專題13.2與三角形有關(guān)的線段（知識梳理+11個考點講練+難度分層練共41題）知識點1三角形的邊1.定義：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.2.剖析：①三角形的三邊關(guān)系中，“兩邊的差”“兩邊的和”中的“兩邊”是三一邊中的任務(wù)一邊；②判斷三條線段能否組成三角形：如果兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可組成三角形；反之則不能組成三角形。3.性質(zhì)：三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用.知識點2三角形的中線1.定義：如圖（1），連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的中線.2.交點：一個三角形有三條中線，這三條中線相交于一點（如圖（2））.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形內(nèi)部.知識點3三角形的角平分線1.定義：如圖（1），畫△ABC的∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫作△ABC的角平分線.2.交點：三角形的三條角平分線相交于一點，三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心.知識點4三角形的高1.定義：如圖13.27，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的高線，三角形的高線簡稱三角形的高．2.交點：三角形的三條高線相交于一點，三角形三條高線的交點叫做三角形的垂心.①銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部（如圖13.28（1）），三條高的交點也在三角形的內(nèi)部；②直角三角形有兩條高恰好是它的兩條直角邊（如圖13.28（2）），三條高的交點是三角形的直角頂點；③鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，兩個垂足落在邊的延長線上（如圖13.28（3）），三條高所在直線的交點也在三角形的外部．考點1：構(gòu)成三角形的條件【典例精講】（2223八年級上·甘肅平?jīng)觥るA段練習）已知三角形一腰上的中線把三角形分成周長為30cm和24【變式訓練】（2223七年級下·四川眉山·期末）已知關(guān)于x、y的方程組ax+2y=14x+y=4與x?y=2(1)求a、b的值；(2)如果a、b是等腰三角形的兩邊，求該等腰三角形的周長．考點2：確定第三邊的取值范圍【典例精講】（2324七年級下·廣東佛山·期中）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=7，AD=5，則AC的取值范圍為．【變式訓練】（2324八年級上·全國·單元測試）已知三角形的三邊長分別為2，a?1，4，則化簡a?3+a?7的結(jié)果為考點3：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用【典例精講】（2425八年級上·全國·期中）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．(1)化簡式子a?b+c+a?b?c(2)若a=x+8，b=3x?2，c=x+2．①x的取值范圍是；②當△ABC為等腰三角形時，求a，b，c的值．【變式訓練】（2425八年級上·全國·期中）【定義】若一個三角形三邊長均為偶數(shù)，則稱這個三角形為“好運三角形”．例如，三邊為6，8，10的三角形是“好運三角形”．(1)【概念運用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC為“好運三角形”，求AC的長；(2)【變式運用】已知△ABC的周長為16，AC=4，若AB的長為偶數(shù)，試判斷△ABC是否為“好運三角形”．考點4：三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【典例精講】（2021·吉林長春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練】（2324八年級上·四川南充·階段練習）安裝空調(diào)一般會采用如圖的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是（

）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短C．三角形的穩(wěn)定性 D．垂線段最短考點5：四邊形的不穩(wěn)定性【典例精講】（2425八年級上·云南大理·期中）2023年9月29日，中國航天局發(fā)布消息，探月工程嫦娥六號任務(wù)正按計劃開展研制工作，將開展月球背面采樣返回，計劃于2024年上半年實施發(fā)射，對提升我國國際航天地位、推動航天技術(shù)創(chuàng)新、提供科學數(shù)據(jù)、培養(yǎng)人才和激發(fā)民眾興趣具有重要意義．如圖，登月探測器中，機械臂伸縮自如，靈活性強，其機械原理主要是運用了．【變式訓練】（（2021七年級下·全國·專題練習）如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構(gòu)成的幾個連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個頂點處都有一個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？考點6：角平分線、高【典例精講】（2425八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，若△ABC的面積是24cm2，AD=6cm，那么斜邊上的中線長是【變式訓練】（2324七年級下·福建福州·階段練習）如圖所示，每個小正方形的邊長均為1，點A，點B，點C在小正方形的頂點上．(1)畫出△ABC中邊BC上的高AD，邊AC上的中線BE；(2)已知△ABE的周長比△BCE的周長大45，則AB比BC長______．(3)直接寫出△ABE的面積為______．考點7：根據(jù)三角形中線求長度【典例精講】（2425八年級上·湖南益陽·期中）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，E,F分別是AD,BE的中點，且S△ABC=8cm2，則圖中陰影部分【變式訓練】（2425八年級上·廣西桂林·期中）如圖，A，B，C分別是線段A1B,B1C,C1考點8：根據(jù)三角形中線求面積【典例精講】（2324七年級下·河南鄭州·期末）如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中分別按下列要求畫圖（請保留畫圖痕跡，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示）．(1)畫出△ABC關(guān)于AC對稱的△ACD（點B的對應(yīng)點是點D）；(2)畫出△ABC的重心O；(3)直接寫出四邊形ABCD的面積______．【變式訓練】（2425八年級上·安徽·期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（

）A．BF=CF B．∠B+∠BAD=90°C．S△ABE:S考點9：重心的概念【典例精講】（2425八年級上·浙江金華·期末）如圖是一張鈍角三角形紙片ABC，小明想通過折紙的方式折出如下線段：①AC邊上的中線BD；②∠B的平分線BE；③AC邊上的高BF．上述三條線段中能通過折紙折出的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式訓練】（2425八年級上·湖南永州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，給出以下結(jié)論：①BF=AF；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④S△ABE=S△BCE；⑤BH=CH；⑥AD?BC=AB?AC；⑦考點10：三角形角平分線的定義【典例精講】如圖，AC⊥BC，DE⊥BC，垂足分別為C，

A．AC是△ABC的高 B．AC是△ABE的高C．DE是△DBE的高 D．DE是△ABE的高【變式訓練】（2223八年級上·浙江湖州·期中）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點稱做格點．(1)畫出△ABC的高CD；(2)求△ABC的面積；(3)在邊AC上找到一點E，滿足EA=EB．考點11：畫三角形的高【典例精講】（2425八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在△ABC中，AD，AF分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面積為40，AD=5，求AF的長．【變式訓練】（2024七年級下·上海·專題練習）如圖，AB∥CD，如果AB=4，CD=6，△ABC的面積為18，那么△BCD的面積為．基礎(chǔ)夯實1．（2425八年級上·陜西渭南·期末）以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（

）A．1?cm,2?cmC．2?cm,3?cm2．（2425八年級上·吉林四平·期末）在△ABC中，∠A+∠B=∠C，則這個三角形是（

）A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形3．（2425八年級上·安徽滁州·期中）在△ABC中，3∠A=32∠B=∠C，則△ABCA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形4．（2425八年級上·河南濮陽·期中）如圖，AD是△ABC的中線，DE是△ABD的中線，若S△DEB=3cm2，則S5．（2425八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在△ABC中，CE是AB邊上的中線，BC=4DC，AD與CE交于點F，若△ABC的面積等于16．（1）△ADC的面積為；（2）設(shè)△AEF的面積為m，△DFC的面積為n，則m+n=．6．（2425八年級上·福建莆田·期中）木蘭溪大橋全長860m，由我國著名橋梁專家、莆籍院士林元培設(shè)計，以莆田特色的“壺山蘭水”為主題，將莆田人文景觀與自然環(huán)境結(jié)合，體現(xiàn)了莆田地域文化和時代特征．如圖，橋梁拉桿和橋面構(gòu)成三角形的結(jié)構(gòu)，運用的數(shù)學原理是三角形的7．（2223九年級下·海南?？凇て谥校┤鐖D，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于12AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD，若△CDB的面積為24，△ADE的面積為18，則四邊形EDBC的面積為8．（2324八年級上·云南曲靖·期中）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD與CE相交于點O．(1)求證：△OBC(2)若AB=5，BD=4，BC=6，求點A到BC邊的距離．9．（2223七年級下·貴州·期末）如圖，△ABC的高AD=6cm，BC=9cm，點E在BD上，連接AE．設(shè)CE的長為xcm，△ABE的面積為y(1)求y與x之間的關(guān)系式；(2)若CD=4cm，當x為多少時，△ABE的面積比△ADE的面積大3cm210．（2024七年級下·江蘇·專題練習）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖（1）．在△ABC和△A′B′C′中，AD和A′D′分別是BC【性質(zhì)探究】如圖（1），用S△ABC，S△A則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD=3，DC=4，則S△ABD(2)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點．若BE:AB=1:2，CD∶BC=1∶3，S△ABC=1，求△BEC培優(yōu)拔高11．（2324八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，△ABC中，D，E分別為BC，AD的中點，且△ABC的面積為4，則圖中陰影部分面積為（

）A．3 B．2 C．1 D．112．（2324八年級上·北京海淀·期中）在等邊三角形ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，點P是線段AD上的一個動點，當△PCE的周長最小時，P點的位置在（

）

A．△ABC的重心處 B．AD的中點處C．D點處 D．線段AD靠近點D的四等分點處13．（2425八年級上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為（A．3cm B．5cm C．3cm或5cm 14．（2324八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．若AB=9，AC=6，則△ADE的周長為．15．（2425八年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE，DE平分∠ADC．若AB=7，AD=4，CD=8，S△ACD=10，則△ABE的面積為16．（2425八年級上·浙江金華·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，過點G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°?12∠A；③點G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m，AE+AF=n17．（2425八年級上·安徽安慶·期中）如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線．(1)求證：∠AEC>∠B；(2)若S△ACE=3cm18．（2