2.3函數(shù)奇偶性知識知識梳理函數(shù)的奇偶性的定義與圖象特征定義圖象特點偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱二、函數(shù)的奇偶性的判斷方法1.定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，則應(yīng)進一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性．2.圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．3.性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)(4)分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷。①先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱②再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系，首先要特別注意f(－x)與f(x)的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對應(yīng)不同的表達(dá)式③將結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較，從而確定奇偶性典例剖析【考點一函數(shù)奇偶性的判斷與證明】典例剖析【題型一函數(shù)奇偶性的判斷與證明（具體函數(shù)）】【總結(jié)歸納】判斷函數(shù)奇偶性的方法1.定義法2.圖象法3.性質(zhì)法1．（24上海高一下期中）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)fx=x4+2x2；(4)y=xcosx；(5)2．（25浙江學(xué)業(yè)水平測試）對于函數(shù)y=log51?xA．是偶函數(shù)，且在x∈?1,0B．是偶函數(shù)，且在x∈1,+C．是奇函數(shù)，且在x∈?1,0D．是奇函數(shù)，且在x∈1,+【變式】（25內(nèi)蒙古高二下期末）（多選）已知函數(shù)f(x)=log12A．函數(shù)f(x)的定義域是[?4,2]B．函數(shù)y=f(x?1)是偶函數(shù)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間[?1,2)上是減函數(shù)D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?1對稱3．（25海南?？诟叨缕谀ǘ噙x）已知fx=2x+A．fx是偶函數(shù) B．gC．f2x?【變式】（25安徽高二下學(xué)業(yè)水平測試）已知函數(shù)f(1)判斷該函數(shù)的奇偶性；(2)判斷fx【歸納總結(jié)】分段函數(shù)奇偶性的判斷——定義法①先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱②判斷f(x)與f(?x)的關(guān)系.分段去看，如x＜0時，x＞0，代入到原解析式中x＞0的那一段解析式，看化簡后的解析式是否與原來x＜0的那段解析式，滿足相等還是相反的關(guān)系，從而按奇偶函數(shù)的定義去判斷。4．判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)fx=x+52?4,?6<x≤?1【題型二函數(shù)奇偶性的判斷與證明（抽象函數(shù)）】【歸納總結(jié)】抽象函數(shù)奇偶性的判斷與證明1.關(guān)鍵：通過賦值，構(gòu)造出含f(2.常用賦值方法：①出現(xiàn)f(x+②出現(xiàn)fxy，一般令y=5．（24云南昭通高一上期中）（多選）函數(shù)f(x)對任意x，y∈R總有f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x<0時，f(x)>0，f(1)=?13，則下列命題中正確的是（A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是R上的減函數(shù)C．f(x)在[?6,6]上的最小值為2D．若f(x)+f(x?3)≥?1，則實數(shù)x的取值范圍為(?【練習(xí)】（25山東煙臺高二下期末）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fy，(1)判斷并證明fx(2)求關(guān)于t的不等式ft6．（25云南昭通高一下期末）已知函數(shù)fx的定義域為R，且f0≠0，若fA．f1=?1 B．f?1=1 C．fx【變式】（24安徽亳州高一上期末）已知函數(shù)y=fx的定義域為?∞,0(1)判斷函數(shù)fx(2)若f2=1(3)若x>1時，fx<1，解不等式7．（24湖南鄂州高一上期中）已知定義在?1,1上的函數(shù)fx滿足：對?x,y∈?1,1都有fx+fy(1)判斷函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx在?1,1(3)解不等式：fx+1知識知識梳理四、奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1.奇函數(shù)，偶函數(shù)的圖象特征（3）定義域能取到0的奇函數(shù)，必有f(0)＝0．（4）如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值及最值的關(guān)系奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．典例剖析【考點二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】典例剖析【題型一根據(jù)奇偶性求函數(shù)值】【歸納總結(jié)】根據(jù)奇偶性求函數(shù)值方法1：先將要求自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，利用解析式求出對于對應(yīng)函數(shù)值，再根據(jù)奇偶性求解要求函數(shù)值；2.方法2：先利用奇偶性求出對應(yīng)范圍的解析式，再直接代入求函數(shù)值【注意】有時需要根據(jù)解析式特點，構(gòu)造奇函數(shù)或偶函數(shù)，以便于求值．8．（25陜西咸陽高一下期末）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=x2A．?7 B．7 C．?5 D．5【變式】（25河南新鄉(xiāng)高一下期末）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=?x2+3，則logA．1+log32 B．2+log9．（25重慶南開高二下期末）已知函數(shù)fx=sinx?2x?12x+1?1在區(qū)間x∈A．1 B．?1 C．2 D．?2【題型二利用奇偶性求函數(shù)解析式】【歸納總結(jié)】利用奇偶性求函數(shù)解析式1.方程組法：已知兩個函數(shù)f(x)，g(x)組合運算及它們的奇偶性，→把x換為－x，構(gòu)造方程組求解．2.定義法：已知一個函數(shù)在某區(qū)間上的解析式，求其對稱區(qū)間上的函數(shù)的解析式?！O(shè)這個區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x，此時－x成為了已知區(qū)間上的解析式中的變量，通過應(yīng)用奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，適當(dāng)推導(dǎo)，即可得所求區(qū)間上的解析式．10．（25全國高考二卷）（多選）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)=x2?3A．f(0)=0 B．當(dāng)x<0時，f(x)=?C．f(x)≥2當(dāng)且僅當(dāng)x≥3 D．x=?1是f(x)【練習(xí)】（25陜西榆林高二下月考）（多選）函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，fx=A．f0=0 B．當(dāng)x<0C．x=?1是fx的極大值點 D．f11．（25山東煙臺高二下期末）已知fx，gx分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足fx+gx【變式】（25廣東廣州高三下月考）已知奇函數(shù)fx和偶函數(shù)gx的定義域均為R，且滿足gx=fxA．1 B．?1 C．f2x D．【題型三利用奇偶性求參數(shù)】【歸納總結(jié)】利用奇偶性求參數(shù)1.參數(shù)在定義域，根據(jù)定義域?qū)ΨQ進行求解2.參數(shù)在解析式①先求定義域，若定義含參（容易表示），則轉(zhuǎn)化為定義域含參類型進行求解②特殊值法：1)定義域可以取到0時，可利用f(02)一般特殊值，取定義域內(nèi)對稱的兩個值，根據(jù)奇偶關(guān)系列出對應(yīng)式子，進行求解。注意求解后要進行檢驗③通用法：定義法。確保定義域?qū)ΨQ的情況下，根據(jù)fx與f（定義域?qū)ΨQ）12．已知函數(shù)fx為定義在區(qū)間3?a,5上的奇函數(shù)，則a=（

A．?2 B．3 C．8 D．無法確定【變式】（24河北高三下測試）已知函數(shù)fx=xsinxA．?1 B．1 C．0 D．?2（奇函數(shù)特殊值）13．（23北京高三下三模）已知函數(shù)fx=a?2x?b?2?xA．充分而不必要 B．必要而不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【變式】（25江蘇錫山高二下月考）函數(shù)f(x)=log2(x2+a?x)（根本定義）14．（25江西撫州高一下期中）已知函數(shù)fx=log22A．?2 B．?12 C．115．（25吉林高二下期末）已知f(x)=2x+m,x>0,nx+3,x<0,為奇函數(shù)，則m+n=（A．?1 B．2 C．0 D．1【變式】（25新疆高三下模擬）已知函數(shù)fx=x2+x,x≤0,【題型四奇偶性、單調(diào)性綜合解不等式】16．（25陜西榆林高二下月考）已知函數(shù)fx=ex?e?xA．?∞,1e2 B．?∞17．（25福建高二下期末）已知函數(shù)fx=3x3?2x+exA．?3,1 B．?1,3C．?∞,?1∪【練習(xí)】（吉林長春高二下期末）已知函數(shù)f(x)=lnx2+1?x?3x+2（e是自然對數(shù)的底數(shù)），若A．(2,+∞) B．(?3,2) C．(?∞18．（25湖南懷化高一下期末）已知函數(shù)fx=x2+1x4A．23,+∞C．?∞,?4∪【變式】（25云南保山高一下期末）已知函數(shù)fx=lne2x19．（24廣東汕頭高一上期中）（多選）已知定義在R上的函