左視圖．根據(jù)主視圖是從前面看到的圖形解答即可．【詳解】解；A是該幾何體的主視圖，B，C，D不是該幾何體的三視圖．故選A．5.不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查求不等式的解集，在數(shù)軸上表示解集，先求出不等式的解集，定邊界，定方向，表示出不等式的解集即可．【詳解】解：，，，∴；在數(shù)軸上表示如圖：故選C．6.在分別寫有，1，2的三張卡片中，不放回地隨機抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：由題意，列表如下：

12

1

2

共有6種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的情況有，兩種，∴；故選：B．7.某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，．當(dāng)時，的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；故選：B．8.為加強勞動教育，增加學(xué)生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示．設(shè)矩形的一邊長為x米，根據(jù)題意可列方程（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，先用x表示出矩形的另一條邊長，利用矩形的面積公式，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)設(shè)矩形的一邊長為x米，則另一邊長為米，由題意，得：；故選：C．9.如圖，與相切于點A，的延長線交于點C．，且交于點B．若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接，，切線得到，求出，平行，得到，進(jìn)而得到為等邊三角形，推出為等邊三角形，即可得出結(jié)果．【詳解】連接，，則：，∵與相切于點A，∴，∵，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，故選C．10.已知點在拋物線上，若，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，先求出對稱軸的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時，，∴拋物線過點，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴，∵，，∴點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離，∴；故選：A．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計．為方便記錄，他將體重增加記作，那么體重減少應(yīng)記作_______．【答案】【解析】【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對相反意義的量，增加為正，則減少為負(fù)，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：體重增加記作，那么體重減少應(yīng)記作；故答案為：．12.某房梁如圖所示，立柱，E，F(xiàn)分別是斜梁，的中點．若，則的長為_______m．【答案】4【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得出為直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵，∴為直角三角形，∵E是斜梁的中點，∴．故答案為：4．13.若反比例函數(shù)的圖象過點，則常數(shù)_______．【答案】【解析】【分析】本題考查求反比例函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求出值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過點，∴；故答案為：．14.如圖，菱形的對角線相交于點O，過點O且與邊分別相交于點E，F(xiàn)．若，則與的面積之和為_______．【答案】1【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，，然后證明即可求解．【詳解】解：∵菱形，，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，故答案為：1．15.某公司為選拔英語翻譯員，舉行聽、說、讀、寫綜合測試，其中聽、說、讀、寫各項成績（百分制）按的比例計算最終成績．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽、說、讀、寫各項測試成績及最終成績?nèi)缦卤恚喉椖繂T工聽說讀寫最終成績甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判斷A，B的大小關(guān)系是A_______B．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【解析】【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算，能夠掌握計算公式且準(zhǔn)確計算是解決問題的關(guān)鍵．利用加權(quán)平均數(shù)的計算公式求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．故答案為；．16.彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來測量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F的大小與彈簧伸長（或壓縮）的長度x成正比，即，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m的物體重力為，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時彈簧的長度為6厘米．在其彈性限度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時，彈簧長度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體的質(zhì)量為_______千克．【答案】0.8【解析】【分析】本題主要考查了胡克定律的應(yīng)用，熟練掌握胡克定律（其中為彈力，為勁度系數(shù)，為彈簧伸長或壓縮量）及重力與質(zhì)量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)已知條件求出彈簧的勁度系數(shù)，再利用胡克定律求出彈簧長度為厘米時所掛物體的質(zhì)量．【詳解】解：不掛物體時彈簧長度厘米，掛質(zhì)量千克物體時，彈簧長度厘米，則彈簧伸長量(厘米)．物體重力（為常量），根據(jù)胡克定律，可得，即，解得．當(dāng)彈簧長度厘米時，彈簧伸長量(厘米)．設(shè)此時所掛物體質(zhì)量為千克，則，因為，所以，兩邊同時除以，得．故答案為：．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及二次根式的化簡、零指數(shù)冪、化簡絕對值等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．原式利用二次根式性質(zhì)，零指數(shù)冪法則，以及絕對值的代數(shù)意義計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．18.如圖，點E，F(xiàn)分別在的延長線上，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、補角的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何直觀等．先證明，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，．在和中，，，．19.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查分式的混合運算、分母有理化等知識．先把括號內(nèi)通分，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分化簡，再把代入即可即可．【詳解】解：．當(dāng)時，原式．20.甲、乙兩人是新華高級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們在參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊員集訓(xùn)期間的測試成績及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測試成績（單位：分）日期隊員2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績的平均數(shù)分別是；方差分別是．信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分?jǐn)?shù)線（單位：分）年份20202021202220232024獲獎分?jǐn)?shù)線9089908990試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，解決以下問題：（1）計算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對甲、乙的成績進(jìn)行評價；（2）計算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，選誰更合適；（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰更合適？為什么？【答案】（1），見解析（2）甲，見解析（3）選甲更合適．理由見解析【解析】【分析】本小題考查平均數(shù)、方差，正確求出乙的方差是解答本題的關(guān)鍵．（1）先求出乙的方差，然后比較即可；（2）先求出五年獲獎的平均數(shù)，然后根據(jù)甲、乙十次測試成績達(dá)到平均成績的頻數(shù)多少判斷即可；（3）根據(jù)甲乙成績的變化趨勢分析即可．【小問1詳解】，即．因為，所以，所以甲、乙兩人的整體水平相當(dāng)，但乙的成績比甲穩(wěn)定．【小問2詳解】由已知得，獲獎分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)為，從信息一可知，在集訓(xùn)期間的十次測試成績中，甲達(dá)到獲獎分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)的頻數(shù)為4，而乙的頻數(shù)為1，所以甲獲獎的可能性更大，故選甲參加更合適．【小問3詳解】選甲更合適．理由：在集訓(xùn)期間的十次測試成績中，甲呈上升趨勢，而乙基本穩(wěn)定在原有的水平，故從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，選甲更合適．21.如圖，是等邊三角形，D是的中點，，垂足為C，是由沿方向平移得到的．已知過點A，交于點G．（1）求的大??；（2）求證：是等邊三角形．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)推出，垂直，得到，角的和差關(guān)系求出的大小即可；（2）平移得到，進(jìn)而得到，角的和差關(guān)系推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，推出垂直平分，進(jìn)而得到，推出，進(jìn)而得到是等邊三角形即可．【小問1詳解】解：是等邊三角形，．D是的中點，．，，．【小問2詳解】由平移可知：，，又，，∴，又，垂直平分，，由（1）知，，，，是等邊三角形．【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．22.如圖，矩形中，．（1）求作正方形，使得點E，G分別落在邊上，點F，H落在上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若，求（1）中所作的正方形的邊長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）作中垂線交于點，交于點，以為直徑畫圓，交于點，即可得到正方形；（2）勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長，證明，求出的長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出的長即可．【小問1詳解】解：如圖，四邊形就是所求作的正方形．由作圖可知，，，∵矩形，∴，∴，，∴，∴，由作圖可知，，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形；【小問2詳解】由（1）知：，，四邊形是矩形，，在中，，，．，．又，，，即，．在中，，，∴正方形EFGH的邊長為．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，考查推理能力、運算能力、幾何直觀與空間觀念，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．23.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象過點．（1）求的值；（2）已知二次函數(shù)的最大值為．①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；②若為該二次函數(shù)圖象上不同兩點，且，求證：．【答案】（1）（2）①；②見解析【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程．（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可；（2）①先求出頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)最大值為列方程求解即可；②先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出，然后把通分后代入即可求解．【小問1詳解】解：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為．因為點在該函數(shù)的圖象上，所以，所以，所以．【小問2詳解】①由（1）可得，，所以該函數(shù)的表達(dá)式為，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為．因為函數(shù)的最大值為，所以，且，解得，或（舍去）．所以該二次函數(shù)的表達(dá)式為．②因為點在函數(shù)的圖象上，所以．由①知，點關(guān)于直線對稱，不妨設(shè)，則，即．所以，所以．24.閱讀材料，回答問題．主題兩個正數(shù)的積與商的位數(shù)探究提出問題小明是一位愛思考的小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時，他根據(jù)算式“”，猜想：m位的正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個位的正整數(shù)．分析探究問題1小明的猜想是否正確？若正確，請給予證明；否則，請舉出反例推廣延伸小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則稱這個數(shù)的位數(shù)是，數(shù)字是a．借此，小華研究了兩個數(shù)乘積的位數(shù)問題，提出并證明了以下命題．命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且，則必有且，或且．并且，當(dāng)且時，；當(dāng)且時，．證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為，其中a，b，c均為正數(shù)．由，得，即．（*）當(dāng)且時，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以；當(dāng)且時，，所以所以，與（*）矛盾，不合題意；當(dāng)且時，①；當(dāng)且時，②．綜上所述，命題成立．拓展遷移問題2若正數(shù)A，B的位數(shù)分別為