2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷

（天津?qū)Ｓ茫?/p>

全解全析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.C；+C；+C：=（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】C；+C；+C；=M+當(dāng)+黑=10.故選B

2.為研究某奶茶店每日的熱奶茶銷(xiāo)售量了和氣溫x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)該店（2025年2月6

日至3月24日）每天的熱奶茶銷(xiāo)售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖（x軸表示氣溫，了軸表示熱奶茶

銷(xiāo)售量），由散點(diǎn)圖可知V與％的相關(guān)關(guān)系為（）

叫

Ox

A.正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)『的值為0.8B.負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r的值為0.8

C.正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)廠的值為-0.8D.負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)『的值為-0.8

【答案】D

【解析】由散點(diǎn)圖知了隨著工的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān).相關(guān)系數(shù)為負(fù).故選D.

3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.30.3

若隨機(jī)變量y=|x-i|,則尸（y=i）等于（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【答案】A

【解析】尸(丫=1)=尸(X=0)+尸(X=2)=0.2+0.1=0.3.故選A.

4.等比數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為邑，且％+&=4,%+%=8,則$6=（）

A.24B.28C.36D.48

【答案】B

【解析】設(shè)公比為則《=”也=2,

%+%

所以％+〃6=（q+〃4）夕2=4x4=16,

所以=%+&+%+“5+a3+”6=4+8+16=28.

故選B

71

5.已知函數(shù)/（x）=rcosx-sinx,則f

「3石

A.V3-2B.-V3D.

43

【答案】D

71兀

【解析】因?yàn)?（%）=/'cosx-sinx,貝I=sinx-cosx,

故選D.

6.人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：尸（川町=上黑⑷站在了世界中心位置，4換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù),

某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“/廣視頻，Z廣視頻占有率為0.001.某團(tuán)隊(duì)決定用//對(duì)抗“4T,研究了

深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假.該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.96,即在該視頻是偽造的情況下，它有96%的

可能鑒定為“4T;該鑒偽技術(shù)的誤報(bào)率是0.02,即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有2%的可能鑒定為

已知某個(gè)視頻被鑒定為7廣，則該視頻是Zr'合成的可能性約為（）

A.6%B.4.6%C.2.4%D.0.1%

【答案】B

【解析】設(shè)/="視頻是7廣合成”，設(shè)8="鑒定結(jié)果為“4T',

則尸⑷=0.001,P（2）=0.999,P（5|A）=0.96,尸（回刃=0.02,

由貝葉斯公式得：

尸’（,1⑻'?尸⑷、尸（1卻邛H+尸廿⑷尸（,邳「、=—0.001x0?.96+0.999—x0.02—1047

故選B.

7.的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為75,則。=（）

A.-2B.-1C.±1D.±2

【答案】C

【解析】(。+>)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Cid-3，，

令r=4,可得C，6-y=i5a2y4,

所以含尸/項(xiàng)的系數(shù)為-15/,即-15/=-15,解得a=±L

故選C.

8.已知隨機(jī)變量x,"(x>0,">0)呈現(xiàn)非線性關(guān)系.為了進(jìn)行線性回歸分析，設(shè)〃=31可，v=(4x-5)2,

利用最小二乘法，得到線性回歸方程"=-：v+3,則變量V的估計(jì)值有()

4

A.最大值為eB.最小值為eC.最大值為dD.最小值為d

【答案】A

【解析】已知〃=-%+3,把"=31ny,v=(4x-5『代入可得：

],

31ny=--(4x-5/+3.

1,

得到lny=F4A5a1.

因?yàn)?4x-5>20,所以-g(4x-5)2<0,那么一](4X-5)2+1<1,即InyVl.

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)>=lnx在(0,+oo)上單調(diào)遞增，S.\ny<l=lne,所以即V有最大值為

變量)的估計(jì)值有最大值為。

故選A.

9.已知Q=1,6=In-,c=sin1，則()

848

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

［解析］由a_c=1_sin，，構(gòu)造g(x)=x-sinr,xe,貝!Jgf(x)=1一cosx>0,

88

所以g(x)在上單調(diào)遞增，故>g(o),

BP->sin-故a>c.

88

l-2x

由j二叫于叩+2、一丁構(gòu)造/(x)=ln(l+2x)-x,>0,

l+2x

所以〃X)在上單調(diào)遞增，故B[Jln|>|

故b>a.

綜上，b>a>c.

故選D.

二.填空題(共6小題，滿分30分，每小題5分)

10.若隨機(jī)變量4-N(lQ2),且尸(JW3)=0.74,則P(JV-1)=.

13

【答案】026#代

【解析】因?yàn)?-N(lQ2),所以正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,

因?yàn)槭?JW3)=0.74,所以-1)=尸偌＞3)=1-尸它43)=1-0.74=0.26,

故答案為：0.26.

11.由表格數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為V=0.7x+0.35,則表格中的加值為.

X3456

y2.5m44.5

【答案】3

3+4+5+6—2.5+m+4+4.511+m

【解析】??4=y=-------------

44

線性回歸方程V=0.7X+0.35恒過(guò)(xj),

11+加

所以-----=0.7x4.5+0.35,解得：m=3.

4

故答案為：3.

12.如圖，現(xiàn)要用6種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一

種顏色，共有種不同的著色方法.(用數(shù)字作答)

【答案】480

【解析】先給地區(qū)I染色有6種選擇，再給地區(qū)n染色有5種選擇，然后給地區(qū)in染色有4種選擇，最后

給地區(qū)IV染色也有4種選擇，

綜上所述，滿足題意的染色方法共有6x5x4x4=180種.

故答案為：480.

13.某中學(xué)組建了A,B,C,D,E五個(gè)不同的社團(tuán)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好，要求每個(gè)學(xué)生必須且

只能參加一個(gè)社團(tuán).假定某班級(jí)的甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五個(gè)社團(tuán)的選擇是等可能的，且結(jié)果互不影

響.記事件M為''甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)A”，則P(M)=;若甲、乙、丙三名學(xué)生

中有兩人參加社團(tuán)A,則恰巧甲參加社團(tuán)A的概率為.

122

【答案】示i

【解析】依題意甲、乙、丙三名學(xué)生選擇社團(tuán)的可能結(jié)果有5x5x5=125個(gè)，

12

若甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)A,則有C；C；=12種選擇，所以尸(加)=叵；

甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)A,則恰巧甲參加社團(tuán)A,則有C；C；=8種選擇，

Q2

所以甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)A,則恰巧甲參加社團(tuán)A的概率。=五=針

122

故答案為：正；i

14.已知函數(shù)1若。=一1,則函數(shù)的極小值點(diǎn)是；若函數(shù)/(x)在

(1,3)上存在唯一的極值點(diǎn).則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】1(-7,-1)

【解析】①。=一1時(shí)，/(X)=^X3+X2-3X+3,/(x)的定義域?yàn)镽,

/r(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-l),令/'(x)=0,得x=-3或1,

當(dāng)工?(-00,-3)。(1,+8)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)xe(-3,l)時(shí)，f'(x)<0,

故函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)為-3,極小值點(diǎn)為1,

2

②/r(x)=x2+2x+2a-l,對(duì)稱(chēng)軸為1二一5=一1,

若函數(shù)/(力在(1,3)上存在唯一的極值點(diǎn)，則/'(X)只有一個(gè)零點(diǎn)在(1,3)內(nèi)，

因?yàn)?'(X)的對(duì)稱(chēng)軸為x=—l<l,所以/'⑴(0,/'(3》0,

即2a+2<0且14+2a>0,解得一7<。<1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為,

故答案為：1;(-7,-1).

2aR—2k

｛.左7化eN*)，%是%,%的等比中項(xiàng)，則數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式

n-\

3x2工-2,〃為奇數(shù)

【答案】??=

3x22-為偶數(shù)

2a,n=2k

【解析】因?yàn)?。用neN*,

+1,〃=2左一1

所以的=%+1,%=2a2=2%+2,

又生是。1，。3的比例中項(xiàng)，所以嬉=%%，即（%+1）2=%（2%+2）,

顯然％。0且〃1。,故解得%=1；

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，%=2%=2(%+1)=2%+2,n>3,

所以Q“+2=2(%_2+2),而％+2=3,

所以數(shù)列%+2,4+2,…,％a+2,…是等比數(shù)歹U,

n-\n-\

貝1a“+2=3x2^，即見(jiàn)=3x2〒一2；

n+1-l\〃]

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，則a“=ga"+i=￡

3x2丁-2=3x2^一-1；

7

11-\

3x2〒-2,"為奇數(shù)

綜上可得a?

3x23"-1/為偶數(shù)

n-\

3x2〒-2,”為奇數(shù)

故答案為：an

3>2齊一1,"為偶數(shù)

三、解答題（共5小題，滿分75分）

16.（14分）

某項(xiàng)科研活動(dòng)共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如下表所示:

特征量第1次第2次第3次第4次第次

X258911

y1210887

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)『；

（2）求特征量了關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)特征量X為12時(shí)特征量了的值.

七（元,-初％-刃

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=i=l

：「可，￡出一寸

￡(x,一可(弘一歹)工七％一〃百

b=-...----------------=------------，a=y-bx.

2

i(Xi-x)fx：一位2

i=lz=l

參考數(shù)據(jù)：曲—）2=5五，咫…）2=4,72^1.414.

5

153s145

【解析】（1）由題意得于=±￡%=W=7,歹=]XN=W=9，

3i=i33』3

55

￡（為一元）（%—歹）=￡七毛—5郎=2x12+5x10+8x8+9x8+11x7-5x7x9=-28,

i=li=l

^（x,.-x）2=50,￡（%一力2=16,

Z=1i=l

5

--可包-刃

-28-7

???相關(guān)系數(shù)，=I5II5X-0.99

750x16572

5

八工（七-?。ê?力

等…6,

（2）由（1）知，-----------

f（x,一寸

Z=1

a=歹一宸=9一（一066）x7=12.92,

???所求的線性回歸方程是y=356x+12.92.

當(dāng)特征量X為12時(shí)，可預(yù)測(cè)特征量＞=-0.56X12+12.92=6.2.

17.（15分）

2025年4月24日，搭載“神舟二十號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞.某

機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱(chēng)為“航天愛(ài)好者”,否則稱(chēng)為“非航天愛(ài)好者”,該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查,

從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：

航天愛(ài)好非航天愛(ài)好合

者者計(jì)

女4060100

男7030100

合

11090200

計(jì)

（1）能否有99%的把握認(rèn)為“航天愛(ài)好者”或“非航天愛(ài)好者”與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從這100名男生與100名女生中，按“航天愛(ài)好者”和“非航天愛(ài)好者”這兩種類(lèi)型分別進(jìn)行分層抽樣抽

取男生10人，女生5人.將這15人中航天愛(ài)好者記為A組，非航天愛(ài)好者記為B組.現(xiàn)從這兩組中各任意選

取一人進(jìn)行交換，求經(jīng)過(guò)一次交換后，A組中女生人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：X、_______________________其中n=a+b-\-c+d，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P[X2>K^0.100.050.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2200x(40x30-60x70?200

【解析】(1)X?=/、/、/、/、—-------------------------~=——-18.182>10,828

(a+b)(c+d)(a+c)(Z)+d)100x100x110x9011

所以有99.9%的把握認(rèn)為“航天愛(ài)好者”或“非航天愛(ài)好者”與性別有關(guān).

(2)按分層抽樣，100名男生中，抽取“航天愛(ài)好者”有7人，“非航天愛(ài)好者”有3人,

100名女生中，抽取“航天愛(ài)好者”有2人，“非航天愛(ài)好者”有3人.

故A組有男生7人，女生2人，B組有男生3人，女生3人.

從這兩組中各任意選取一人進(jìn)行交換，經(jīng)過(guò)一次交換后，

A組中女生人數(shù)為X,則X的可能值為1,2,3.

???尸(“嚏卷/尸(X=2)=|RHHH，尸”3)卷IH

X的分布列如下表:

X123

j_j_7

P

9T18

11741

E(X)=lx—+2x—+3x—=——

'/921818

18.(15分)

已知二項(xiàng)式［2/-彳=)(aeR.eN*)的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,系數(shù)和為1.

(1)求。與"的值；

(2)求其展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).

【解析】(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=128,解得:〃=7,

令x=l可得二項(xiàng)式(2x2-(aeR,〃eN*)的展開(kāi)式的系數(shù)和為：(2-4=1,

解得：a=1.

(2)(2x2--\=｝的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：

42-7」

1-r

&】=g(2巧=C；27T(_［『?.x-,(r=0,l,2,3,4,5,6,7),

當(dāng)4絲2-產(chǎn)7r為整數(shù)時(shí)，(+1是有理項(xiàng)，貝卜=0,3,6時(shí)，滿足題意，

所以有理項(xiàng)為:7]=C?27(-1)°X14=128X14,北=324(_1)3。=一560/,。=02(7)6尤°=14.

19.(15分)

已知數(shù)列｛??｝的前"項(xiàng)和S“/eN'),｛"｝是公比大于〃的等比數(shù)列，且滿足4=

4+4=36.

⑴求｛%｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列一—的前〃項(xiàng)和為7；(〃eN*),求證：7；,<1；

〃為奇數(shù)，Sc,

⑶對(duì)任意的正整數(shù)〃，設(shè)數(shù)列C"=(外便將求2+1

也”"為偶數(shù).-Jc2k

122

【解析】(1)當(dāng)"22時(shí)，^,_l=1(w-l)+|(?-l)=|w-1?，

&=S〃—S〃T=〃,又％=H=1,

當(dāng)〃￡N*時(shí)，a〃=n,

設(shè)數(shù)列也｝的公比為4,

q>0,4=〃3=3,3q+3q2=36,

解得q=3,4=3"；

1二11______

a2n-\a2n+\(2〃一1)(2〃+1)212〃-12〃+1J

IL1111111

=—1---1-----1---F-----1----------1-----

23352n—32n-\2/1-12〃+1

UiL_L1__

八2H+1J24〃+2

當(dāng)〃之1時(shí)，0<——-—<—,

4〃+26

■一1<-1-------1---<一1

…3-24/7+22'

即卜??；；

(3)由題意，與迫=冬=M叁=(2左+1)

設(shè)。，=￡+生,

k=\L2k

j+7xn—1

BPD=3x-+5xIH—+(2n-l)xI+(2〃+l)xl",①

3IIII

n+l

由(1)得?=3xj+5xI-②

IH----F(2H-1)X+(2n+l)x

3〃IIII

由①②得

j+2xn+1

—2Dn“=3rx—1+