3．2平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來表示其他向量.3.會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．知識(shí)點(diǎn)平面向量基本定理思考1如果e1，e2是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？思考2如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？思考3若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何關(guān)系？梳理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的________向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝________________________________.(2)基底平面內(nèi)________的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．類型一對(duì)基底概念的理解例1如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③C．③④ D．②反思與感悟考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來．跟蹤訓(xùn)練1若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－eq\f(1,2)e2C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2類型二平面向量基本定理的應(yīng)用例2如圖所示，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，試以a，b為基底表示eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→)).引申探究若本例中其他條件不變，設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝a，eq\o(BF,\s\up6(→))＝b，試以a，b為基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).反思與感悟?qū)⒉还簿€的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性運(yùn)算及法則對(duì)所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在△AOB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，M，N分別是邊OA，OB上的點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))與eq\o(BM,\s\up6(→))相交于點(diǎn)P，用基底a，b表示eq\o(OP,\s\up6(→)).1．下列關(guān)于基底的說法正確的是()①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．①B．②C．①③D．②③2.如圖，已知Aeq\o(B,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋eq\f(3,4)b B.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b3．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，則x＝________，y＝________.4.如圖所示，在正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，則當(dāng)以a，b為基底時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示為________，當(dāng)以a，c為基底時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示為________．5．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，試用a、b為基底表示eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).1．對(duì)基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底．2．準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1能．依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則．思考2不一定，當(dāng)a與e1共線時(shí)可以表示，否則不能表示．思考3由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.∵e1與e2不共線，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.梳理(1)不共線任一λ1e1＋λ2e2(2)不共線題型探究例1B跟蹤訓(xùn)練1D例2解∵四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點(diǎn)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a.∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝－b＋a＋eq\f(1,2)b＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a.引申探究解取CF的中點(diǎn)G，連接EG.∵E、G分別為BC，CF的中點(diǎn)，∴eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，∴eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.又∵eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(a＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)(eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.跟蹤訓(xùn)練2解eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(MP,\s\up6(→))＝meq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝neq\o(NA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋meq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)a＋m(b－eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋neq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋n(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)b＋n(a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n，,\f(1,2)1－n＝m，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,5)，,m＝\f(2,5).))∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.當(dāng)堂訓(xùn)練1．C2.B3.－15－124．a(chǎn)＋b2a＋c5．解連接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，∴DC綊FB.∴四邊形DCBF為平行四邊形．依題意，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,