第6講正余弦定理的應(yīng)用（二）【例1】已知向量m=3sinx,2（1）求fx（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且fC=0，c=1【答案】(1)遞增區(qū)間為?5π12【分析】(1)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式、二倍角公式和輔助角公式化簡f(x)（1）f=由?π2+2得?5π12所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?5π（2）由fC=0，得∵0<C∴π3∴2C+π∵asinA=∴a+=8+43sin【練習(xí)】已知向量a=cosx,sin（1）求函數(shù)fx【答案】（1）x=kπ2+π（2）由fA=1可得A=π3【詳解】（1）由條件可得：a?∴fx則2x?π6=（2）由正弦定理得b+由（1）fx=sin2x∴C=b+又在鈍角△ABC中，不妨設(shè)B為鈍角，有π2<∴1<b【例2】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=3c，b=27，求△ABC的面積；（2）若sinA+3sinC=22，求C【答案】（1）3；（2）15°.【分析】（1）由余弦定理可得b2∴c=2,a（2）∵A∴=1∵0°<C∴C【答案】(1)?(2)15（2）結(jié)合（1）得sinB∵C∴cos（1）求BC的長；（2）已知點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，且∠ADB=∠ACB【答案】(1)8(2)12+4【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、基本不等式求積的最大值【分析】（1）由余弦定理解方程可得；化簡得BC2?5BC?24=0故BC的長為8；（2）已知點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，且∠ADB則A,B,則cos∠在△BDC中，由余弦定理得，B則64=(DB∵DB?DC解得DB+DC≤4即DB+DC的最大值為又CA+AB=12【練習(xí)】已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a（1）求B；【解析】（1）由余弦定理可得cosB=a由a+c2abc=由正弦定理可得sinA即sinA所以，sinA所以，sinA因?yàn)锳、B、C∈0,π，所以，A?BA?B+A?B+A?B=B?（2）①由余弦定理、基本不等式可得b2即ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a所以，S△故△ABC面積的最大值為；②因?yàn)镈為邊AC的中點(diǎn)，則AD=DC，即所以，2BD所以，4BD又因?yàn)閍2所以，a2+c2=4+ac，可得4BD2當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)，等號成立，故BD【例4】已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosB?bcos2A=A．(43，63] B．(43【解題思路】根據(jù)題意，化簡得到cos2A+cosA=0，求得cosA=12，得到【解答過程】因?yàn)閍cosB又因?yàn)锳+B+所以sinA即?sin因?yàn)锽∈(0,π)，可得sinB>0解得cosA=1因?yàn)锳∈(0,π)，所以A又因?yàn)椤鰽BC外接圓半徑為2，所以a又由a=23因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且A=π3，所以解得π6<B<π所以a+故選：C.【例5】已知三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且(2a（1）求角B；（2）若b＝2，求a+【答案】(1)π3，(2)（2）由余弦定理及重要不等式得a+c≤4，利用兩邊之和大于第三邊可得a【詳解】（1）∵(2a∴(2sin∵A+∴sin(∴2sin∵sinA∴cosB∵B∈(0,∴B=（2）由B=又a+∴a+c的取值范圍為【練習(xí)】已知△ABC的內(nèi)角A,B（1）求角B；（2）若△ABC外接圓的直徑為23，求【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得到ac=（2）方法一：由正弦定理求得b=3，利用余弦定理和基本不等式，求得a+c方法二：根據(jù)題意，利用正弦定理求得b=3，化簡得到a【解答過程】（1）因?yàn)閍,由正弦定理可得a+ba又由余弦定理得cosB=a2+（2）方法一：因?yàn)椤鰽BC外接圓的直徑為2由正弦定理得bsinB=2由余弦定理得9=a因?yàn)?ac=(a+由三角形性質(zhì)知3<a+c所以6<a+b+c方法二：因?yàn)椤鰽BC外接圓的直徑為2由正弦定理得bsinB=2a+b=3+23sinA+因?yàn)?<A<2π3所以6<a+b+c課堂檢測1、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足b2+c2?a2=bcA．1,3 B．3,23 C．3【解題思路】由余弦定理與基本不等式求出b+c≤23，再由三角形三邊關(guān)系得到b+【解答過程】依題意得b2＋c2－bc＝3，即b+解得：b+c2≤12，又b+c>a=3，因此故選：B.2、在△ABC中，已知S△（1）求角C的大小；（2）求sinA【答案】(1)π3，(2)（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和將角A、B轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角表示，然后根據(jù)兩角和的正弦定理可得答案．∴因?yàn)?<C所以C==∵0<當(dāng)A+π6=π∴sinA+3、設(shè)函數(shù)f(x)=m?（1）求f(（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知fA=2，b=1，△ABC的面積為3【答案】(1)；(2)2.【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及倍角余弦公式、輔助角公式可得f(（2）由題設(shè)可得A=π3，應(yīng)用三角形面積公式有c=2，由余弦定理可得(1)由題設(shè)，f(所以，當(dāng)sin2x+π6(2)所以2A+π6∈在△ABC中，由余弦定理得：a2所以a=由asinA=課后作業(yè)1、在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,SA．8,45+4 B．12,25+2 C．【解題思路】利用面積公式和余弦定理可得tanA2=12【解答過程】∵2S∴S∴1?cosA=12sin∴tanA2=由正弦定理可得asin所以b=5=45sinB+φ因?yàn)椤鰽BC所以π2?A即：π2所以cosA2<sin∴8<45sinB故△ABC的周長的取值范圍是12,4故選：D.2、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，433S=（1）求角A；（2）若a=3，求【解題思路】（1）利用三角形面積公式與余弦定理代入已知條件，整理得tanA（2）利用基本不等式與兩邊之和大于第三邊求得3<【解答過程】（1）因?yàn)?33S=b所以433×12又0<A<π，所以（2）△ABC的周長為l因?yàn)閍2=b因?yàn)閎+c≥2所以(b+c)2又b+c>a=所以△ABC的周長的取值范圍為23、已知a、b、c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，設(shè)m=2c,1，（1）求角C；【答案】（1）C=π6【分析】（1）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合余弦定理求出cosC的值，再由0<C<【詳解】（1）因?yàn)閙=2c,1，n=由余弦定理可得2c?a由余弦定理得cos