作業(yè)06條件概率、全概率及貝葉斯公式

---積累亭用--------

1.條件概率

條件概率的定義條件概率的性質(zhì)

已知8發(fā)生的條件下，/發(fā)生的概率，稱為3發(fā)生時4發(fā)生的條件概率，記為(1)O<P(5M)<1,

c⑵如果3和C是兩

當(dāng)P⑻>0時，我們有P(/⑻一'彳：：).(其中，AHB也可以記成N2)個互斥事件，則

尸(BUCM)=

類似地，當(dāng)尸(/)>0時，/發(fā)生時2發(fā)生的條件概率為尸(8⑶WP(C⑶

2.全概率公式

一般地，設(shè)Ni,Ai,...,4是一組兩兩互斥的事件，AiU^2U...UA?=Q,且尸(4)>0,i=l,2,

n,則對任意的事件BQ=B(Ai+A2+...+A?)=BAi+BA2+...+BA?,有P(8)=

￡P(guān)(4)P(川4)

/=1

,此公式為全概率公式.

(1)計算條件概率除了應(yīng)用公式尸團/)=尸"BL外，還可以利用縮減公式法，即P(8⑷="(4B),

P(A)n(A)

其中〃(/)為事件A包含的樣本點數(shù)，”(45)為事件AB包含的樣本點數(shù).

(2)全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件/的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不

同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.

3.貝葉斯公式

一般地，設(shè)Al,A2,---,An是一組兩兩互斥的事件，有A1uA2u...uAn=Q且

P(4)>0,，=L2,…,”，則對任意的事件3口Q尸(8)〉0有

?、萴))一⑷尸但4)

()汽尸⑷尸(以4)

1=1

wa鞏固提升練

一、單選題

I.甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，丙袋中有5個白球和4個紅球.

先隨機取一只袋，再從該袋中隨機取一個球，該球為白球的概率是()

2.一玩具制造廠的某一配件由/、B,C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記

錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠/、B、。的次品率分別為0.02,0.01,0.03,提供配件的份額分別為

25%,70%,5%,設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記，從中隨機抽取一件

配件，則抽到的是次品的概率為（）

A.0.0135B.0.0115C.0.0125D.0.0145

3.質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)

整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“享生素數(shù)”如：3和5,5和7,…，那么,

如果我們在不超過40的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件/：這兩個數(shù)都是素數(shù).事件8：

這兩個數(shù)不是攣生素數(shù)，則尸（同/）=（）

4.假設(shè)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入

乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個

白球的概率為（）

379—181

A.----B.—C.—D.-

15075372

5.研究人員對甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性進行研究，通過實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：“對藥物甲產(chǎn)生抗藥性”

324

的概率為商，“對藥物乙產(chǎn)生抗藥性”的概率為商，“對甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性”的概率為

則在對藥物甲產(chǎn)生抗藥性的條件下，對藥物乙也產(chǎn)生抗藥性的概率為（）

31C112

A.——B.一D.

1955

二、多選題

6.已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不

同.先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球.記從甲口袋中取出的

球是紅球、白球分別為事件4、4,從乙口袋中取出的球是紅球為事件3,則下列結(jié)論正確的是（）

31

A.P（4）=-B.P[B\A^=-

Q2

c.P（45）=-D.P（4⑻=n

7.“新高考”后，普通高考考試科目實行“3+1+2”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學(xué)、

生物學(xué)這4門科目中選擇2門作為再選科目.甲、乙兩名同學(xué)各自從這4門科目中任意挑選2門科

目學(xué)習(xí).記事件N表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學(xué)”，事件3表示“甲、乙兩人都選擇了生物

學(xué)”，事件。表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件。表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”,

則()

3

A.3與。相互獨立B.PUlD)=-

C.P(B\D.+0=f

8.連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3”記為A事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點

數(shù)是3的倍數(shù)”記為B事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)”記為C事件，“兩次拋擲結(jié)果向

上的點數(shù)之和為奇數(shù)”記為。事件，則下列敘述中不正確的是()

A.C與。互斥B.P(Q|N)=；C.A與。相互獨立D.8與。不相互獨立

三、填空題

9.一位射擊運動員向一個目標(biāo)射擊二次，記事件4="第i次命中目標(biāo)”。=1,2),尸(4)=；,

P(4"4)=2P(4),P(4M⑷=；。=1,2),則p(4)=.

10.為了組建一支志愿者隊伍，欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的

隊長，設(shè)事件A為“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件8為“抽取的3人中至少有一名女志愿

者”，則尸(小8)=.

四、解答題

11.編號為1,2,3的三個除編號外完全相同的盒子里，分別裝有3個紅球，2個白球；3個黃球，3個

白球；4個黑球，5個白球.(所有球除顏色外完全相同)

(1)現(xiàn)隨機從某個盒子里摸2個球，則在選到2號盒子的條件下，摸出的兩個球都是白球的概率是多

少？

(2)現(xiàn)隨機從某個盒子里摸1個球，若摸出的球是白色，則這個球來自2號盒子的概率是多少？

12.某芯片制造企業(yè)采用流水線的方式生產(chǎn)芯片.原有生產(chǎn)線生產(chǎn)某型號的芯片需要經(jīng)過三道工序,

這三道工序互不影響.已知三道工序產(chǎn)生不合格產(chǎn)品的概率分別為《、」、」，三道工序均合格

504948

的產(chǎn)品成為正品，否則成為次品.

(1)求該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率；

(2)為了提高產(chǎn)量，該企業(yè)又引進一條新生產(chǎn)線加工同一型號的芯片，兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出的芯片隨機

混放在一起.已知新生產(chǎn)線的次品率為上，且新生產(chǎn)線的產(chǎn)量是原生產(chǎn)線產(chǎn)量的兩倍.從混放的芯

片中任取一個，計算它是次品的概率.

wa能力培優(yōu)練

1.對于隨機事件42,記7為事件A的對立事件，且尸（/）=|,尸（8|2）=:網(wǎng)7|勾3,則

P（B）=.

2.（多選）甲箱中有4個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有3個紅球，3個白球和3個黑球，先

從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以4，4和4表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事

件；再從乙箱中隨機取出一球，以8表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件B與事件4?=1,2,3）相互獨立B.尸（4的=2

CP⑻D.P（闋町=（

3.（多選）盒中有編號為1,2,3,4的四個紅球和編號為1,2,3,4的四個白球，從盒中不放回

的依次取球，每次取一個球，用事件4表示“第左次首次取出紅球”，用事件及表示“第（左+1）次取出

編號為1的紅球”，用事件Q表示“第性+1）次取出編號為1的白球“，則（）

A.尸（印4）〈尸（卻4）B.尸（國4）=尸（G14）

c.尸（見4）＞尸（C3I4）D.P（孫4）〈尸（CJ4）

4.（多選）甲盒中有3個紅球，2個白球；乙盒中有2個紅球，3個白球.先從甲盒中隨機取出一個

球放入乙盒，事件/表示“從甲盒中取出的是紅球“，事件2表示“從甲盒中取出的是白球“；再從乙

盒中隨機取出一球，事件C表示“從乙盒中取出的是紅球”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件N與事件B是互斥事件B.事件/與事件C是獨立事件

C尸（。忸）=；D.尸?吟

5.托馬斯?貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：

P⑷尸（8⑷“

2（4忸（4并回/［這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中上尸（4）尸（第4）稱

7=1

為5的全概率，假設(shè)小紅口袋中有4個白球和4個紅球，小蘭口袋中有2個白球和2個紅球，現(xiàn)從

小紅自己口袋中任取2個球放入小蘭口袋中，小蘭再從自己口袋中任取2個球，已知小蘭取出的是

2個紅球，則小紅從口袋中取出的也是2個紅球的概率為.

W3柘展突破練

1.（多選）已知尸（，）=：,尸（a/）=；.若隨機事件48相互獨立，則（）

A.尸（3）=；B.P（AB）=^C.尸（1忸）=：D.尸（4+5）=￡

2.假設(shè)有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球4個

紅球，這些小球除顏色外完全相同.

(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，求取出的兩球中有紅

球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；

(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機取出一

個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率.

3.某校團委開展知識競賽活動.現(xiàn)有兩組題目放在48兩個箱子中，A箱中有6道選擇題和3道論

述題，8箱中有3道選擇題和2道論述題.參賽選手先在任一箱子中隨機選取一題，作答完后再在

此箱子中選取第二題作答，答題結(jié)束后將這兩個題目放回原箱子.

⑴若同學(xué)甲從3箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；

⑵若同學(xué)乙從A箱中抽取了2題，答題結(jié)束后誤將題目放回了B箱，接著同學(xué)丙從3箱中抽取題目

作答，

(i)求丙取出的第一道題是選擇題的概率；

(ii)已知丙取出的第一道題是選擇題，求乙從A箱中取出的是兩道論述題的概率.

遍仿真考場練

1.(2023?全國?高考真題)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的

同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛

好滑冰的概率為()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

2.(2022?天津?高考真題)52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到/的概率

為;已知第一次抽到的是/,則第二次抽取N的概率為

3.(2022?全國?高考真題)在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得

到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/p>

16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)

據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001).

作業(yè)06條件概率、全概率及貝葉斯公式

---積累亭用-------

4.條件概率

條件概率的定義條件概率的性質(zhì)

已知8發(fā)生的條件下，/發(fā)生的概率，稱為3發(fā)生時4發(fā)生的條件概率，記為(1)O<P(5M)<1,

c⑵如果3和C是兩

當(dāng)P(B)>0時，我們有P(/⑻—0彳：’.(其中，AHB也可以記成N2)個互斥事件，則

尸(BUCM)=

類似地，當(dāng)尸(/)>0時，/發(fā)生時2發(fā)生的條件概率為尸(8⑶WP(C⑶

5.全概率公式

一般地，設(shè)Ni,Ai,...,4是一組兩兩互斥的事件，AiU^2U...UA?=Q,且尸(4)>0,i=l,2,

n,則對任意的事件BQ=B(Ai+A2+...+A?)=BAi+BA2+...+BA?,有P(8)=

￡P(guān)(4)P(川4)

/=1

,此公式為全概率公式.

(1)計算條件概率除了應(yīng)用公式尸(8⑷=P"BL外，還可以利用縮減公式法，即尸如尸"(4B),

P(A)n(A)

其中〃(/)為事件A包含的樣本點數(shù)，”(45)為事件AB包含的樣本點數(shù).

(2)全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件/的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不

同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.

6.貝葉斯公式

一般地，設(shè)Al,A2,---,An是一組兩兩互斥的事件，有A1uA2u...uAn=Q且

P(4)>0,z=l,2,...,?，則對任意的事件BqQ尸(8)〉0有

?、萴))一⑷尸但4)

()汽尸(4)尸(以4)

1=1

wa鞏固提升練

一、單選題

1.甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，丙袋中有5個白球和4個紅球.

先隨機取一只袋，再從該袋中隨機取一個球，該球為白球的概率是（）

,1014—139

A.—B.—C.—D.—

19272719

【答案】B

【分析】利用全概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)“取出的球來自甲袋”為事件4,“取出的球來自乙袋”為事件4,“取出的球來自丙袋”為

事件4,“該球為白球”為事件B,

則尸修）=尸⑷尸（切4）+尸⑷尸（8闖+尸⑷尸（切4）=9在91+白［=片

JJJJJ7乙/

故選：B.

2.一玩具制造廠的某一配件由/、3、C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記

錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠aB、。的次品率分別為0.02,0.01,0.03,提供配件的份額分別為

25%,70%,5%,設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記，從中隨機抽取一件

配件，則抽到的是次品的概率為（）

A.0.0135B.0.0115C.0.0125D.0.0145

【答案】A

【分析】設(shè)事件D：抽到的是次品，事件用：抽到的配件來自/制造廠，事件與：抽到的配件來

自&制造廠，事件瑪：抽到的配件來自C制造廠，利用全概率公式計算可得.

【詳解】設(shè)事件。：抽到的是次品，

事件心：抽到的配件來自/制造廠，事件與：抽到的配件來自3制造廠，事件均：抽到的配件來自

C制造廠，

由題意可知：

P（耳）=25%,尸（&）=70%,尸（4）=5%,尸（。耳）=。.02,尸（OE2）=0.01,P（D|E3）=0Q3,

所以尸（。）=尸（Ej?尸（。閨）+尸（乙）?尸（。與）+尸（名）?尸（。名）

=25%x0.02+70%x0.01+5%x0.03=0.0135.

故選：A.

3.質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)

整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“攣生素數(shù)”如：3和5,5和7,…，那么,

如果我們在不超過40的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件/：這兩個數(shù)都是素數(shù).事件8：

這兩個數(shù)不是攣生素數(shù)，則尸（同4）=（）

.1032廠3161

A.—B.—C.—D.—

11333366

【答案】D

【分析】分析可知自然數(shù)有41個，素數(shù)有12個，攣生素數(shù)有5組，根據(jù)條件概率公式結(jié)合古典概

型分析求解.

【詳解】不超過40的自然數(shù)有41個，其中素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,共12個,

攣生素數(shù)有3和5,5和7,11和13,17和19,29和31,共5組.

所以P(介旨=耨=

61

所以P(引/)=需=61

66

故選：D.

4.假設(shè)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入

乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個

白球的概率為()

379—181

A.---B.—C.—D.-

15075372

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為4,事件4的

概率為尸(4),從乙中取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為B,事件8的概率為尸(8),再

分別分析，=0,1,2三種情況求解即可

【詳解】設(shè)從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為4,事件4的概率為p(4)，從乙中

取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為5,事件3的概率為尸(3),由題意：

2C2co

①尸(4)=巖c°c1產(chǎn)(團4)=*=1

w15

「2ro

②尸(4)=泮c1C13p⑷4)=*=1

55

2c2ro2

③尸(4)=巖r°C3p(04)=巖=|

10

根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為

32

X

P(A?⑶_________________二4/⑷4)________________1Q518

V

P(4)P(2|4)+尸(4)尸(2|4)+P(4)P(切4)±xX+lxL+lxl37

101555105

故選：C

5.研究人員對甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性進行研究，通過實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：“對藥物甲產(chǎn)生抗藥性”

的概率為：3，“對藥物乙產(chǎn)生抗藥性”的概率為：2，“對甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性”的概率為不4，

則在對藥物甲產(chǎn)生抗藥性的條件下，對藥物乙也產(chǎn)生抗藥性的概率為（）

162

A.—B.-C.—D.

195195

【答案】D

【分析】根據(jù)和事件的概率公式求出P（/8）,再由條件概率公式計算即可得解.

【詳解】設(shè)“對藥物甲產(chǎn)生抗藥性”為事件A,“對藥物乙產(chǎn)生抗藥性”為事件B,“對甲、乙兩種藥物

均不產(chǎn)生抗藥性”為事件C,

則尸⑷=Q（B）=版（C）=.且尸?=尸國=:

所以尸（/+3）=1_尸（罰）=：,又P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）,

所以外⑷打⑷+P⑻-尸0+2）=看??為

6

所以。但"）=常=￥=|?

19

故選：D.

二、多選題

6.已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不

同.先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球.記從甲口袋中取出的

球是紅球、白球分別為事件4、4,從乙口袋中取出的球是紅球為事件￡則下列結(jié)論正確的是（）

A.P⑷=7B.尸（2區(qū)）=1

92

c.網(wǎng)4為=而D.尸（4,）=：

【答案】ACD

【分析】直接使用古典概型方法可以計算得出尸（4）=；,尸（4）="P（5|4）=j，P（引4）=》

即可判斷A選項，再結(jié)合條件概率公式和全概率公式即可確定B,C,D選項的正確性.

【詳解】對于A,由于甲口袋中裝有4個球，其中有3個紅球，所以「（4）=^，故A正確；

對于B,若從甲口袋中取出的球是白球，則此時乙口袋中有2個紅球，2個白球，從而此條件下從乙

口袋中取出的球是紅球的概率為尸（a4）=：=1,故B錯誤；

對于C,若從甲口袋中取出的球是紅球，則此時乙口袋中有3個紅球，1個白球，從而此條件下從乙

口袋中取出的球是紅球的概率為尸（a4）="所以尸（4團=尸（4）尸（司4）=了1=正，故c正確;

對于D,由于甲口袋中裝有4個球，其中有1個白球，所以尸(4)=：,結(jié)合以上分析,

所以64⑻=號需=尸(叫4)尸(4)2

,故D正確.

尸(a4)尸(4)+耳目4)耳聞-33+ji

442

故選：ACD

7.“新高考”后，普通高考考試科目實行“3+1+2”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化學(xué)、

生物學(xué)這4門科目中選擇2門作為再選科目.甲、乙兩名同學(xué)各自從這4門科目中任意挑選2門科

目學(xué)習(xí).記事件/表示“甲、乙兩人中恰有一人選擇生物學(xué)”，事件3表示“甲、乙兩人都選擇了生物

學(xué)”，事件C表示“甲、乙兩人所選科目完全相同”，事件。表示“甲、乙兩人所選科目不完全相同”，

則()

3

A.8與C相互獨立B.P(削。)=y

C.P(B\=|D.=￡

【答案】BCD

【分析】由相互獨立事件成立的條件，算出P(B),尸(C),尸(BC),由尸(BC)/尸(8)尸(C)可判斷A；由

條件概率的計算公式可得尸(削。)，尸(H。)，即可判斷B、C；由和事件的計算公式可得P(5+Z)),

即可判斷D.

1C21C11

【詳解】因為尸⑶=ei=—，尸(c)=Tr=^尸(5。)二一，

C：C：4C：C：6C：C；12

所以尸(BC)w尸(8)尸(C),所以8與C不相互獨立，故A錯誤；

52cle21

因為尸(。)=1-P(C)=P(AD)=P(A)=

6C42

所以PQ|0=?黑=(,故B正確；

5ip(Rjy\i

因為尸(。)=g,尸(20=擊■=二，所以尸(回0=-77T=一故C正確；

6C：C：6P(D)5

因為PC8+O)=P(3)+尸(O)-尸08。)=!+3-，=工，所以D正確.

46612

故選：BCD.

8.連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3”記為A事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點

數(shù)是3的倍數(shù)”記為3事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)”記為C事件，“兩次拋擲結(jié)果向

上的點數(shù)之和為奇數(shù)”記為。事件，則下列敘述中不正確的是()

A.C與。互斥B.P(D|N)=；C.A與。相互獨立D.8與。不相互獨立

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，分別寫出事件4B、C、。包含的基本事件，并計算出概率，然后根據(jù)選項一

一驗證即可做出判斷.

【詳解】因為拋擲一次骰子，包含6個基本事件，

事件/表示結(jié)果向上的點數(shù)為1、2,所以尸（4）=：；

事件8表示第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)為3、6,所以P（3）=；；

事件C表示結(jié)果向上的點數(shù)為（1,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,1）,

（3,3）,（3,5）,（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,1）,（5,3）,（5,5）,（6,2）,（6,4）,（6,6）,共18種情況,

1Q1

而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)36種情況，所以尸（C）=0=；；

事件。表示結(jié)果向上的點數(shù)為（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,3）,（2,5）,（3,2）,

（3,4）,（3,6）,（4,1）,（4,3）,（4,5）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,1）,（6,3）,（6,5）,共18種情況，

1Q1

而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)36種情況，所以尸

對于A,由上述事件C與事件。表示的結(jié)果可知，CcD=0,所以事件C與事件。互斥且對立，

故A正確；

對于B,因為「（4）=；,表示兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為奇數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的

點數(shù)小于3的概率，

其中事件/。包含（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,3）,（2,5）共6種情況，尸（/。）=卜所以

]_

P（班）=哭￥=>:，故B錯誤；

3

對于C,P（/C）表示兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3的概

率，

其中事件/C包含（,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,共6種情況，

所以p（/c）=4=:，

3oo

又p（/）=g,P（c）=；,.?.尸（/c）=p（/）-p（c）,所以/與。相互獨立，故C正確；

對于D,尸（8。）表示兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為奇數(shù)且第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)是3的倍數(shù)

的概率，

事件BD包含（1,6）,（2,3）,（3,6）,（4,3）,（5,6）,（6,3）共6種情況,

所以P(㈣=5=：,又尸⑻=[,尸(0=；,

30032

:.P（BD）=P（B}P（D）,所以8與。相互獨立，故D錯誤.

故選：BD.

三、填空題

9.一位射擊運動員向一個目標(biāo)射擊二次，記事件4="第i次命中目標(biāo)”（i=l,2）,P（4）=；,

P（4+1I4）=2P（Ai）,P（AM\Ai）=-（i=1,2）,則P（4）=.

【答案】―/0.3125

16

【分析】根據(jù)條件概率公式及對立事件概率公式，全概率公式求解即可.

【詳解】由題意，尸⑷4）=勺烏=2尸（4）=2x；=1，

所以p（44）=；x：=（.

24o

又小同尸(44)二1

1-尸(4)―4，

—13

所以尸（44）=不

16

一115

所以尸(4)=尸(44)+尸(44)=3+丘=77.

O1010

故答案為：—

16

10.為了組建一支志愿者隊伍，欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的

隊長，設(shè)事件A為“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B為“抽取的3人中至少有一名女志愿

者”，則P（/|8）=.

30

【答案】n

【分析】利用條件概率公式即可求解.

【詳解】P（5）=1-|1=|1,r（/5）=c；c；；3/c；30_6

35-7

6

所以小”黑44

35

故答案為：—.

四、解答題

II.編號為L2,3的三個除編號外完全相同的盒子里，分別裝有3個紅球，2個白球；3個黃球，3個

白球；4個黑球，5個白球.（所有球除顏色外完全相同）

（1）現(xiàn)隨機從某個盒子里摸2個球，則在選到2號盒子的條件下，摸出的兩個球都是白球的概率是多

少？

（2）現(xiàn)隨機從某個盒子里摸1個球，若摸出的球是白色，則這個球來自2號盒子的概率是多少？

【答案】（1）［

【分析】（1）利用條件概率公式直接求解即可；

（2）先利用全概率公式求解事件“摸出白球”的概率，然后再利用條件概率公式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)/="選到2號盒子”，5="摸到的兩個球都是白球”，

則P（8H）=||=U

（2）設(shè)￡="先選到第i號盒子”（i=L2,3）,D=“摸出白球”，

17215

則尸(C)=P(G)=尸C)=，尸Pq=￡,P(D\cPn|c=-.

5j2o23y

，尸（。）二尸（￡。）+?（。2。）+尸（。3。）=°（。1）尸⑺cj+尸（G）尸（9G）+P（G）尸⑺。3）

36+45+50_131

270—270

1j_

，尸?0=乎乎,即這個球來自2號盒子的概率為魯.

1{D}131

270

12.某芯片制造企業(yè)采用流水線的方式生產(chǎn)芯片.原有生產(chǎn)線生產(chǎn)某型號的芯片需要經(jīng)過三道工序,

這三道工序互不影響.已知三道工序產(chǎn)生不合格產(chǎn)品的概率分別為《、」、」，三道工序均合格

504948

的產(chǎn)品成為正品，否則成為次品.

（1）求該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率；

（2）為了提高產(chǎn)量，該企業(yè)又引進一條新生產(chǎn)線加工同一型號的芯片，兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出的芯片隨機

混放在一起.已知新生產(chǎn)線的次品率為上，且新生產(chǎn)線的產(chǎn)量是原生產(chǎn)線產(chǎn)量的兩倍.從混放的芯

片中任取一個，計算它是次品的概率.

.、

【答案】⑴43

⑵高

【分析】（1）根據(jù)題意，利用獨立事件的概率乘法，求得企業(yè)原有生產(chǎn)線的正品率耳=奈，進而求

得該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率；

（2）記“任取一個芯片來自原生產(chǎn)線”為事件A,“任取一個芯片來自新生產(chǎn)線”為事件記“任取

一個芯片是次品”為事件8,分別求得尸（⑷,尸⑷,尸（個⑷,P（B\A）,結(jié)合

P?=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A),即可求解.

47

【詳解】⑴解:該企業(yè)原有生產(chǎn)線的正品率為耳=

50

所以該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率為

3

50

（2）解：記“任取一個芯片來自原生產(chǎn)線”為事件A,“任取一個芯片來自新生產(chǎn)線”為事件力,

記“任取一個芯片是次品”為事件B,

1_23_1

則尸（/）=.，尸（彳）=.，且尸⑷[）=忑，P（B\A）=-,

——13217

所以尸(團=P(A)P(B\A)+P(A)P(BM)=-x—+-x—=—,

DJJ/JJ\J

7

即從混放的芯片中任取一個，它是次品的概率為1.

帆能力培優(yōu)練

1.對于隨機事件48,記％為事件A的對立事件，且尸（/）=：,尸（例/）=|,尸（7]句=：則

P?=.

_7

【答案徐

【分析】根據(jù)題意，由條件概率公式可得尸（/3）,再由P（/|5）=l-尸（才2）,再結(jié)合條件概率的公

式即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，網(wǎng)為/）=登￥=|,且*/）=：,則尸（/0=2，

又因為尸（/[8）=1,則P（/|5）=l-尸（*8）=],

故答案為：仁7

2.(多選)甲箱中有4個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有3個紅球，3個白球和3個黑球，先

從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以4，4和4表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事

件；再從乙箱中隨機取出一球，以8表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是()

O

A.事件B與事件4(，=1,2,3)相互獨立B.P(45)=—

D?尸(4出)=/

c尸⑻

【答案】BC

【分析】依題意得到尸(4)，尸(4)，尸⑷,「(叫4)，尸(同4)，尸(同4)，再由全概率公式求

出尸(8),即可判斷B、c,根據(jù)獨立事件的概念判斷A,利用條件概率公式判斷D.

【詳解】依題意可得尸(4)=[,尸(4)=1，P(4)=j=p

若先4發(fā)生，則乙袋中有4個紅球，3白球，3黑球，止匕時P(a4)=5=1，

若先4發(fā)生，則乙袋中有3個紅球，4白球，3黑球，此時尸(可4)=而，

若先4發(fā)生，則乙袋中有3個紅球，3白球，4黑球，此時P(a4)=1G.

24X

所以p(4B)=p(a4)P(4)=mxg=不，故B正確；

a?1

P(48)=P(5|4)P(4)=-X-=-)

311

p(43)=/(即4)尸(4)=歷Xg=歷，

尸(即=尸(8⑷尸(4)+尸(叫4)尸(4)+尸(8⑷尸(4)

44233331M十評

=-x—+—x—+-X-=一,故C正確；

91091091090

因為尸⑷尸⑻[x*尸(48)=*即4與B不獨立，故A錯誤;

尸(5區(qū))尸(4)(，故D錯誤.

西

90

故選：BC.

3.（多選）盒中有編號為1,2,3,4的四個紅球和編號為1,2,3,4的四個白球，從盒中不放回

的依次取球，每次取一個球，用事件4表示“第左次首次取出紅球”，用事件線表示“第（上+1）次取出

編號為1的紅球”，用事件G表示“第化+1）次取出編號為1的白球“，則（）

A.尸（用4）〈尸（C/4）B.尸㈤4）=尸?4）

c.尸（見4）＞尸（G14）D.P（即4）＜p?4）

【答案】ABC

【分析】根據(jù)條件概率概率公式尸⑵式）=2^（，=1,2,3,4）、尸?4）=那”123,4及

排列數(shù)公式一一判斷即可.

41

【詳解】對于A：依題意尸（4）=9=：,

82

A；A；

尸⑻介端1篝f與#'

22

即⑷〈尸（cj⑷，故A正確；

A〉A(chǔ)；A"；

對于B：P（人/喋%,,\P(CA)A：

P(CI22

i2aJ)=p"⑷J"=尸「⑷、

所以P（刈4）=尸（。2以），故B正確；

A]A；36

A4

對于C尸⑶4）=果〉A(chǔ)8-A；,

尸(4)尸(4)