第頁第三章第7講(時間：45分鐘分值：100分)一、選擇題1.[2025·安徽淮南]在△ABC中，∠A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，則∠C＝()A.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案：C解析：由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，則sinC＝eq\f(ABsinA,BC)＝eq\f(\r(6)sin\f(π,3),3)＝eq\f(\r(2),2)，又BC>AB，所以∠A>∠C，所以∠C＝eq\f(π,4)，選C.2.[2025·四川高考]在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A.(0，eq\f(π,6)] B.[eq\f(π,6)，π)C.(0，eq\f(π,3)] D.[eq\f(π,3)，π)答案：C解析：由正弦定理得，a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).又∵0<A<π，∴0<A≤eq\f(π,3).故選C.3.[2025·廣西模擬]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，則△ABC的面積等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C.1 D.eq\f(3,4)答案：A解析：∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝eq\f(1,3).∵ac＝3，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×3×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，故選A.4.[2025·成都沖刺]在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊為a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，則cosAcosC＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(2),4)C.－eq\f(1,4) D.－eq\f(\r(2),4)答案：C解析：依題意得a2＋c2－b2＝ac，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2).又0°<B<180°，所以B＝60°，C＋A＝120°.又C－A＝90°，所以C＝90°＋A，A＝15°，cosAcosC＝cosAcos(90°＋A)＝－eq\f(1,2)sin2A＝－eq\f(1,2)sin30°＝－eq\f(1,4)，選C.5.[2025·皖南八校聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＋c＝4，∠B＝30°，則c＝()A.eq\f(13,5) B.eq\f(12,5)C.3 D.eq\f(13,4)答案：A解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c＋bc－b,2ac)，∵a＝eq\r(3)，b＋c＝4，∠B＝30°，∴eq\f(3＋4c－b,2\r(3)c)＝eq\f(\r(3),2)，即3＋4(c－b)＝3c,3＋c＝4b，結合b＋c＝4解得c＝eq\f(13,5).∴選A.6.[2025·天津高考]在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosCA.eq\f(7,25) B.－eq\f(7,25)C.±eq\f(7,25) D.eq\f(24,25)答案：A解析：∵sinC＝sin2B＝2sinBcosB，∴cosB＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b)＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25)，選A項．二、填空題7.在△ABC中，∠B＝eq\f(π,6)，AC＝1，AB＝eq\r(3)，則BC的長度為________．答案：1或2解析：由余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC?1＝3＋BC2－2×eq\r(3)×BC×eq\f(\r(3),2)，解得BC＝1或BC＝2.8.[2025·重慶高考]設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，則c＝________.答案：eq\f(14,5)解析：因為cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，所以sinA＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(12,13)，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(56,65)，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(3×\f(56,65),\f(12,13))＝eq\f(14,5).9.[2025·沈陽質檢]在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，則A＝________.答案：30°解析：根據(jù)正弦定理及sinC＝2eq\r(3)sinB得c＝2eq\r(3)b，∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(c2－a2－b2,2bc)＝eq\f(c2－\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，∵0°<A<180°，∴A＝30°.三、解答題10.[2025·大綱全國高考]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C解：∵B＝π－(A＋C)，∴cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)，∴1＝cos(A－C)＋cosB＝cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC＋sinAsinC＝2sinAsinC，∴sinAsinC＝eq\f(1,2).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得a＝2RsinA，c＝2RsinC，∵a＝2c，∴sinA＝2sinC∴2sin2C＝eq\f(1,2)，即sin2C＝eq\f(1,4)，解得sinC＝eq\f(1,2)或sinC＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴C＝eq\f(π,6).11.[2025·江西高考]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a.(1)求證：B－C＝eq\f(π,2)；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面積．解：(1)證明：由bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a，應用正弦定理，得sinBsin(eq\f(π,4)＋C)－sinCsin(eq\f(π,4)＋B)＝sinA，sinB(eq\f(\r(2),2)sinC＋eq\f(\r(2),2)cosC)－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，由于0<B<eq\f(3π,4)，0<C<eq\f(3π,4)，從而B－C＝eq\f(π,2).(2)B＋C＝π－A＝eq\f(3π,4)，因此B＝eq\f(5π,8)，C＝eq\f(π,8)，由a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).12.[2025·江蘇高考]在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).(1)求證：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝eq\f(\r(5),5)，求A的值．解：(1)證明：由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))得|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝3|eq\o(BA,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB，即為cbcosA＝3cacosB，bcosA＝3acosB，由正弦定理得sinBcosA＝3sinAcosB，兩邊同除cosAcosB得tanB＝3tanA.(2)因cosC＝eq\f(\r(5),5)，所以C為銳角，所以tanC＝2，由(1)tanB＝3tan