2024-2025學(xué)年湖北省荊州市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2=(1+。?》對應(yīng)的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量方=(2,2),石=(1,0),則向量方在方方向上的投影向量為()

A.(0,2)B.(1,0)C.(2,0)D.(0,1)

3.已知非零向量石滿足(2萬一尤)1反且值一21)，方，貝皈與E的夾角大小為()

A小B.JC.名D學(xué)

4.設(shè)Zi，Z2為復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，下列命題中正確的是()

A.i3=-1B.若|Z1|=Ol，則z,=

C.若zi滿足=1,則因-1|6[0,2]D.Zi?五=z?

5.已知Z,m,幾是互不重合的三條直線，a,/?,y是互不重合的三個平面，則下列說法中正確的是()

A.若mu仇，則〃/a

B.若Z111n,znua,nca,則，_La

C.若/與TH是異面直線，Iua,mu0,則優(yōu)〃￡

D.若anp=Z,13C\y=m,aC\y=n,l//yf則zn〃九

6.已知tcma=2,則tan(a+7)+sin2a=()

A.-yB.yC.一第D噌

7.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,其面積S=人譏力s出8s出C,若△ABC的周長為1,

o

則sin/+sinB+sinC=()

A.1B.4C.2D.=

Z4

8.已知。，A,B三點不共線，OP-其中％,友為實數(shù)且不同時為0,則下列結(jié)論不正確的

是()

A.若41+42=1，則4B,P三點共線

B,若；I1=A2=則點P為A40B的重心

C.若%|市|=A2\OB\,貝UOP平分N40B

D.若市|2=&|旗|2,則訶！南

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列命題正確的是（）

A.數(shù)據(jù)0,1,1,2,2,2,3,4的極差與眾數(shù)之和為6

B.數(shù)據(jù)11,13,5,6,8,1,3,9的下四分位數(shù)是3

C.若數(shù)據(jù)打，%2,打0的標(biāo)準差為1,則數(shù)據(jù)2久i+l,2X2+1,……，2向0+1的標(biāo)準差為2

D.若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的形狀為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”（如圖所示），則樣本數(shù)據(jù)的平均

10.若函數(shù)f（x）=>0）的圖象與直線y=機的相鄰交點的距離為5則以下說法正確的是（）

A.函數(shù)y=/（x）的最小正周期為提

B.點（最0）是函數(shù)/（X）圖象的一個對稱中心

D.f（x）<1的解集為{用等<x<I+6Z}

11.已知正方體力BCD-4/1的。1的棱長為1,E,F,G分別為棱力B,BC,的外的中點，則下列說法正確

的是（）

A.過點E,F,小的平面截正方體4BCD-4拉1的%所得截面多邊形為正五邊形

B.若三棱錐B-CiCE的頂點都在球。的表面上，則球。的表面積為整

C.從頂點力出發(fā)沿正方體力BCD的表面運動到點G的最短路線長為雪

D.若用一張正方形的紙把正方體48停1%完全包住，不考慮紙的厚度，不將紙撕開，則所需正方

形紙的面積的最小值為8

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知圓錐的母線長為2,若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為.

13.為了解某高中學(xué)校學(xué)生每周閱讀課外書籍的數(shù)量，按年級分層，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽

取學(xué)生進行統(tǒng)計.現(xiàn)抽取高一學(xué)生25人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為3本，方差為3.2；抽取高二學(xué)

生25人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為2本，方差為2.3.則該校高一、高二學(xué)生每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)

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量的總樣本的方差是.

14.如圖，正方形4BCD的邊長為1,P,Q分別為邊BC,CD上的點，且NP4Q

則Q.而的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某中學(xué)舉辦學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)知識競賽.現(xiàn)從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分,

成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50),[50,60),…，[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)試估計全校答卷成績的第40百分位數(shù)(保留小數(shù)點后一位)和平均數(shù)(單位：分，同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點值為代表).

16.(本小題15分)

已知a,b,c分別為△4BC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且(c+a)(sinC—s譏2)=(c—b)sinB.

(1)求力;

(2)在A2BC中，若BC邊的中線力。=1,求A2BC面積的最大值.

17.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，己知AC=6,PA=BC=2,PA1底面力BCD,平面P4C_L平面PCD.

(1)求點4到平面PCD的距離;

(2)證明：CD_L平面PAC；

(3)若力B=AC,求二面角P—BC—A的余弦值.

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18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=sin2a)x-2V3cos23%+(其中0VaV3),將/(%)的圖象向右平移三個單位長度后得到

Z4

的函數(shù)為偶函數(shù).

(1)求/1(%)的解析式;

(2)當(dāng)［-卷,勺時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

1Z4

?

(3)記方程f(%)=zn(znER)在％￡吟卷］上有五個實根第1，%2%3，%4，%5，其中％I<%2<%3V%4V%5，

求m的取值范圍及+2X2+2與+2%4+%5的值.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=sin(3%+@)(3>0,0<(p<7T)的部分圖象如圖1所示，A,B分別為圖象的最高點和最

低點，過A(-|，O作x軸的垂線，交x軸于點力'，點C&0)為該部分圖象與%軸的交點.

(1)求八%)的解析式；

(2)將繪有函數(shù)人支)部分圖象的紙片沿工軸折成等的二面角，如圖2所示.

①求直線4B與平面OBC所成的角的正弦值；

(譏)求以線段AB的中點為球心，半徑為苧的球與二面角所圍成的幾何體的體積.

注：球缺的定義：如圖3,一個球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直徑被

截下的線段長叫球缺的高.設(shè)球的半徑為R,球缺的高為八，則球缺的體積公式為U球缺二號兀層?/?—八).

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：由z=(l+i)Y=—1+i,

則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(-1,1)位于第二象限.

故選:B.

先計算復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知，向量方=(2,2),b-(1,0),

向量方在了方向上的投影向量為同cos/，；=第々=,(1,0)=(2,0).

\b\|好1

故選：C.

向量方在方方向上的投影向量為國COS。?白=晶石

\b\|ir

本題考查了投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：非零向量,，萬滿足(2E—1)11,且(5—2尤)J.N,

則2萬不=|邨①，同2=2五方②，

聯(lián)立①②可得同2=.2,又向量1為非零向量，

所以同=\b\,

設(shè)向量1的夾角為仇0<e<7T,

貝“cos"尚"=鬻"=：，所以

|葉網(wǎng)|a|z23

故選：B.

本題可根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到向量示石的數(shù)量積以及模長的關(guān)系，再利用向量夾角公式求解夾角.

本題考查的知識點：向量的數(shù)量積運算，向量的夾角運算，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】對于4結(jié)合虛數(shù)單位i的幕運算，i3=i2.i=(-l)i=-i^-l,故N錯誤；

對于B,令Zi=1,z2=i,則|zj=|Z2「但z：=1,zl=-l,則z"z3故B錯誤;

對于C,因為Zi滿足|z/=1,所以Zi表示復(fù)平面上對應(yīng)單位圓上的點，則|Zi-1|表示在復(fù)平面內(nèi)，Zi對應(yīng)

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的點到點(1,。)的距離，又點(1,0)在單位圓上，所以a-1|e[0,2],故C正確；

對于令Z]=i,

則Zi?Zj_=l,z：=飪=-1,故。錯誤.

故選：C.

選項4利用虛數(shù)單位i的周期性幕運算判斷；

選項￡通過反例說明模長相等的復(fù)數(shù)平方不一定相等；

選項C,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，分析單位圓上的點到定點的距離范圍；

選項。，利用特殊值法，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：I,m,九是互不重合的三條直線，a,0,y是互不重合的三個平面，

對于4若〃小，mc則///a或Iua,故N錯誤；

對于B,若21m,1_Ln，mea,nca,貝！H1a或l與a相交，或/ua,故2錯誤；

對于C,若，與?n是異面直線，Ica,mu0,貝僚//0或a與夕相交，故C錯誤；

對于D,若=0Cy=m,ar\y—n,l//y,

1//n,1//m,m//n,故。正確.

故選：D.

根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系即可判斷ABC,利用線面平行的性質(zhì)定理即可判斷D.

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：因為tana=2,所以tan(a+g)==碧=-3,

4'1—tanatan-4T1—2

心士人,c一-日,?

n-2sinacosa2tana2x24tno.411

結(jié)合sin2a=2sinacosa=記計3%=ta/a+i=2^+1=不可得tan(er+-)+sin2a=—3+-.

故選：A.

運用兩角和的正切公式求出tan(a+^)=-3,根據(jù)二倍角的正弦公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系，化簡出

sin2a=之7：=i進而求得tan(a+J)+sin2a的值.

tanza+l5'4，

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

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【解析】解：設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則號=芻=告=2凡

sinAsinBsinC

可得a=2Rsi7h4,b=2RsinB,c=2RsinC,

所以△ABC的面積S=^absinC=2R2sinAsinBsinC=^sinAsinBsinC,

可得2即結(jié)合△的周長

2R=oR=4ABCa+b+c=1,

i

可得a+b+c=IRsinA+2RsinB+2RsinC=1=>sinA+sinB+sinC=—=2.

故選：c.

根據(jù)正弦定理求得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rs0C,代入面積公式求得R,再根據(jù)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化

為角，即可求出sirM+sinB+s譏C的值.

本題主要考查正弦定理、三角形的面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：4根據(jù)題意可知，。，A,B三點不共線，若及+%=1，二%=1一%，

OP=AIOA+A2OB=AIOA+(1—AI)OB=OB+A1BA,

OP-OB=BP=XiBA,

???點4B,P三點共線，.??故N正確；

B：OP^^OA+^OB,設(shè)4B的中點M,

則Cl+OB=20M,：-~0P=|0M,

貝甘為仆AOB的重心故B正確；

C：設(shè)=%1礪I=卜水40，則%=冊雨+高歷，

磊，薔分別是與瓦彳,亦同向的單位向量，以這兩個單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，

菱形的對角線平分內(nèi)角，平分乙4。叢故C正確；

22

D：OPAB=(AiOX+A2OB)-(0B-0A)=-A.2)OA-OB-A1\OA\+X2\OB\,

22

vAJOXI=A2\OB\,：.OPAB^(Ai-A2)OA-OB,

I2)次,礪不一定為。，與屈不一定垂直，故。不正確.

故選：D.

根據(jù)向量共線、三角形重心、角平分線以及向量垂直的相關(guān)性質(zhì)逐一分析選項.

本題考查了向量共線、三角形重心、角平分線以及向量垂直的相關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

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【解析】解：對于4數(shù)據(jù)0,1，1,2,2,2,3,4的極差為4一0=4,眾數(shù)為：2,

數(shù)據(jù)0,1,1,2,2,2,3,4的極差與眾數(shù)之和為4+2=6,故/正確；

對于8,由9義8=2,

4

數(shù)據(jù)11,13,5,6,8,1,3,9按從小到大排列為1,3,5,6,8,9,11,13,

下四分位數(shù)是亨=4,故3錯誤；

對于C,若數(shù)據(jù)久0x2＞久io的標(biāo)準差為1,

則數(shù)據(jù)2盯+1,2久2+1，……，2久10+1的標(biāo)準差為2*1=2,故C正確；

對于D,右拖尾特征：分布右側(cè)有少數(shù)極端大值，左側(cè)數(shù)據(jù)較集中.

平均數(shù)受極端值影響顯著，向右偏移.

中位數(shù)僅取決于數(shù)據(jù)中間位置，對極端值不敏感.

???右拖尾時，平均數(shù)通常大于中位數(shù)，故。正確.

故選：ACD.

對于4利用極差和眾數(shù)的定義即可判斷，對于B,利用百分位數(shù)的定義即可判斷，對于C,利用方差的性質(zhì)

即可判斷，對于。，利用中位數(shù)和平均數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖形分析即可判斷.

本題考查頻率分布直方圖、極差、眾數(shù)、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，

可知直線y=nz被f。）=tan?x-看）的圖象截得的線段長等于/'（久）的周期，

所以/（%）的最小正周期為3故/正確；

由T=￡=］，解得3=2,所以/'（無）=tan（2久—看），

根據(jù)2X^Y=3可知（或0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，故8正確；

因為--專）=/（-專+與）=/（§）=tan半八等）=tan票

且察＜4＜兀，y=s幾%在（？,兀）上單調(diào)遞增，

乙DUD乙

所以tanVtan等,即/（—卷）＞/（得）,故以正確;

根據(jù)f（%）=tan（2%——）V1,解得—不+kn＜2,x—"VT+kir,kGZ,

oz64

即一，+年＜%＜?§+字,kez,可知。錯誤.

oZZ4Z

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故選：ABC.

由正切函數(shù)的性質(zhì)求出/(嗎的最小正周期，可判斷出4項的正誤；求出3的值，將(90)代入人嗎進行驗證,

可判斷出B項的正誤，根據(jù)函數(shù)的周期性將函數(shù)值化簡，結(jié)合單調(diào)性判斷出C項的正誤；利用正切函數(shù)的圖

象解不等式/'(X)<1,即可判斷出。項的正誤.

本題主要考查正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等知識，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于選項出如圖①，延長FE交ZM的延長線于點P,

D,G

易得△EFBs&EPA,

所以4P=FF=

連接PD1交441于點Q,

由小PHQSAD1A1Q,

迎=上一

待Q4］。遇12'

所以Q是上靠近4的三等分點，

在棱BB1上取點/,使得BI=劍1，連接/C1，貝IJ/C//ZQ,

在棱eg上取點/,使得/的=gcc0連接B/,則切〃Q/,得BJ〃DiQ,

取。的中點R,連接FR,貝〃刃，得FR〃D?,

則R是CCi上靠近C的三等分點，連接。1R,

則五邊形EFRDiQ即為所求截面.

FE-VBE2+BF2=J(￡)2+(：)2=浮EQ-JAE2+AQ2—J(^)2+(1-)2=

DiR=」A。+CR=112+(1)2=孚，

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QDl=J&0+&Q2=j/+凈2=苧，

RF=7CF2+CR2=J(g)2+(g)2=f,

DiR=JC0+C?=J〃+(|)2=要，

故五邊形EFRD&不是正五邊形，故選項/錯誤；

對于選項2：如圖②，取棱&B1、%的的中點，

則長方體EBCN-M/CiG的外接球即為三棱錐尸-的外接球，

直徑長為EC】=7EB2+BC2+QC2=J(1)2+I2+I2=|，

則球。的表面積為4兀弓尸=竽，故選項B正確

對于選項C：正方體部分展開圖如圖③所示，按不同的展開方式，分三種情況：AG=J12+(|)2=要,

對于。：由正方體的側(cè)面展開圖，

結(jié)合圖④可以看出五個邊長為2的正方形及上下左右四個等腰直角三角形組成一個正方形，

可知要想把正方體完全包住，正方形HSL7即為所求最小正方形，

其對角線長為1+1+1+：=4,所以面積為4x4=8,故選項。正確.

故選：BCD.

對于力：作出過點E,F,小的平面截正方體力BCD-所得截面計算截面邊長即可判斷；

對于2：取棱占/、小的的中點，則長方體E8CN-M/CiG的外接球即為三棱錐F-的外接球，求半

徑即可判斷；

對于C：正方體部分展開分別求出力G即可判斷；

對于。：由正方體的側(cè)面展開圖.結(jié)合圖④可以看出五個邊長為2的正方形及上下左右四個等腰直角三角形

組成一個正方形，可知要想把正方體完全包住，正方形HSL7即為所求最小正方形，計算其面積即可判斷.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于難題.

12.【答案】(2+2VI)兀

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【解析】解：圓錐的母線長為2,軸截面為等腰直角三角形，

???圓錐的底面半徑為r=

.??圓錐的表面積為S=兀x(/！)2+TTX，IX2=(2+2，1)兀.

故答案為：(2+2/2)7T.

求出圓錐的底面半徑，進而求出圓錐的表面積.

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、表面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

13.【答案】3

【解析】解：由題意，分層隨機抽樣總樣本的均值為］=生泰衿=2.5,

則分層隨機抽樣總樣本方差為：

s2=恐兩+或一療］+金崗+0—了］=藕［3.2+(3-2.5月+蔡［2.3+(2—2.5聲=3.

故答案為：3.

根據(jù)分層隨機抽樣中總樣本方差的計算公式來求解.

本題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】一2,1］

【解析】解：設(shè)NPAB=e,(0<e<7),則=J-d

所以MP|=照=總,MQI=

cost/cost/cosq—u)COS(五一(7)

所以Q?而=|Q||而|cos^=一2飛；

4cos(2。—9+芋

令￡=cos(28—J)+W，由OWewJ,

4Z4

得：-左2”皆，

444

所以苧<COS(26<1,

所以<t<1+苧，

所以2'\Ti—2<<1,

所以Q.湎的取值范圍為［2，］-2,1］.

故答案為：［2，！—2,1］.

設(shè)NP4B=8,(0W則4>碘=卜/順函=焉，\AQ\=cos^_gy利用數(shù)量積的定義得而而=

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,利用三角恒等變換和三角函數(shù)即可求解.

cos(26-/)+苧

本題考查的知識點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，余弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

15.【答案】a-0,006；

40百分位數(shù)為72.9,平均數(shù)為76.2.

【解析】(1)由頻率分布直方圖，可知(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)xl0=1,則a=0.006.

(2)前三個小矩形的面積和為(0.004+0.006+0,022)X10=0.32<0.4,

前四個小矩形的面積和為0.32+0.028X10=0.6>0,4,則第40百分位數(shù)位于［70,80)內(nèi)，

由7。+第篝X10~72.9,得第40百分位數(shù)為72.9,

U.O—U.5Z

平均數(shù)為45x0.004X10+55X0.006x10+65x0.022x10+75x0.028x10+85x0.022x10+

95x0.018x10

=1.8+3.3+14.3+21+18.7+17.1=76.2,

綜上所述全校答卷成績的第40百分位數(shù)為72.9,平均數(shù)為76.2.

(1)由頻率之和為1列方程求解；

(2)根據(jù)累計頻率判斷第40百分位數(shù)所在區(qū)間，然后代入百分位數(shù)求解公式計算，區(qū)間中點值與對應(yīng)區(qū)間

頻率的乘積之和即為平均數(shù).

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用及平均數(shù)和百分位數(shù)，屬于中檔題.

16.【答案】4=與

V3

V

【解析】(1)因為(c+a)(sinC-sinA)=(c—b)sinB,

所以(c+a)(c-a)=(c-b)?b,可得按+c2—a2=be,

222

可得cosZ=b+c—a1

2bc2,

又4e(0,7r),

可得力=~

(2)因為D是BC中點，

所以前=g(南+尼)，

可得力D=；Q4B+4C)2,

4

-->21-->2-->-->-->2

即4。=；(力B+2AB-AC+AC),

4

第12頁，共18頁

_---->21--->2--->--->--->2

可得+2\AB\\AC\'COS^BAC+AC),

可得^^2=1(/)2+2bc?cosZ-BAC+c2),

可得而2="(^2+2bc?COS卷+c2),

因為AD=1,

所以1="(按+2bc?cos^-+c2),可得4—be=公+02,

由于A-be=b2+c2>2bc,可得be<1(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=當(dāng)^)，

所以=gbcsin乙BAC=^-bc4苧［二*，即當(dāng)b=c=浮^時，SMBC最大值為*?

(1)利用正弦定理和余弦定理即可求解；

(2)由。是BC中點，得前=2(同+前)，利用向量的數(shù)量積運算得4=房+兒+°2,最后利用均值不等式

和三角形面積公式即可求解.

本題考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，均值不等式以及三角形面積公式在解三角形中

的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

17.【答案】卓：證明見解析；

【解析】(1)過點4作力E1PC于E,垂足為點E,

由平面/MC_L平面PCD,AEa^-^PAC,平面;MCCl平面PCD=PC,AE1PC,

得4E1平面PCD,

則線段4E即為點2到平面PCD的距離,

由P41底面力BCD,ACu平面ABC。，得P4_L力C,即△PAC為直角三角形，

在RtAPHC中，AC=y/_3>PA—2,pc=VPA^+AC^=/2^+—^/~7,

故點4到平面PCD的距離為享；

(2)證明：由(1)可知力E_L平面PCD,又CDu平面PCD,得AE1CD,

由PA1底面力BCD,CDu平面力BCD,得PA1CD,

由AEJ.CD,PA1CD,AE.PHu平面PHC,AECtPAA,

得CD1平面PAC；

(3)作4FIBC于凡連接PF,

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p

由PAI底面ABC。，BC、力Fu平面PAB,得PA_LBC,PA1AF,

由4F1BC,PA1BC,AF,P力u平面P力F,AFQPA=A,

得BCJ_平面P4F,又PFu平面PHF,得BC1PF,

則乙4FP即為二面角P-BC—4的平面角.

由48—AC,AF1BC,得CF-牛—1,AF-VAC2-CF2-J(y/~3)2-l2=V~2,

在RtAPHF中，PF=VPA2+AF2=J22+(72)2=V~6>

所而i以、JCOSN力AFLPn=^AF=口V_2=亍V~3.

故二面角P-BC-A的余弦值為苧.

⑴過點人作力石1PC于E,垂足為點E,即證AE_L平面PCD,則線段力E即為點A到平面PCD的距離，在Rt△PAC

中，計算AE即可；

⑵由⑴可知AE1平面PCD,得AE_LCD,由PA_L底面4BCD,得PA1CD,利用線面垂直的判定定理即可

得證；

(3)作力F1BC于凡連接PF,即證BC1PF,則乙4”即為二面角P-BC-4的平面角,在AP力尸計算cosZ/lFP

即可.

本題考查線面垂直的判定，以及二面角的計算，屬于中檔題.

18.【答案】/(x)=2sin(4x-引；

r_2L型].

L24,24」，

m￡[0,V-3),Xj+2x2+2X3+2久4+久5=竽.

【解析】(1)/(%)=sin2a>x—2A/-3'"笠2sx+_5出23刀—y/~3cos2cox=2sin(2cox—^),

由/Xx)的圖象向右平移5個單位長度，

得y=/(x-')=2sin[2^x-/)-副=2s譏(2s一號冶),

此函數(shù)是偶函數(shù)，則一k兀，k&Z,to=-10-12fc,fceZ；

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因為0V3V3,所以當(dāng)k=-l時，3=2,/(%)=2s譏(4%一^).

(2)解法一、

由-5+2/C7T<4%—g+2/C7T,kEZ,得一芻+'l/CTTW%+：/C7T,kEZ;

232242242

因為無e［—得5］,所以當(dāng)k=0時，—/wxw察

"424Z4

所以八支）的單調(diào)增區(qū)間為［-芻，羽；

Z4Z4

解法二、

由女［-瑞布,得以冷1-祟等，

令Y”久冷好得-x瑞,

所以/⑶的單調(diào)增區(qū)間為［一白工；

⑶由久陰，可得4%-界凈5司,

令力=4%-］作出函數(shù)y=2si"在tE冷5兀］上的圖象，如圖所示，

咻

由方程/(%)=m(mGR)在％G仁壽］上有五個實數(shù)根，可得函數(shù)y=2s譏t與直線y=m在tG冷5TT］上有五

個交點.

當(dāng)￡=狎，y=V^；當(dāng)力=5兀時，y=0,

則由圖象可得當(dāng)znE［0,，W)時，函數(shù)y=2si"與直線y=m在te冷57rl上有五個交點，設(shè)為力「功，名4，

力5，不妨設(shè)力1V力2Vt3Vt4Vt5，

37iS冗77r97r

+七2=2X=3",0+力3=2X=571,七3+t4=2X=77T,14+化=2X—9TT,

所以(4/*)+(4%2*)=3TT,(4冷冷)+(4冷話)=5TT,

(4支3-引+(4%4冶)=7兀，(4久4-引+(4招冶)=9兀，

解得％1+%2=久2+%3=的+%4=必+%5=11+2%2+2久3+2%4+%5=(11+%2)+

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。2+久3)+(%3+K4)+。4+苑)=玉-+近+近+玉-=飛-所以機￡[0,門),+2%2+2%3+2%4+

207r

判=百

(1)利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)解析式，然后寫出平移后函數(shù)的解析式，最后根據(jù)函數(shù)y=

Asin(^a)x+0)為偶函數(shù)則9=]+k兀求解3,即可求得/'(%)的解析式；

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解/(久)的單調(diào)增區(qū)間，再與區(qū)間[-春微]取交集即可；

(3)令t=4x*,作出y=2sint在te既,5兀]上的圖象，數(shù)形結(jié)合可求出ni的范圍，根據(jù)對稱性求出無1+久2、

久2+乂3、￡3+兀4、x4+x5,求和即可.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，是中檔題.

19.【答案】f(x)=后sin("+剃；①嚼；

【解析】⑴由圖可得，)=<一(一|),

周期T=4,所以3=竿=5

由’(一得sin(—￡?/+g)=1,

所以一,,/+0=]+2kn也6Z),

所以0=￥+2/CTT(/CCZ),因為0