數(shù)學(xué)最值模型專題教學(xué)講義一、引言最值問題是數(shù)學(xué)的核心問題之一，貫穿于從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程，也是實(shí)際應(yīng)用中解決優(yōu)化問題的關(guān)鍵工具（如成本最低化、利潤最大化、路徑最短化等）。本專題將系統(tǒng)梳理函數(shù)最值、幾何最值、不等式最值、組合優(yōu)化最值四大類模型，重點(diǎn)講解各類模型的核心方法與典型應(yīng)用，幫助學(xué)生建立“模型識別—方法選擇—問題解決”的思維鏈。二、函數(shù)最值模型函數(shù)最值是指函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值或最小值，核心是分析函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)。（一）一次函數(shù)最值基本形式：\(f(x)=kx+b\)（\(k\neq0\)）單調(diào)性：\(k>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增，閉區(qū)間\([m,n]\)上最大值為\(f(n)\)，最小值為\(f(m)\)；\(k<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減，閉區(qū)間\([m,n]\)上最大值為\(f(m)\)，最小值為\(f(n)\)。典型例題：求\(f(x)=-3x+2\)在\([-1,4]\)上的最值。解答：\(k=-3<0\)，單調(diào)遞減，故最大值為\(f(-1)=5\)，最小值為\(f(4)=-10\)。（二）二次函數(shù)最值基本形式：\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）頂點(diǎn)與對稱軸：對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，頂點(diǎn)值\(f\left(-\frac{2a}\right)=\frac{4ac-b^2}{4a}\)。最值分析：\(a>0\)，開口向上，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；\(a<0\)，開口向下，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)。區(qū)間最值：需比較對稱軸與區(qū)間\([m,n]\)的位置：對稱軸在區(qū)間內(nèi)：最值為頂點(diǎn)值與端點(diǎn)值中的極值；對稱軸在區(qū)間左側(cè)：單調(diào)遞增（\(a>0\)）或遞減（\(a<0\)），最值在端點(diǎn)；對稱軸在區(qū)間右側(cè)：單調(diào)遞減（\(a>0\)）或遞增（\(a<0\)），最值在端點(diǎn)。典型例題：求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,3]\)上的最值。解答：對稱軸\(x=1\in[0,3]\)，頂點(diǎn)值\(f(1)=2\)（最小值）；端點(diǎn)值：\(f(0)=3\)，\(f(3)=6\)（最大值）。結(jié)論：最大值6，最小值2。（三）分式函數(shù)最值常見形式：\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)（\(c\neq0\)）處理方法：分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)形式：\(f(x)=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}\)，其值域?yàn)閈((-\infty,\frac{a}{c})\cup(\frac{a}{c},+\infty)\)，閉區(qū)間上有最值。典型例題：求\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\)在\([2,4]\)上的最值。解答：分離常數(shù)：\(f(x)=2+\frac{3}{x-1}\)；在\([2,4]\)上，\(x-1\)遞增，\(\frac{3}{x-1}\)遞減，故\(f(x)\)遞減；最大值\(f(2)=5\)，最小值\(f(4)=3\)。（四）三角函數(shù)最值基本性質(zhì)：\(\sinx,\cosx\in[-1,1]\)，故\(a\sinx+b\cosx\in[-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}]\)（輔助角公式）。典型例題：求\(f(x)=3\sinx+4\cosx\)的最大值。解答：輔助角公式：\(f(x)=5\sin(x+\varphi)\)（\(\cos\varphi=\frac{3}{5}\),\(\sin\varphi=\frac{4}{5}\)）；最大值為5（當(dāng)\(x+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)時(shí)取到）。三、幾何最值模型幾何最值問題的核心是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜路徑或圖形轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”“點(diǎn)到直線垂線段最短”等基本模型。（一）距離最值：將軍飲馬問題模型背景：將軍從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，再到B地，求最短路徑。解決方法：作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交l于P，則P為飲馬點(diǎn)，AP+PB為最短路徑。原理：對稱性質(zhì)：AP=A'P，故AP+PB=A'P+PB；兩點(diǎn)之間線段最短：A'P+PB≥A'B（當(dāng)且僅當(dāng)P在A'B上時(shí)取等）。典型例題：已知A(1,2)，B(3,4)，直線l:y=x，求A到l再到B的最短路徑長。解答：作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'(2,1)（中點(diǎn)在l上，且AA'⊥l）；計(jì)算A'B長度：\(\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}\)；結(jié)論：最短路徑長為\(\sqrt{10}\)。（二）面積最值：矩形面積最值模型背景：給定周長的矩形，求面積最大值。解決方法：設(shè)長x、寬y，周長2(x+y)=C，面積S=xy。由均值不等式\(xy≤(\frac{x+y}{2})^2=(\frac{C}{4})^2\)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等，故正方形面積最大。典型例題：用長12的鐵絲圍矩形，求面積最大值。解答：x+y=6，S=xy≤9（當(dāng)x=y=3時(shí)取等）；結(jié)論：面積最大值9。（三）體積最值：長方體體積最值模型背景：給定表面積的長方體，求體積最大值。解決方法：設(shè)長a、寬b、高c，表面積2(ab+bc+ac)=S，體積V=abc。由均值不等式\(ab+bc+ac≥3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)，故\(V≤\sqrt{(\frac{S}{6})^3}\)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等，故正方體體積最大。典型例題：用表面積24的鐵皮做無蓋長方體盒子，求體積最大值。解答：設(shè)a=b（對稱假設(shè)），表面積\(a^2+4ac=24\)，解得\(c=\frac{24-a^2}{4a}\)；體積\(V=a^2c=6a-\frac{a^3}{4}\)，求導(dǎo)得a=2√2時(shí)V最大；結(jié)論：體積最大值8√2。四、不等式最值模型不等式最值的核心是放縮，通過不等式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為定值，需滿足不等式的條件。（一）均值不等式（AM-GM）基本形式：對于正數(shù)\(a_1,a_2,...,a_n\)，有\(zhòng)(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}≥\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a_1=a_2=...=a_n\)時(shí)取等。適用條件：一正（變量為正）、二定（和或積為定值）、三相等（能取到等號）。典型例題1（積定和最小）：求\(x+\frac{1}{x}\)（x>0）的最小值。解答：由均值不等式，\(x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)；當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等，故最小值為2。典型例題2（和定積最大）：求\(x(6-2x)\)（0<x<3）的最大值。解答：變形為\(2x(3-x)\)，由均值不等式，\(2x(3-x)≤2\cdot(\frac{x+3-x}{2})^2=\frac{9}{2}\)；當(dāng)且僅當(dāng)x=3-x即x=1.5時(shí)取等，故最大值為\(\frac{9}{2}\)。（二）柯西不等式基本形式：對于實(shí)數(shù)\(a_1,a_2,b_1,b_2\)，有\(zhòng)((a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)≥(a_1b_1+a_2b_2)^2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}\)時(shí)取等。典型例題：求3x+4y的最大值，其中x2+y2=1。解答：由柯西不等式，\((3x+4y)^2≤(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25\)；當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}\)且x2+y2=1時(shí)取等，解得x=3/5，y=4/5；結(jié)論：最大值為5。五、組合優(yōu)化最值模型組合優(yōu)化問題是在約束條件下尋找目標(biāo)函數(shù)的極值，常見的有線性規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃。（一）線性規(guī)劃定義：在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最值。解決方法（圖解法）：1.畫可行域：由約束條件確定的平面區(qū)域；2.平移目標(biāo)函數(shù)直線：找到可行域內(nèi)使z取得極值的點(diǎn)；3.計(jì)算極值：代入頂點(diǎn)坐標(biāo)比較。典型例題：求z=2x+y的最大值，約束條件：\(x≥0\),\(y≥0\),\(x+y≤1\),\(2x+y≤1.5\)。解答：可行域?yàn)樗倪呅蜲ABC（O(0,0),A(0,1),B(0.5,0.5),C(0.75,0)）；目標(biāo)函數(shù)直線斜率為-2，平移后在B、C點(diǎn)取得最大值1.5；結(jié)論：最大值1.5。（二）整數(shù)規(guī)劃定義：決策變量為整數(shù)的線性規(guī)劃問題。解決方法：在可行域的整數(shù)點(diǎn)中枚舉，尋找目標(biāo)函數(shù)的極值。典型例題：求z=x+y的最大值，約束條件：\(x≥0\),\(y≥0\),\(2x+3y≤6\),x,y為整數(shù)。解答：可行域整數(shù)點(diǎn)：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)；計(jì)算z值：(0,2)和(1,1)的z=2，為最大值；結(jié)論：最大值2。六、專題總結(jié)1.函數(shù)最值：分析單調(diào)性與極值點(diǎn)，區(qū)間最值需比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)；2.幾何最值：轉(zhuǎn)化為基本距離模型，常用對稱、平移變換；3.不等式最值：應(yīng)用均值不等式、柯西不等式，注意“一正二定三相等”；4.組合優(yōu)化：線性規(guī)劃用圖解法，整數(shù)規(guī)劃用枚舉法，注意變量約束。七、鞏固練習(xí)1.函數(shù)最值：求\(f(x)=-x^2+4x-1\)在\([1,3]\)上的最值；2.幾何最值：求點(diǎn)P(2,3)到直線3x+4y-1=0的最短距離；3.不等式最值：求\(x+3y\)的最大值（x>0,y>0,x+y=5）；4.線性規(guī)劃：求z=x+2y的最大值（約束條件：\(x≥0\),\(y≥0\),\(x+y≤3\),\(x-y≥1\)）；5.整數(shù)規(guī)劃：求z=2x+3y的最大值（約束條件：\(x≥0\),\(y