2025年八年級(jí)數(shù)學(xué)秋季開(kāi)學(xué)摸底考

（上海專用，滬教版2024）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：一元一次不等式、相交線與平行線、三角形、等腰三角形、實(shí)數(shù)、二次根式、一元二

次方程

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求的）

I.下列各式中，是一元一次不等式的是（）

A.2x—1B.2y=8C.—x—7>0D.—3尤<0

2x

【答案】C

【詳解】解：A.2x-l是代數(shù)式，不含不等號(hào)，不符合定義，故A不符合題意；

B.2y=8是等式，不是不等式，排除，故B不符合題意；

C.：x-7>0含有一個(gè)未知數(shù)x,次數(shù)為1,且兩邊為整式，符合一元一次不等式定義，故C符合題意；

D.工-3x<0中!不是整式，不符合條件，故D不符合題意.

XX

故選：C.

2.在0.42$,屈,0,5，（萬(wàn)-1）°,弓，L121121112這7個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【詳解】解：0,425,716=4,0,（萬(wàn)-,，1.121121112是有理數(shù)，?是無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)的個(gè)

數(shù)是1個(gè)，

故選:A.

3.下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,11

C.2,2,3D.10,5,5

【答案】C

【詳解】解：A中3+4=7<8,三條線段不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

B中5+6=11,三條線段不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

C中2+2=4>3,三條線段能構(gòu)成三角形，故符合題意；

D中5+5=10,三條線段不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

故選：C.

4.反證法是初中數(shù)學(xué)中的一種證明方法，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中起到了促進(jìn)作用，比如墨子談到“學(xué)

之益也，說(shuō)在誹者“，是通過(guò)證明“學(xué)習(xí)無(wú)益”的命題為假，以此才說(shuō)明“學(xué)習(xí)有益”的命題為真，這就是反證

法的例子.若我們用反證法證明命題“已知：在“臺(tái)。中，AB=AC,求證：4<90?！睍r(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

A.N8>90。B.Z5>90°C.Z5<90°D.48片90°

【答案】B

【詳解】解：用反證法證明命題“已知：在△48。中，AB=AC,求證：4<90。”時(shí)，應(yīng)假設(shè)NBN90。.

故選：B.

5.如圖，。是直線48上一點(diǎn)，OE平分NBOD,OF1OE,ND=100。，李軍同學(xué)添加了一個(gè)條件后，仍

不能判定CD,他添加的條件可能是（）

CD?

AOB

A.ABOE=50°B.ZBOE+ZAOF=90°

C.ZAOF=40°D.180°-Z5(9D=80o

【答案】B

【詳解】解：A、???OE平分NBOQ,/BOE=50。,

ABOD=2ABOE=100°

vZD=100°

/BOD=ND=100。

:.AB"CD,故A不符合題意；

B、vZBOE+ZAOF=90°,

/FOE=90°

不能判斷45〃CD,故B符合題意，

C、?/OFLOE,

/FOE=90°

ZAOF=40°

/BOE=180。—ZFOE-ZAOF=180°-90°-40°=50°

???OE平分/BOD

:.ZBOD=2ZBOE=100°

■.■ZD=100°

:.ZBOD=ZD=1QQ°

：.AB//CD,故C不符合題意；

D、180°-Z5O￡>=80°,

：.ZBOD=lOO°

:.ZBOD=ZD=12Q°

：.AB//CD,故D不符合題意；

故選：B.

6.如圖，C為線段/E上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/,￡重合），在/￡同側(cè)分別作等邊和等邊AEC。，AD與BE

交于點(diǎn)。，AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接尸Q.以下結(jié)論不正確的是（）

【答案】B

【詳解】解：由于和A￡C￡)是等邊三角形，

可知NC=3C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

:"BCD=60°,NACD=NBCE=120°,

；.AACD%BCE(SAS),

AD=BE,AADC=NBEC,

可判斷A正確；

ZDCP=ZECQ=60°,CD=CE,

；.ACDP注ACEQ(ASA),

DPEQ,

?:DE豐EQ,

:.DE手DP,可判斷B錯(cuò)誤；

^ACD=^BCE,

.?.ZDAC=ZEBC,

又???NACP=NBCQ=60。，

.?.△CQB咨ACPA(ASA),

：.BQ=AP,故結(jié)論c正確;

ZAOB=ZOAE+ZAEO=NCBE+NAEO=ZACB=60°,可判斷D正確.

故選：B.

二、填空題（本大題共12小題，每小題2分，滿分24分）

7.已知關(guān)于x的不等式ox>l的解集為x<1,則。的取值范圍是.

a

【答案】a<0

【詳解】解：由題意可知：當(dāng)兩邊同時(shí)除以。時(shí)，不等式方向發(fā)生了改變，所以。<0：

故答案為：a<0.

8.（22-23八年級(jí)上?上海?開(kāi)學(xué)考試）已知在ZU8C中，乙4：幺B：zC=2：3：4,那么乙4=_度.

【答案】40

【詳解】解：???乙4：乙B：ZC=2：3：4,

.,.設(shè)乙4=2x,則4B=3x,Z.C=4x,

根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。，可得

2x+3x+4x=180°,

解得元=20,

則乙l=2x=40°,

故答案為：40.

9.計(jì)算JWx上的結(jié)果是.

【答案】3

【詳解】解：718x^1=^1=79=3,

故答案為：3

10.若則J（j）2=.

【答案】a-1

【詳解】解：;"I,

1-a<0,

貝"=a-1,

故答案為：fl-1.

11.某小區(qū)車庫(kù)門口需要用到曲臂直桿道閘，模型如圖所示.如果CD//AE,ZABC=143°,那

么ZBCD=°,

CD

R

AE

【答案】127

過(guò)點(diǎn)3作8bU/E,如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義可得445戶=90。進(jìn)而可得

ZCBF=143°-90°=53°,證明CD\\BF即可得解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)2作8尸IME,如圖,

VBALAE,

.■.BALBF,即445尸=90。，

■.■ZABC=143°,

.-.ZC5F=143°-90°=53°,

???CD//AE,

.-.CD\\BF,

ZBCD+ZCBF=1SQ°,

ZBCD=180°-ZCBF=127°；

故答案為：127.

12.如圖，已知N3〃C￡>,Z1=45°,Z2=60°,那么N3=

【答案】75。/75度

【詳解】解：延長(zhǎng)/E交CD于點(diǎn)尸,

AB

???AB//CD,

.-.Z4=Z1=45°,

vZ2=60°,Z4+Z3+Z2=180°,

Z3=75°；

故答案為：75°

13.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：3^+39-V二.

［答案］一旦yKjx

【詳解】解：當(dāng)3-+3盯一/=0時(shí)，

令〃=3,b=3y,c=-y2,

/.A=9/+12/=21/>0,

-b±yjb2-4ac—3y±4TAy

???x=-------------------=-----------------，

2a6

解得X=3+回或--3y5,

66

3/+3中-V=31小3>--3二叫,

故答案為：3卜小嚴(yán)卜…嚴(yán)］

14.不等式J%>x+1的解集是

【答案】X<V2+1

【詳解】解：移項(xiàng)，得缶-x〉l，

合并同類項(xiàng)，得（血-1卜>1,

兩邊都除以1，得》<收+1；

故答案為：X<V2+1.

15.如圖，點(diǎn)尸為A/BC的外心，若乙P/C=20。，NPCB=3Q°,則一尸48的大小為

A

【答案】40°

利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得尸/=PB=PC,從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得NPC4=NPAC=20°,

ZPBC=ZPCB=30°,NPAB=NPBA,然后利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】???點(diǎn)P為"BC的外3ZPAC=20°,ZPCB=30°,

.?.點(diǎn)P為A4BC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

PA=PB=PC,

ZPCA=APAC=20°,APBC=ZPCB=30°,ZPAB=APBA,

■:NPCA+/PAC+ZPBC+NPCB+ZPAB+ZPBA=180°,

ZPAB=ZPBA=40°,

故答案為：40°.

16.如圖，在△/8C中，AB=AC,BC=a,N/=36。，的垂直平分線交/C邊于點(diǎn)。，交邊于點(diǎn)

E-CD=b,則△/BC的周長(zhǎng)為（用。、b表示）.

A

BC

【答案】3a+26

【詳解】解：:/刀的垂直平分線交/C邊于點(diǎn)。，交4B邊于點(diǎn)E

AD=BD,

：.ZABD=ZA=36°,

ZBDC=ZA+NABD=72°,

-■AB=AC,NN=36°,

...NABC=ZC=1(180°-Z^)=72°,

ZBDC=ZC=72°,

BD=BC=AD=a,

AB-AC=AD+CD=a+b,

的周長(zhǎng)為3Q+26

故答案為：3a+26

17.如圖，已知在Rt^4BC中，ZB=90°,48=8,BC=6,點(diǎn)。是2C邊上的一點(diǎn)，BD=2,點(diǎn)E是AB

邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,以。后為一邊在右側(cè)作等邊AEED,連接在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段C尸的最

小值為.

【答案】4

【詳解】解：如圖所示，以CD為邊在BC上方作等邊三角形CDM,連接ME,過(guò)點(diǎn)"作MPLBC于點(diǎn)尸,

MN_LAB于點(diǎn)、N,如圖所示：

???QEF和ACDM為等邊三角形，

:.DE=DF,DC=DM,AEDF=ZCDM=60°,

ZEDF+ZFDM=ZFDM+ZMDC,

即ZEDM=ZFDC,

AMED知CFD（SAS）,

：.CF=ME,

二當(dāng)ME最小時(shí)，cr最小，

???垂線段最短，

二當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)N重合時(shí)，ME最小，即CF最小，最小值為MV的長(zhǎng),

BC=6,BD=2,

CD=4,

■■MP1CD,

.-.CP=DP=-CD=2,

2

；.BP=BC-PC=6—2=4,

-：MP±BC,zS=90°,BPABIBC,

.-.MP//AB,

5L---MN1AB,

.-.MN=BP=4（平行線間間距相等），

??.C萬(wàn)的最小值為4,

故答案為：4.

18.定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的3倍，則這樣的三角形稱為“優(yōu)美三

角形”.例如：三個(gè)內(nèi)角分別為100°,60。,20。的三角形是“優(yōu)美三角形”.如圖，點(diǎn)。在△N2C的邊上，連

接。C,ZBDC>90°,作N/OC的平分線，交AC于點(diǎn)E,在DC上取一點(diǎn)尸，使/我尸。+48。。=180。，

ZDEF=.若△3。是“優(yōu)美三角形”，則等于.

【答案】36。/36度

根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到NEFC=NADC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZDEF=ZADE,推出DE//BC得到

/CDE=ZBCD,根據(jù)角平分線的定義得到NADE=/COE求得48=NBCD,再根據(jù)“優(yōu)美三角形”的定義

求解即可.

【詳解】解：;NEFC+NBDC=18Q°,ZADC+ZBDC=\S0°,

ZEFC=ZADC,

AD//EF,

：.NDEF=ZADE,

ZDEF=ZB,

NB=ZADE,

：.DE//BC,

ZCDE=ZBCD,

,:DE平分NADC,

ZADE=ZCDE,

NB=NBCD,

是“優(yōu)美三角形"，ZBDC>90°

ZBDC=3ZB,

ZBDC+/BCD+ZB=180°,即3Z5+ZJB+ZS=180°,

：.ZB=36°.

故答案為：36°.

三、解答題（本大題共8小題，58分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

19.（本題4分）解方程：2（x-l）2+3（l-x）=0

【詳解】解：2（X-1）2+3（1-X）=0,

因式分解得（、T）[2（x-1）-3]=0,

?,?x-1=0或2x-5=0,

15

?T=l，^2=--

20.（本題4分）計(jì)算：兀。_卜0「—（—3『x后了

【詳解】解：原式=1-4-9x4

=1—4—36

=—39.

5（x+9）>6-6（x-l）

21.（本題6分）解不等式組：1,\2，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

-x-l<2——x

[55

-5-4-3-2-1012345

5（x+9）>6-6（x-l）①

【詳解】解:10

—x-1<2——x@

155

解不等式①，得x>-3,

解不等式②，得x<5,

??.不等式組的解集為-3<xV5,

該解集在數(shù)軸上表示為:

'：J1I1:|||?.

-5-4-3-2-1012345

22.（本題5分）補(bǔ)全下列推理過(guò)程：

如圖，EFIBC,AD1BC,Zl=Z2,試說(shuō)明OG〃3N

NBFE=ABDA

:.EF//AD（）

Z2=Z3（）

Z1=Z2（已知），

________________（等量代換）.

DG//AB（）.

【詳解】解：???￡尸13C，AD1BC（已知），

.-.ZBFE=ZBDA=90°（垂直的定義），

.■.EF//AD（同位角相等，兩直線平行），

?.Z2=Z3（兩直線平行，同位角相等），

???Zl=Z2（已知），

.?.Z1=Z3（等量代換），

.■.DG//AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

23.（本題9分）如圖，已知△A8C是等邊三角形，8c=2cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿射線以lcm/s的速

度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作尸E〃8C交射線NC于點(diǎn)E,同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿8C的延長(zhǎng)線以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng),

連接BE、EQ,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（s）.

⑴當(dāng)點(diǎn)尸在邊48上，且不與點(diǎn)A、8重合時(shí)，求證：ABPE2AECQ；

（2）直接寫出CE的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；

（3）在不添加字母和連接其它線段的條件下，當(dāng)圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)大于3時(shí)，直接寫出f的值和對(duì)應(yīng)的

等腰三角形的個(gè)數(shù).（請(qǐng)寫出所有的可能性）

【詳解】（1）證明：???△/5C是等邊三角形，

N4=/4BC=ZACB=60°,AB=AC=BC,

.?./EC。=180°-60°=120°,

■.■PE\\BC,

NAPE=NABC=60°,ZAEP=ZACB=60°,

AAPE是等邊三角形,NBPE=180°-60°=120°,

**.AP=AE=PE,

：.PB=AB-AP=AC-AE=EC,

根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可知，”=CQ,

:.PE=CQ,

在△APE和中,

BP=EC

<ZBPE=ZECQ,

PE=CQ

^BPE=^ECQ

2

（2）解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)3所需時(shí)間為f=i=2（s）,

當(dāng)0<t<2時(shí)，CE=2-t,

當(dāng)/>2時(shí)，CE=t-2,

答：當(dāng)0</<2時(shí)，CE的長(zhǎng)為2-八當(dāng)/>2時(shí)，CE的長(zhǎng)為f-2.

（3）解：當(dāng)"1時(shí)，如圖3-1,有5個(gè)等腰三角形："PE、"BC、&BPE、*ECQ、&BEQ,

當(dāng)/=4時(shí)，如圖3-2,有4個(gè)等腰三角形："PE、AABC、ABCE、^BEQ,

答：當(dāng)f=l時(shí)，等腰三角形有5個(gè)；當(dāng)/=4時(shí)，等腰三角形有4個(gè).

24.（本題9分）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該

不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程x-l=3的解為x=4,而不等式組\。的解集為2<x<5,不難發(fā)

[x—2<3

fx-l>l

現(xiàn)x=4在2<x<5的范圍內(nèi)，所以方程x-1=3是不等式組。。的“關(guān)聯(lián)方程”.

[x-2<3

/、x—1f2x—2〉x—1

（1）在方程①3（x+l）-x=9；②4x-7=0；③胃+l=x中，不等式組j3（.2）-x<4的“關(guān)聯(lián)方程”是「

（填序號(hào)）

13x+l

------->x

（2）若關(guān)于％的方程2x-左=6是不等式組；Q,的“關(guān)聯(lián)方程”，求左的取值范圍.

x-1ZX+1

-----<----------2

[23

2x-2>x-1CD

【詳解】（1）解：

3（x-2）-x<4@'

由①得x>l；

由②得xW5；

二不等式組的解集為l<x<5；

解方程3（x+l）-x=9得x=3,

v1<3<5,

[2x—2>x—1

方程①是不等式組j3（x_2）_x44的“關(guān)聯(lián)方程”;

7

解方程4x-7=0得x=：,

[2x—2>x—1

方程②是不等式組3（x_2）_xW4的“關(guān)聯(lián)方程”;

X—1

解方程\-+1=%得工=1,

方程③不是不等式組j3（x_2）_xW4的“關(guān)聯(lián)方程”;

故答案為：①②；

3x+l

>XD

2

（2）解：■

x—12x+13小

------>----------2@

[23

由①得X>-1;

由②得xV7；

???不等式組的解集為-1。47；

k

解方程2x-k=6得x=3+—,

2

3x+l

------->x

，的“關(guān)聯(lián)方程”,

???關(guān)于％的方程2x-左=6是不等式組2?

x-12x+l

------2-----------2

[23

,-.-1<3+-<7,

2

解得-8〈上V8.

25.（本題9分）（22-23八年級(jí)上?上海?開(kāi)學(xué)考試）（1）如圖1,在A42C中，BD平分乙4BC,CD平分

乙4cB.過(guò)D作EF〃BC交4B于E,交/C于尸，請(qǐng)說(shuō)明所=BE+CF的理由.

（2）如圖2,BD平分乙4BC,CD是418。中乙4cB的外角平分線，若仍然過(guò)點(diǎn)。作交于E,

交NC于巴第（1）題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，你能否找到斯與8￡、CF

之間類似的數(shù)量關(guān)系？

【詳解】(1)???在△/BC中，BD平分乙4BC,CD平分乙4C8,

...乙EBD=LDBC,乙DCB=AFCD.

又；EF〃BC交AB于E,交NC于尸，

:.乙EDB=ADBC,乙FDC=3CB

:.乙EBD=KEDB,乙FDC=LFCD,

；.BE=ED,CF=FD,

■.EF=ED+DF=BE+CF.

即：EF=BE+CF.

(2)不成立.EF=BE-CF.理由如下：

■：BD平分乙45C,CD是△NBC中乙4cB的外角平分線，

AEBD=ADBC,AFCD=ADCG,

,:EF〃BC交AB于E,交4c于F,

:.乙EDB=KDBC,"￡?C=NDCG,

???Z.EBD=Z.EDB,Z.FDC=Z.FCD,

：.BE=DE,DF=CF,

：.EF=ED-DF=BE-CF.

26.(本題12分)(22-23八年級(jí)上?上海?開(kāi)學(xué)考試)(1)觀察理解：如圖1,A42c中，zJC2=90。，AC=

BC,直線/過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)/,2在直線/同側(cè)，BDLl,AEU,垂足分別為。，E,由此可得：AAEC=^CDB=

90°,所以NC4E+乙4CE=90。，又因?yàn)橐?C2=90。，所以+乙4CE=90。，所以NG4E=4C￡>,又因?yàn)?/p>

AC=BC,所以AAEC三ACDB()；(請(qǐng)?zhí)顚懭扰卸ǖ姆椒?

(2)理解應(yīng)用：如圖2,AEVAB,^.AE=AB,BCLCD,且8C=CD,利用(1)