專題07基本不等式

1、學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“，”取等號的

條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等

2、基本不等式的推導(dǎo)與證明過程，提升邏輯推理的思維能力

3、基本不等式的簡單應(yīng)用，理解積定與和定問題

知識點一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

基本不等式：Va>03>0,a+622而，（當(dāng)且僅當(dāng)a=6時，取“=”號）其中而叫做正數(shù)。，〃的

幾何平均數(shù)；字叫做正數(shù)匕的算數(shù)平均數(shù).

2

如果Va/eR,有a?+b222ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”號）

特別的，如果。>0力>0,用歷分別代替代入"+b222az7,可得：a+bN2寂,當(dāng)且僅當(dāng)

a=6時，"=”號成立.

知識點二：利用基本不等式求最值

①已知x,y是正數(shù)，如果積孫等于定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2"；

V2

②已知x,y是正數(shù)，如果和％+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)％=y時，積孫有最大值?一；

4

知識點三：基本不等式鏈

2//a+b/fa'+b~

（其中。>0,b>0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”號）

ab

知識點四：三個正數(shù)的基本不等式

如果a>0,b>0,c>0,那么"匕加泥（當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=c時，取“=”號）

3

對點集訓(xùn)

對點集訓(xùn)一：對基本不等式的理解

典型例題

2

例題1.（24-25高一上?新疆吐魯番?期末）已知實數(shù)。＞0,則〃+4+3的最小值是（

a

A.3A/2+3B.2A/2+3C.6D.5

【答案】B

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】直接利用基本不等式求解即可.

【詳解】因為。＞0,

所以。+2+3士2/02+3=2忘+3,

aVa

當(dāng)且僅當(dāng)〃:―，即〃=血，

a

9

所以〃+4+3的最小值是2近+3.

a

故選：B.

X++的最大值為

例題2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）當(dāng)時，則函數(shù)y

【答案】-|/-2.5

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】根據(jù)基本不等式可得最值.

3

【詳解】由x＜一,貝1|2%—3＜0,3-2x＞0,

2

.8

貝ni！lyux+T；；--

2%—3

3

=—（2x—3）H----+—

2V72x-32

（）3

=--3-2x+—^―+—

2V73-2%2

<,J1（3-2X）.IA-35

2-i—二—

22

當(dāng)且僅當(dāng)一晨心,即時等號成立,

即最大值為-

故答案為:-|

精練

1.（2025高三,全國?專題練習(xí)）函數(shù)y=.x（3-2力的最大值為（）

9八9-9

A.3B.-C.—D.—

428

【答案】D

【知識點】基本不等式求積的最大值

【分析】根據(jù)基本不等式可得最值.

31cAc、1/2x+3-2尤Y9

【詳解】當(dāng)。<元<5時，^=x（3-2x）=—?2"-2力312J=r

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即1=2時等號成立9

4

3

當(dāng)兀<0或％2萬時，y40恒成立，

綜上所述y=x（3-2x）的最大值為三,

8

故選：D.

d+士的最小值為______.

2.（24-25高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）：

X

【答案】2

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式求出最小值.

【詳解】依題意，%2>0,則尤2+±22、J「一=2,當(dāng)且僅當(dāng)入=±1時取等號,

xVx

所以Y+與的最小值為2.

X

故答案為：2

3.（24-25高一上?海南省直轄縣級單位?期中）若0<x<2,則3X（2T）的最大值為

【答案】3

【知識點】基本不等式求積的最大值

【分析】直接利用基本不等式求解即可.

【詳解】因為0<x<2,所以2-x>0,

所以3x（2T43,「尸］=3,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x,即無=1時，取等號,

所以3x（2-”的最大值為3.

故答案為：3.

對點集訓(xùn)二：利用基本不等式求最值

角度1：和為定值求積的最值

典型例題

例題1.（24-25高一上?河南鄭州?期末）已知。>0,6>0,且34+76=10,則油的最大值為.

【答案】||/修

【知識點】基本不等式求積的最大值

【分析】利用基本不等式可求乘積的最大值.

【詳解】由基本不等式可得3a+76=101同即abV?,

當(dāng)且僅當(dāng)6=5熱5時等號成立，故而的最大值為?95，

故答案為：宗25

例題2.（24-25高一上?新疆省直轄縣級單位?階段練習(xí)）若x>0,y>0,且x+y=20,則書，的最大值

是?

【答案】100

【知識點】基本不等式求積的最大值

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】依題意，尤>0,y>0,孫V（無;=100>

當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=10時等號成立.

故答案為：100

精練

1.（24-25高一上?陜西漢中?期末）若。>0,萬>0,且。+6=3,貝（1（）

33

A.ab有最小值為彳B.必有最大值為二

22

9a

C.仍有最小值為丁D.必有最大值為了

44

【答案】D

【知識點】基本不等式求積的最大值

【分析】根據(jù)基本不等式，可得答案.

【詳解】由題意可得a+622a，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號，解得OVabwg.

4

故選：D.

2.（2025高三上?廣東?學(xué)業(yè)考試）已知x,y>0,且2x+y=4,則移的最大值為（）

A.20B.2C.472D.4

【答案】B

【知識點】條件等式求最值、基本不等式求積的最大值

【分析】直接利用基本不等式求解即可.

【詳解】因為羽丁>0,所以2x+y=4?2j2xxy=20+丙^,可得孫42,

當(dāng)2尤=、且2工+丫=4時，即x=l,y=2時等號成立，

所以孫的最大值為2.

故選：B.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知“>0/>0且2a+56=10,則必的最大值為（）

35

A.2B.5C.-D.-

22

【答案】D

【知識點】基本不等式求積的最大值

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最大值.

【詳解】由。>0/>0,得10=2〃+5叱242。?5萬，則當(dāng)且僅當(dāng)。=1/=1時取等號，

所以當(dāng)。=±。=1時，必取得最大值為"

22

故選：D

角度2:積為定值求和的最值

典型例題

例題1.（24-25高三上?廣東深圳?期末）已知。>0,6>0,。+6=2刈，則a+6的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】利用利用基本不等式化簡已知條件，從而求得正確答案.

【詳解】依題意，a+b=2ab<2x[——J,

即(a+b)2—2(a+b)=(a+h)(a+b—2)>0,

由于a+Z?>0,所以a+b—2之0,〃+Z?N2,

當(dāng)且僅當(dāng)Q=Z?=1時等號成立，所以4+Z?的最小值為2.

故選：B

2

例題2.(24-25高一上?北京延慶?期末)已知％<0,則y=l+2x+—的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)戶時,

等號成立.

【答案】-3-1

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式可得何時取何最大值.

21

【詳解】y=l+2x+『I-2](r)+西卜I-2、2=-3,

當(dāng)且僅當(dāng)(-%)2=1即x=T時等號成立，

2

故y=l+2x+—的最大值為-3,此時x=-1,

x

故答案為=-3,-1.

精練

1.(24-25高一上?北京東城?階段練習(xí))若v=x-2+—尤>2)在％="處取得最小值，貝!|〃=()

x-2

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式求出最小值即可得解.

【詳解】由%>2,得％—2>0,貝IJ/(x)=x—2+'z2j(x—2>,=2,

x-2Vx-2

當(dāng)且僅當(dāng)尤-2=」，即x=3時取等號，

x-2

所以當(dāng)尤=3時，/(%)取得最小值2,因此〃=3.

故選：B

4

2.(24-25高二上?廣東廣州?階段練習(xí))已知%>0,貝U2-%—-()

A.有最大值2B.有最小值-2

C.有最大值-2D.有最小值2

【答案】C

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運算求解即可.

【詳解】因為x>0,貝Ij2-x—^=2-—）<2—2Jx,—=—2,

4

當(dāng)且僅當(dāng)了=2,即x=2時，等號成立，

x

4

所以2-X,有最大值_2.

x

故選：C.

4

3.（23-24高二上?云南昭通?開學(xué)考試）已知x>0,貝!|x+—+1的最小值為.

【答案】5

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式求和的最小值即可.

【詳解】由x>0可知，利用基本不等式可得X+3+122、Q+1=5,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)尤=2時，等號成立，

4

即x+—+1的最小值為5.

x

故答案為：5

角度3:常數(shù)代換法

典型例題

14

例題1.（24-25高一上?廣東廣州?期中）已知正數(shù)羽丁滿足x+y=l,則一+一的最小值為（）

xy

149

A.5B.—C.-D.9

32

【答案】D

【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式“1”的代換求解即可.

【詳解】因為，+±=］，+3］（彳+丫）=5+2+”25+2］^^=9,

xyyxyJxyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)上v=一4x，即11=y0時等號成立,

Xy33

14

所以一+一的最小值為9.

故選：D.

916

例題2.（24-25高三上上海階段練習(xí)）已知羽,均為正實數(shù)且x+y=l,則一+一的最小值為

??"y

【答案】49

【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.

【詳解】因為x+y=i,

m、1916916/\9y16x__

所以一+—=—+—(x+y)=---1-----F25,

%yx%y

因為等詈2

=24,

—=正時取得等號，即3y=4x,

當(dāng)且僅當(dāng)

xy

3

x=-

3y=4x-7

又因為尤+y=i,所以聯(lián)立…，解得

4，

y二一

7

16916(%+))=力+1^+25249,

所以一+—=—+——

%y%V

3

x——

:時，有最小值，最小值為49,

所以當(dāng)

y=-

7

故答案為：49.

精練

且x+4y=l,則,+工的最小值為（）

1.（24-25高一上?上海?期末）設(shè)%?￡（0,口）,

xy

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】根據(jù)基本不等式的乘“1”法即可求解.

【詳解】由于蒼y￡(。,+°°),故—?—=|—I—](x+4y)=5d——H—>5+2=9,

xyyxy)xy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)曳=土即>=:時取等號，

Xy63

故選：D

41

2.（24-25高一上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期末）若正數(shù)。涉滿足〃+28=2,則？+；的最小值為（）

ab

[53

A.—B.3+2\/2C.6D.—FA/2

22

【答案】B

【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用等量關(guān)系和基本不等式可求答案.

【詳解】由a+2匕=2得《+6=1,故±+：=]3+：][§+，=3+9+423+2近，

2ab\ab）alb

當(dāng)且僅當(dāng)竺=9，即a=2同=4-2拒時，等號成立，

a2b

41

所以-+7的最小值為3+2忘.

ab

故選：B.

41

3.（24-25高一上?江西?階段練習(xí)）已知/+/=5,則與+=的最小值為____1

ab

【答案】|/1,8

【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式，結(jié)合“1”的妙用計算判斷即可.

【詳解】因為所以：=

/+/=5,+b2

當(dāng)且僅當(dāng)*=3

BP2b2=a29又因為/+/=5,

所以當(dāng)6=￥時，取得最小值3

9

故答案為：j.

角度4:湊配法

典型例題

例題1.（24-25高一下?湖北黃岡,階段練習(xí)）已知x?-2,2）,則*+x的最大值為（）

A.2B.-4C.-2D.4

【答案】C

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】先把負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再應(yīng)用基本不等式計算求解即可.

【詳解】由題意得x-2<0,貝11^^+尤=-----2+x+2=-（^—+2-x]+2<-2j^—-（2-x）+2=-2,

x-22-x（2-x）\2-x'7

4

當(dāng)且僅當(dāng)/-=2-無，即x=0時，等號成立.

2-x

4

故+x的最大值為-2.

x-2

故選:C.

4

例題2.（24-25高一下?貴州黔南?階段練習(xí)）已知x>2,那么函數(shù)、='；+》的最小值是_______.

x-2

【答案】6

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】由基本不等式即可求.

【詳解】由于x>2,所以x-2>0,故>=士+A2+2N2JW(A2)+2=6

4

當(dāng)且僅當(dāng)一-=x-2,即x=4時等號成立,

x-2

故答案為：6

精練

1.（2。25.河北石家莊一模）已知四。,4）,貝小?三的最小值為（）

【答案】D

【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式來求得正確答案.

【詳解】xe(O,4),-xe(^4.,O),4-xe(O,4),

116

/(x)=—+------

x4-xE卜+j)

4—工+16%、111rc14—x16x25

>-17+2J------x-------

x4-x41Vx4-x4

當(dāng)且僅當(dāng)一時等號成立

故選：D

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知0<x<2,求的最大值為（）

立

1也1

ABCD

--

2244

【知識點】基本不等式求積的最大值

【分析】利用配湊法，結(jié)合基本不等式即可得解.

X

【詳解】因為。。<2,所以一5>°.

所以

當(dāng)且僅當(dāng)f=lg即I時等號成立，

因此

故選：B.

3.（24-25高三下廣東深圳?階段練習(xí)）若x>3,貝!|2-尤-一匚的最大值為________.

x-3

【答案】-3

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】根據(jù)基本（均值）不等式求和的最小值即可.

【詳解】因為2*3=一（>3）一—一1一（>3）+占-1

x>3,

由基本不等式得（尸3）+，22，-3）'=2,當(dāng)且僅當(dāng)即x=4時，等號成立.

x3\x3x3

故2—x----^二一(X-3)H——-1<-2-1=-3.

故答案為：-3

角度5:二次與二次（或一次）商式

典型例題

例題1.（23-24高一?全國?課后作業(yè)）已知x2則/0）=匚2的最小值為

22x-4--------

【答案】1

【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值

【解析】將函數(shù)解析式化簡后，利用基本不等式求得函數(shù)的最小值.

【詳解】/⑺=A4彳：5=（：；2）：1=1-2）+4]..1.當(dāng)且僅當(dāng)尤-2=工，即x=3時等號成立.

2x-42（x-2）2|_x-2Jx-2

故答案為：1

【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

例題2.（24-25高一上?上海,開學(xué)考試）若x>-l,貝|J2:+4x+4的最小值為____.

X+1

【答案】4

【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值

【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.

【詳解】當(dāng)犬〉一1時，x+l>0,

jjiy+A-x+42(x+11+2

=2(X+1)+_|_>2^2(X+1).-1]=4,

x+1x+1

7

當(dāng)且僅當(dāng)2（了+1）=U，即x=0時取等號,

所以至±竺±￡的最小值為4.

X+1

故答案為：4

精練

1.（23-24高二上?云南昆明?）函數(shù)〃x）=：_；+4的值域是.

【答案】（—,-5]U[3,4W）

【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值

【解析】將〃x）化簡可得〃x）=x+d_l,然后討論%>0和％<0時，利用基本不等式求最值即可求解.

X

【詳解】f（x）=x2~x+4=x+--l,

XX

4I4

當(dāng)無>。時/（X）—x~\---122J%x1—3f

當(dāng)尤<0時，（一%）+

所以〃”=一（—%）+—-1<-4-1=-5

所以函數(shù)的值域是（F,-5]U[3,W）,

故答案為：（3,_5]U[3,+a））

【點睛】方法點睛：形如二次比一次的形式的函數(shù)，先對其化簡整理，使之具備使用基本不等式的條件,

再利用基本不等式求最值，可得值域.

2.（23-24高一上?貴州貴陽?階段練習(xí)）已知x>-l,求y=的最小值

【答案】6

【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值

【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.

【詳解】當(dāng)x>-l時，x+l>0,

X2+2X+10_(x+l)2+9(1+1)?-=6,

=X+1+9

9

當(dāng)且僅當(dāng)1+1=仁，即x=2時取等號,

所以y=『+2x+10的最小值為6

3.（23-24高一上?江蘇淮安?開學(xué)考試）（1）已知x>5,求士+工的最小值；

（2）已知x<2，求4尤+—--的最大值；

44x-5

【答案】（1）9;（2）3.

【知識點】基本不等式求和的最小值、二次與二次（或一次）的商式的最值

【分析】（1）由「4—x=--4--Fx-5+5,結(jié)合基本不等式即可求解；

x-5x-5

（2）由4尤+^^=4X一5+^~^+5=5—[（5-4尤）+—,結(jié)合基本不等式即可求解.

4x-54x-55-4x

【詳解】（1）由x-5>0,貝+x-5+522）^-?（尤-5）+5=9,

x-5Vx-5

4

當(dāng)且僅當(dāng)一-=x-5=>%=7時等號成立，故目標(biāo)式最小值為9.

（2）由5-4x>0,貝lj4x-5+—^-+5=5—[（5-4x）+-^—]V5—2」（5—4尤）?一—=3,

4x-55-4xv5-4x

當(dāng)且僅當(dāng)4龍-5=：'nx=1時等號成立，故目標(biāo)式最大值為3.

4x-5

對點集訓(xùn)三：基本不等式在實際中的應(yīng)用

典型例題

例題1.（24-25高一上?海南僧州?期中）為了滿足運輸市場個性化線路的需求，海南僧州汽車運輸公司購

買了一批電動汽車投入運營.根據(jù)運營情況分析，每輛電動汽車營運的總利潤y（單位：10萬元）與營運

年數(shù)x（xeN*）為二次函數(shù)的關(guān)系（如圖），其中（6,11）為二次函數(shù)的頂點坐標(biāo).

Q）在運營過程中，求每輛電動汽車的總利潤y關(guān)于營運年數(shù)x（xeN*）的函數(shù)關(guān)系；

（2）當(dāng)每輛電動汽車營運年數(shù)為多少時，僧州汽車運輸公司營運的年平均利潤最大？年平均利潤最大是多

少？

【答案】Q）y=-（尤-6）?+11,（尤?N*）

（2）5,2

【知識點】求二次函數(shù)的解析式、基本不等式求和的最小值、利用二次函數(shù)模型解決實際問題、基本（均

值）不等式的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)圖象即可求解；

（2）由基本不等式求解上的最大值即可.

X

【詳解】（1）根據(jù)題意知，拋物線的頂點為（6,11）,過點（4,7）,開口向下，

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=?（x-6）2+ll（a<0）,

所以7=。（4-6）2+11,解得a=—l,

所以y=_（x_6y+ll,（xeN*）

（2）由（1）,得營運的年平均利潤2==V12-2后=2,

XXVx）

當(dāng)且僅當(dāng)x=325,即x=5時取等號.最大值為2.

X

例題2.（24-25高一上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）“寧城蘋果”已經(jīng)發(fā)展成當(dāng)?shù)刂匾幻癞a(chǎn)業(yè)，金秋十月，蘋果

飄香引客來，呈現(xiàn)一片繁榮景象.某采摘園內(nèi)有一塊場地，如下圖所示，當(dāng)?shù)氐脑O(shè)計公司欲在AACD,AABD,

NBDE.三塊區(qū)域種植不同的花草供游客欣賞，已知AC=BE,ZACB=ZAEB=90。，C4+C3=4,設(shè)3C=x,

（單位:km）

（1）請用x表示CO;

（2）當(dāng)x取何值時，AACD的面積最大，并求最大值.

Q

【答案】（1）C￡>=4—（0<x<4）

x

（2）當(dāng)x=2后時，AACD的面積最大，最大值為（12-8&）km

【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用

【分析】⑴利用勾股定理有（彳-。。）2=82+（4一尤）2解出即可；

（2）結(jié)合基本不等式表示出三角形的面積求出最值即可.

【詳解】（1）因為ZAC8=/AE3=90°,AC=3E=4—5C=4—x,

所以RtAACD=RIBBEDnCD=DE,

在RtABDE中，BEr^ED2+EB2,

所以（x—CD）?=CD?+（4-切2,

Q

整理得CO=4--（0<x<4）.

（2）由（1）得AACD的面積為

\ACD=|AC-CD=1（4-X）^4--^=12-^2X+—^<12-2^2%--=12-872,

當(dāng)且僅當(dāng)2無=3，即尤=2夜時等號成立，

X

所以當(dāng)x=20時，A&CD的面積最大，最大值為（12-80）km.

精練

1.（24-25高一上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，為了開展勞動教育，某校在“一米農(nóng)莊”內(nèi)計劃用籬笆圍

成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形育苗區(qū).設(shè)育苗區(qū)的長為x米，寬為y米.

I,J

[II.,I.I,II,II.III,I,II,II_I.III

tI

y

1_______________

<--------X-------->

（1）若育苗區(qū)面積為8平方米，則X,y為何值時，所用籬笆總長最??；

（2）若使用的籬笆總長為10米，求生土上的最小值.

孫

【答案】（1）育苗區(qū)的長為4m,寬為2m；

（2）—

10

【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的應(yīng)用

【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值.

（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】（1）依題意，xy=8,所用籬笆總長為x+2y,而％+2丫22班藥=8,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=4,>=2時取等號，

所以育苗區(qū)的長為4m,寬為2m時，所用籬笆總長最小.

（2）依題意，x+2y=10,

2」+2」（1+2）（尤+2日」（5+幺+瑪」（5+2、尸）=2,

當(dāng)且僅當(dāng)出=2，即x=y=W時取等號，

xy3

所以生土2的最小值t

孫10

2.（24-25高一上?河北張家口?階段練習(xí)）某保健廠研制了一種足浴氣血生機的足療盆，具體原理是：在

足浴盆右側(cè)離中心x（O<x<16）厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對雙腳起保健作用.根據(jù)檢測發(fā)現(xiàn)，該臭

氧發(fā)生孔工作時會對泡腳的舒適程度起到干擾作用，已知臭氧發(fā)生孔工作時，對左腳的干擾度與爐成反比，

比例系數(shù)為2;對右腳的干擾度與500-d成反比，比例系數(shù)為％,且當(dāng)天=5時，對左腳和右腳的干擾度之

和為2

95

（D求臭氧發(fā)生孔工作時對左腳和右腳的干擾度之和）關(guān)于x的表達(dá)式；

（2）求臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小值，并求此時尤的值.

232

【答案】（l）y=—+~o?0<%<16；

x500-x

（2）當(dāng)x=10時，臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小值為[.

【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式“1”的妙用求最值、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

【分析】（1）根據(jù)條件列出函數(shù)關(guān)系式，再代入數(shù)值求左，即可求解；

（2）利用基本不等式求最值.

7k

【詳解】（1）由題意可知y-—--------，0<%<16*

x500一x

因為尤=5時，尸1?4，所以（2+聯(lián)左=］14，解得：%=32,

232

所以0<尤<16；

（2）因為0<x<16,所以d>0,500-X2>0,

'=1+50；3=+50；二2］［無2+（500―尤2/

32f]>_LJ+22仰03）32廠

1

500-%2-500V尤2500-%210

，I）

當(dāng)2（500一廠）=32Y即尤=j。時等號成立,

%2500-x2

所以當(dāng)x=10時，臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小值為乙.

3.（24-25高一上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）已知A、3為東西方向的海岸線上相距12km的兩地（5在A的東

側(cè)），C是A、3之間距A地3km處的一地，在C地正南方向3km處有一海島尸，由海島尸開往海岸的小

船以10km/h的速度按直線方向航行.

（1）某人在海島P上乘小船在距C地正東方向4km處的D地登岸，登岸后以5km/h的速度向東步行到B地,

求此人從海島尸到達(dá)2地的時間；

（2）一快遞員以vkm/h的速度從A地向B地騎行，同時某人乘小船從海島P向海岸出發(fā),兩人恰好相遇于C、

3之間的E地，且距C地xkm（O<x<9）,求快遞員的速度丫的最大值.

【答案】（l）l.5h

（2）10V2km/h

【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

【分析】（1）根據(jù)三角形性質(zhì)可計算各線段長度，再根據(jù)速度可得時間；

（2）根據(jù)時間相等可列方程，再結(jié)合基本不等式可得最值.

【詳解】（1）如下圖所示：

由題意可得AC=3km,PC=3km,CD=4km,BD=9-4=5km,PCVCD,

由勾股定理可得PD=VPC2+CD2=V32+42=5km>

因此，此人從海島尸到達(dá)3地的時間為"等+?='+1=1.511;

（2）如下圖所示：AC=3km,PC=3km,CE=%km,PC±CE,

由勾股定理可得尸E=J尸02+CE2=,9+/（站）,

所以，v<loV2（km/h）,

9

當(dāng)且僅當(dāng)x==（0<x<9）時，即當(dāng)a=3時，等號成立,

X

因此，快遞員的速度V的最大值為loVIkm/h.

對點集訓(xùn)四：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題

典型例題

21

例題1.（24-25高一上?福建福州?階段練習(xí)）已知實數(shù)x,y>0,且一+—=1,若2x+y>/-8加恒成立,

xy

則實數(shù)"2的取值范圍為（）

A.{m|-1</?!<9}B.{m\-9<m<Y\C.[m\-l<m<9]D.{m\m<-\^m>9]

【答案】A

【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立問題

【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用先求得2x+y的最小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化問題為9>m2-8m9解不等式即可

求解.

21

【詳解】由一+—=1,x,y>0,

xy

則2x+y=（2x+y）仔+U衛(wèi)+a+522戶凡5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)空=生，即％=y=3時等號成立，

xy

要使2%+>>加2_8根恒成立，貝1」9>加2一8加，

解得-lvmv9,即實數(shù)加的取值范圍為{切-1<根<9}.

故選：A.

例題2.（24-25高一上,河南潦河?期末）已知%>0,不等式蛆+1〉。恒成立，則實數(shù)加的取值范圍

是■

【答案】m>-2

【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、基本不等式的恒成立問題

【分析】由題意可得對x>0恒成立，由基本不等式求得y=的最大值即可.

XX

【詳解】由尤>0,不等式/+〃）％+1>0恒成立，可得〃?>-尤-工對尤>。恒成立，

X

令一L一"廿山二一2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=工，即x=l時取等號，

XyxjVXX

所以相>-2,所以用〉-2.

故答案為:m>-2.

精練

、112

1.（24-25高一上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）設(shè)。<根<：,若上+左恒成立，則發(fā)的最大值為（）

2m1—2m

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式的恒成立問題

121

【分析】只需由基本不等式求出機（1-2加）的最大值，即7+匚工￡=證詢的最小值即可.

【詳解】由于0<〃?<L則得到［2詞1一2加）41（也士0二網(wǎng)〕=-（當(dāng)且僅當(dāng)2〃?=1一2相，即加=工時,

22v2I2J84

取等號）；

121斗=8

所以----k

Jl-2m

8

121

又由丁FT赤為恒成立，故心8,則無的最大值為&

故選：D.

2TYI

2.（23-24高一下?河北保定?期末）已知機>0,孫>0,當(dāng)x+y=2時，不等式一+―24恒成立，則機的

xy

取值范圍是

A.m>y/lB.m>2C.m<\［2D.m<2

【答案】B

【知識點】基本不等式的恒成立問題

2H21

【分析】根據(jù)x+y=2為定值，那么?。?4乘以1x+y）后值不變，由基本不等式可消去x,y后，對得

到的不等式因式分解，即可解得m的值.

【詳解】因為加>0,xy>0,x+y=2,

+根+2）.因為不等式1+