[限時規(guī)范訓(xùn)練]單獨成冊一、選擇題1．(2017·鄭州模擬)設(shè)α，β分別為兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，選A.答案：A2．在空間中，a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則真命題是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥bC．若a∥α，a∥b，則b∥αD．若α∥β，a?α，則a∥β解析：對于A，平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系可能是平行、相交或者異面，因此選項A不正確；對于B，分別位于兩個相互垂直的平面內(nèi)的兩條直線可能是平行的，因此選項B不正確；對于C，直線b可能位于平面α內(nèi)，此時結(jié)論不正確；對于D，直線a與平面β沒有公共點，因此a∥β，選項D正確，故選D.答案：D3.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.答案：C4．如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影HA．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴點C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A.答案：A5．(2017·菏澤模擬)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故選B.答案：B6．(2017·貴陽模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：由題意可知PA、PE、PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心．故選A.答案：A7．已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線A．0條 B．1條C．2條 D．無數(shù)條解析：如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點N，M，連接MN，由面面平行的性質(zhì)得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有無數(shù)多個，所以平行于平面ABCD的MN有無數(shù)多條，故選D.答案：D8．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADEA．BM是定值B．點M在某個球面上運動C．存在某個位置，使DE⊥A1D．MB∥平面A1DE解析：取CD的中點F，連接MF，BF，AF(圖略)，則MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正確．∵∠A1DE＝∠MFB，MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B＝DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB，∴MB是定值，故A正確．∵B是定點，BM是定值，∴M在以B為球心，MB為半徑的球上，故B正確．∵A1C在平面ABCD中的射影是點C與AF上某點的連線，不可能與DE垂直，∴不存在某個位置，使DE⊥A1C.故選C.答案：C二、填空題9．(2017·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，連接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱錐SABC的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.答案：36π10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)．解析：AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，為60°.答案：③④11.如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號是________．解析：∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩AC＝A，∴CB⊥平面PAC.又AF?平面PAC，∴CB⊥AF.又∵F是點A在PC上的射影，∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AF⊥平面PBC，故①③正確．又∵E為A在PB上的射影，∴AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，故②正確．而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.故④錯．答案：①②③12．如圖是一個正方體的平面展開圖．在這個正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．解析：由題意畫出該正方體的圖形如圖所示，連接BE，BN，顯然①②正確；對于③，連接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN與BM成60°角，所以③正確；對于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正確．答案：①②③④三、解答題13．(2017·高考全國卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)證明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．解析：(1)證明：如圖，取AC的中點O，連接DO，BO.因為AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)連接EO.由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq\f(1,2)，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq\f(1,2)，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1.14．(2017·高考全國卷Ⅱ)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐PABCD的體積．解析：(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x.如圖，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因為△PCD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱錐PABCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(22＋4,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).15．(2017·長春質(zhì)量監(jiān)測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD，且BC＝4，點M為PC的中點．(1)求證：平面ADM⊥平面PBC；(2)求點P到平面ADM的距離．解析：(1)取PB的中點N，連接MN、AN，∵M(jìn)是PC的中點，∴MN∥BC，MN＝eq\f(1,2)BC＝