第1課時(shí)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P50～P51的內(nèi)容，回答下列問題．(1)方程x2＋1＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？提示：沒有．(2)為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無解的問題，教材中引入了一個什么樣的新數(shù)？提示：引入了新數(shù)i，使i·i＝－1.(3)把實(shí)數(shù)a與引入的新數(shù)i相加，把實(shí)數(shù)b與i相乘，各得到什么結(jié)果？提示：分別得到a＋i，bi.(4)把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加，得到什么結(jié)果？提示：得到a＋bi.2．歸納總結(jié)，核心必記(1)復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示①定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集．②表示：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部．(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，規(guī)定a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.(3)復(fù)數(shù)的分類①復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù).))②集合表示：[問題思考](1)復(fù)數(shù)m＋ni的實(shí)部、虛部一定是m、n嗎？提示：不一定．只有當(dāng)m∈R，n∈R時(shí)，m，n才是該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部．(2)對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，它的虛部是b還是bi?提示：虛部為b.(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi在什么情況下表示實(shí)數(shù)？提示：b＝0.(4)復(fù)數(shù)集C與實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系？提示：RC.(5)我們知道0是實(shí)數(shù)，也是復(fù)數(shù)，那么它的實(shí)部和虛部分別是什么？提示：它的實(shí)部和虛部都是0.(6)a＝0是z＝a＋bi為純虛數(shù)的充要條件嗎？提示：不是．因?yàn)楫?dāng)a＝0且b≠0時(shí)，z＝a＋bi才是純虛數(shù)，所以a＝0是復(fù)數(shù)z＝a＋bi為純虛數(shù)的必要不充分條件．(7)z1＝3＋2i，z2＝eq\f(1,2)－eq\r(3)i，z3＝－0.5i，則z1，z2，z3的實(shí)部和虛部各是什么？能否說z1>z2?提示：z1的實(shí)部為3，虛部為2；z2的實(shí)部為eq\f(1,2)，虛部為－eq\r(3)；z3的實(shí)部為0，虛部為－0.5.因?yàn)閮蓚€虛數(shù)不能比較大小，所以不能說z1>z2.(8)若(a－2)＋bi>0，則a，b應(yīng)滿足什么條件？提示：要使(a－2)＋bi>0成立，則(a－2)＋bi應(yīng)為實(shí)數(shù)，且a－2>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a－2>0，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>2，,b＝0.))[課前反思]通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點(diǎn)．(1)復(fù)數(shù)的定義是什么？；(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是什么？什么是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部？；(3)復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？；(4)復(fù)數(shù)的分類是什么？復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件是什么？.講一講1．給出下列三個命題：(1)若z∈C，則z2≥0；(2)2i－1的虛部是2i；(3)2i的實(shí)部是0.其中真命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3[嘗試解答]對(1)，當(dāng)z∈R時(shí)，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以(1)為假命題；對(2)，2i－1＝－1＋2i，其虛部為2，不是2i，(2)為假命題；對(3)，2i＝0＋2i，其實(shí)部是0，(3)為真命題．故選B.[答案]B(1)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大?。?2)一個數(shù)的平方非負(fù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是真命題，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是假命題，所以在判定數(shù)的性質(zhì)和結(jié)論時(shí)，一定要關(guān)注在哪個數(shù)集上．(3)對于復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的確定不但要把復(fù)數(shù)化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實(shí)數(shù)時(shí)，才能確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部．練一練1．下列命題中：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②復(fù)數(shù)z＝0的實(shí)部和虛部均為0；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±1；④兩個虛數(shù)不能比較大?。渲校_命題的序號是()A．①B．②④C．②③D．③④解析：選B在①中，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，故①錯誤；在③中，若x＝－1，則(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0為實(shí)數(shù)，故③錯誤；②、④正確．[思考]當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？名師指津：當(dāng)b＝0時(shí)，a＋bi是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，a＋bi是虛數(shù)；當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，a＋bi是純虛數(shù)．講一講2．實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．[嘗試解答](1)當(dāng)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5時(shí)，z是實(shí)數(shù)．(2)當(dāng)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5時(shí)，z是虛數(shù)．(3)當(dāng)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，))即x＝－2或x＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．判斷一個復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)，應(yīng)首先保證復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部均有意義．其次根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式再求解．練一練2．實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．解：(1)若z為實(shí)數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m＝－2或m＝－1，))解得m＝－2.∴當(dāng)m＝－2時(shí)，z為實(shí)數(shù)．(2)若z是虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m≠－2且m≠－1，))解得m≠－2且m≠－1.∴當(dāng)m≠－2且m≠－1時(shí)，z為虛數(shù)．(3)若z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2＋2m＋1＝0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1＝1，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝－2，,m≠－1且m≠－2.))解得m＝0.∴當(dāng)m＝0時(shí)，z為純虛數(shù)．[思考]若復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，則z1＝z2的充要條件是什么？名師指津：z1＝z2?a＝c且b＝d.講一講3．根據(jù)下列條件，分別求實(shí)數(shù)x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i.[嘗試解答](1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)∵(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y(tǒng)，,1＝－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的主要依據(jù)，多用來求參數(shù)，其步驟是：分別確定兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，利用實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相等，列方程組求解．練一練3．已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，且x，y滿足2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，求復(fù)數(shù)z.解：∵2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x＝1＋y，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))∴z＝2＋i.———————————————[課堂歸納·感悟提升]—————————————1．本節(jié)課的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件，難點(diǎn)是復(fù)數(shù)的概念．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)由復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)，見講2；(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，見講3.3．若z＝a＋bi，只有當(dāng)a，b∈R時(shí)，a才是z的實(shí)部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分．這是本節(jié)課的易錯點(diǎn)．課下能力提升(七)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1復(fù)數(shù)的概念1．設(shè)全集I＝{復(fù)數(shù)}，R＝{實(shí)數(shù)}，M＝{純虛數(shù)}，則()A．M∪R＝IB．(?IM)∪R＝IC．(?IM)∩R＝RD．M∩(?IR)＝?解析：選C根據(jù)復(fù)數(shù)、純虛數(shù)的定義以及它們之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．依題意，I，R，M三個集合之間的關(guān)系如圖所示．所以應(yīng)有：M∪RI，(?IM)∪R＝?IM，M∩(?IR)≠?，故A，B，D三項(xiàng)均錯，只有C項(xiàng)正確．2．以－eq\r(5)＋2i的虛部為實(shí)部，以eq\r(5)i＋2i2的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是()A．2－2iB．2＋2iC．－eq\r(5)＋eq\r(5)iD.eq\r(5)＋eq\r(5)i解析：選A－eq\r(5)＋2i的虛部為2，eq\r(5)i＋2i2＝－2＋eq\r(5)i，其實(shí)部為－2，故所求復(fù)數(shù)為2－2i.3．若復(fù)數(shù)2－bi(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為()A．－2B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3)D．2解析：選D復(fù)數(shù)2－bi的實(shí)部為2，虛部為－b，由題意知2＝－(－b)，即b＝2.4．下列四個命題：①兩個復(fù)數(shù)不能比較大小；②若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；③若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；④實(shí)數(shù)集相對復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集．其中是真命題的有________(填序號)．解析：①中當(dāng)這兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小．故①不正確；②由于x，y都是復(fù)數(shù)，故x＋yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件．故②不正確；③若a＝0，則ai不是純虛數(shù)，即實(shí)數(shù)集中的0在純虛數(shù)集中沒有對應(yīng)元素，故③不正確；④由實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、復(fù)數(shù)集之間的關(guān)系知④正確．答案：④題組2復(fù)數(shù)的分類5．在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,0,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.618這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3解析：選Ceq\f(2,7)i，(1－eq\r(3))i是純虛數(shù)，2＋eq\r(7)，0,0.618是實(shí)數(shù)，8＋5i是虛數(shù)．6．若復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－1B．2C．1D．－1或2解析：選D∵復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實(shí)數(shù)，∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.7．若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1B．2C．1或2D．－1解析：選B根據(jù)復(fù)數(shù)的分類知，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1或a＝2，,a≠1，))即a＝2.8．已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝eq\f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z為實(shí)數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù)．解：(1)要使z為實(shí)數(shù)，需滿足m2＋2m－3＝0，且eq\f(mm＋2,m－1)有意義即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z為虛數(shù)，需滿足m2＋2m－3≠0，且eq\f(mm＋2,m－1)有意義即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z為純虛數(shù)，需滿足eq\f(mm＋2,m－1)＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.題組3復(fù)數(shù)相等的充要條件9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4解析：選C易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3a＝a2，,－a2＝4a，))解得a＝－4.10．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，則實(shí)數(shù)x＝________，y＝________.解析：∵x，y是實(shí)數(shù)，∴根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝7x－5y，,2x－y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,4)，,y＝\f(3,2).))答案：eq\f(9,4)eq\f(3,2)[能力提升綜合練]1．若復(fù)數(shù)z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－2B．3C．－3D．±3解析：選B依題意應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－9＝0，,m＋2>0，))解得m＝3.2．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i(x，y∈R)，則x，y的值分別為()A．1,2B．2,1C．－1,2D．－2,1解析：選A(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－3x＝2y，,3y＝2x＋2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))即x，y的值分別為1,2.3．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－1或6B．－1或4C．－1D．4解析：選C由M∩N＝{3}，知m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－1＝3，,m2－5m－6＝0，))解得m＝－1.4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，則a的值為()A．0B．－1C．－eq\f(3,2)D.eqD.eq\f(1,6)解析：選A由z1>z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1>2a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0或a＝－\f(3,2)，,a＝0或a＝－1，,a<\f(1,6).))解得a＝0.5．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________.解析：因?yàn)閘og2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2m2－3m－3＝0，,log2m－2≠0，,m－2>0，))所以m＝4.答案：46．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，則實(shí)數(shù)x的值(或取值范圍)是________．解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x2＋2x＋1＝0，,log2x2－3x－2>1.))解得x＝－2.答案：－27．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋2y＋1i＝y(tǒng)＋4xi，,2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i))有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：設(shè)(x0，y0)是方程組的實(shí)數(shù)解，則由已知及復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,2)＝y(tǒng)0，①,2y0＋1＝4x0，②,2x0＋ay0＝9，③,－4x0－y0＋b＝－8，④))由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(5,2)，,y0＝4，))代入③④得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))8．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求實(shí)數(shù)m的值．解：∵M(jìn)∪P＝P，∴M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝2.綜上可知m＝1或m＝2.第2課時(shí)復(fù)數(shù)的幾何意義[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P52～P53的內(nèi)容，回答下列問題．(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)之間有什么對應(yīng)關(guān)系？提示：一一對應(yīng)關(guān)系．(2)有序?qū)崝?shù)對(a，b)與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？提示：一一對應(yīng)關(guān)系．(3)通過以上2個問題，你認(rèn)為復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間有什么對應(yīng)關(guān)系？提示：一一對應(yīng)關(guān)系．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)復(fù)平面的定義建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)的幾何意義①復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)；②復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應(yīng)平面向量.(3)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)的向量為，則的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作|z|或|a＋bi|，且|z|＝eq\r(a2＋b2).[問題思考](1)復(fù)平面的虛軸的單位長度是1，還是i?提示：復(fù)平面的虛軸的單位長度是1，而不是i.(2)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的公共點(diǎn)嗎？提示：是．(3)若復(fù)數(shù)(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)P在第四象限，則a滿足什么條件？提示：a滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,a－1<0，))即－1<a<1.(4)若復(fù)數(shù)z的實(shí)部為－1，虛部為2，則|z|為何值？提示：|a|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5).[課前反思](1)復(fù)平面的定義是什么？什么是實(shí)軸、虛軸？；(2)復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？；(3)復(fù)數(shù)模的定義是什么？.[思考]如何判斷復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的位置？名師指津：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(a，b)對應(yīng)，根據(jù)a，b的符號判斷點(diǎn)(a，b)所在象限或坐標(biāo)軸即可．講一講1．實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的點(diǎn)Z(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直線x－y－3＝0上．[嘗試解答]因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6<0，,x2－2x－15<0，))即－3<x<2時(shí)，點(diǎn)Z位于第三象限．(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6>0，,x2－2x－15<0，))即2<x<5時(shí)，點(diǎn)Z位于第四象限．(3)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2時(shí)，點(diǎn)Z位于直線x－y－3＝0上．(1)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)是：復(fù)數(shù)的實(shí)部就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，虛部就是該點(diǎn)的縱坐標(biāo)．(2)已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)滿足的條件求參數(shù)取值范圍時(shí)，可根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解．練一練1．實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i的點(diǎn)(1)位于x軸上方；(2)位于直線y＝x上．解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，此時(shí)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于x軸上方．(2)由m2＋5m＋6＝m2－2m－15，得m＝－3，此時(shí)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于直線y＝x上．[思考]與復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)的平面向量是什么？名師指津：與復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)的平面向量＝(a，b)．講一講2．(1)已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn)，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－5＋5iB．5－5iC．5＋5iD．－5－5i(2)在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.①求向量，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)；②若ABCD為平行四邊形，求D對應(yīng)的復(fù)數(shù)．[嘗試解答](1)向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.(2)①設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由復(fù)數(shù)的幾何意義知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，－2＋2i，－3＋i.②因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以＝＝(－3,1)，＝＋＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i.[答案](1)B(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)．反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量．(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的題目時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化．練一練2．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)z的實(shí)部為3，且||＝3，如果點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：根據(jù)題意設(shè)復(fù)數(shù)z＝3＋bi(b∈R)，由復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量的對應(yīng)關(guān)系得＝(3，b)，已知||＝3，即eq\r(32＋b2)＝3，解得b＝0，故z＝3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)．因此，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B(－3,0)，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z′＝－3.[思考]復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模是什么？其模的幾何意義是什么？名師指津：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2)，其幾何意義是點(diǎn)(a，b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離．講一講3．已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.(1)求|z1|及|z2|并比較大小；(2)設(shè)z∈C，滿足條件|z|＝|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是什么圖形？[嘗試解答](1)|z1|＝|eq\r(3)＋i|＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，所以|z1|>|z2|.(2)法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(x，y)．由|z|＝|z1|＝2得eq\r(x2＋y2)＝2，即x2＋y2＝4.所以點(diǎn)Z的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓．法二：由|z|＝|z1|＝2知|OZ→|＝2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以Z到原點(diǎn)的距離為2.所以Z的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓．(1)復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的?？梢员容^大?。?2)根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題解決．(3)根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義|z|＝|OZ→|，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為向量模(即兩點(diǎn)的距離)的問題解決．練一練3．已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：因?yàn)閦＝3＋ai(a∈R)，所以|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－eq\r(7)，eq\r(7))．——————————————[課堂歸納·感悟提升]—————————————1．本節(jié)課的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，難點(diǎn)是復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，見講1；(2)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，見講2；(3)復(fù)數(shù)模的計(jì)算及應(yīng)用，見講3.課下能力提升(八)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：選C復(fù)數(shù)6＋5i對應(yīng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,5)，－2＋3i對應(yīng)B點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,3)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，所以點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i，故選C.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝sin2＋icos2對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D∵eq\f(π,2)<2<π，∴sin2>0，cos2<0.故z＝sin2＋icos2對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．3．復(fù)數(shù)z＝x－2＋(3－x)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．解析：∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,3－x<0.))解得x>3.答案：(3，＋∞)4．設(shè)z＝log2(1＋m)＋ilogeq\f(1,2)(3－m)(m∈R)．(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求m的取值范圍；(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x－y－1＝0上，求m的值．解：(1)由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21＋m<0，,log\f(1,2)3－m<0，,1＋m>0，,3－m>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m<0，,m<2，,m>－1，,m<3.))解得－1<m<0，∴m的取值范圍是(－1,0)．(2)由已知得，點(diǎn)(log2(1＋m)，logeq\f(1,2)(3－m))在直線x－y－1＝0上，即log2(1＋m)－logeq\f(1,2)(3－m)－1＝0，∴l(xiāng)og2[(1＋m)(3－m)]＝1，∴(1＋m)(3－m)＝2，∴m2－2m－1＝0，∴m＝1±eq\r(2)，且當(dāng)m＝1±eq\r(2)時(shí)都能使1＋m>0，且3－m>0，∴m＝1±eq\r(2).題組2復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系5．向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＝－3＋2i，對應(yīng)的復(fù)數(shù)z2＝1－i，則|＋|為()A.eq\r(5)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(10)解析：選A因?yàn)橄蛄繉?yīng)的復(fù)數(shù)為z1＝－3＋2i，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2＝1－i，所以＝(－3,2)，＝(1，－1)，則＋＝(－2,1)，所以|＋|＝eq\r(5).6．向量＝(eq\r(3)，1)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．－eq\r(3)＋iB．2iC．1＋eq\r(3)iD．－1＋eq\r(3)i解析：選B向量＝(eq\r(3)，1)，設(shè)其方向與x軸正方向夾角為θ，tanθ＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，則θ＝30°，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與x軸正方向夾角為90°，又||＝2，故旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i，故選B.7．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，所以x＋y＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)．由＝x＋y，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))所以x＋y＝5.題組3復(fù)數(shù)模的計(jì)算及應(yīng)用8．已知復(fù)數(shù)z＝eq\r(2)－3i，則復(fù)數(shù)的模|z|是()A．5B．8C．6D.eq\r(11)解析：選D|z|＝eq\r(\r(2)2＋－32)＝eq\r(11).9．已知0<a<2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是________．解析：∵|z|＝eq\r(a2＋1)，而0<a<2，∴1<a2＋1<5，∴1<|z|<eq\r(5).答案：(1，eq\r(5))10．已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得，a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.[能力提升綜合練]1．若eq\f(3,2)<m<2，則復(fù)數(shù)z＝(2m－2)＋(3m－7)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D∵eq\f(3,2)<m<2，∴2m－2>0,3m－7<0.∴復(fù)數(shù)z＝(2m－2)＋(3m－7)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．2．復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：選A∵|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(5)，∴eq\r(a2＋4)<eq\r(5)，∴－1<a<1.3．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，它的模是3，實(shí)部是－eq\r(5)，則z為()A．－eq\r(5)＋2iB．－eq\r