三年真題(2023—2025)

4<02年面向量

■三年考情-探規(guī)律.

考點三年考情(2023-2025)命題趨勢

命題主要集中在平面向量基本

通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分

定理、坐標運算、數(shù)量積運算

值一般為5分左右。向量的線性運算，如

及其應(yīng)用等方面，如證明垂直、

加法、減法、數(shù)乘運算等是基礎(chǔ)內(nèi)容，常與

求距離、夾角、模長等。例如，

平面向量基本定理結(jié)合考查。例如，通過已

2023年全國甲卷考查了向量

知向量表示未知向量，判斷向量之間的關(guān)系

夾角，2024年新課標全國II

等。向量的數(shù)量積運算及其應(yīng)用是重點，包

卷考查了向量模長。整體難度

括數(shù)量積的定義、坐標運算、幾何意義等，

考點1平面一般不高，以基礎(chǔ)題和中檔題

常涉及求向量的模、夾角，判斷向量的垂直

向量為主，注重對基本知識點和運

關(guān)系等。如2024年新高考I卷和II卷

算能力的考查1。常與解析幾

都考查了平面向量的垂直運算，II卷還結(jié)

何、三角函數(shù)、平面幾何等知

合了數(shù)量積的綜合運算1。

識相結(jié)合，作為解題工具出現(xiàn)。

向量常與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾

如2023年全國甲卷理科第

何等知識相結(jié)合。如2023年全國甲卷理科

12題，考查了向量與圓的綜合

第12題，考查了向量與圓的綜合問題

問題

?考點分練?精準達標.

考點01平面向量

一、單選題

1.(2025?全國一卷?高考真題)帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航

海學中稱為視風風速，視風風速對應(yīng)的向量，是真風風速對應(yīng)的向量與船行風速對應(yīng)的向量之和，其中船

行風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對

應(yīng)關(guān)系.己知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2(風速的大小和向

量的大小相同)，單位(m/s),則真風為()

等級風速大小m/s名稱

21.1?3.3輕風

33.4?5.4微風

45.5~7.9和風

58.0-10.1勁風

A.輕風B.微風C.和風D.勁風

【答案】A

【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫出視風風速對應(yīng)的向量和船行風速對應(yīng)的向量，求出真風風速對應(yīng)的向量,

得出真風風速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.

【詳解】由題意及圖得，

視風風速對應(yīng)的向量為：n=(0,2)—(3,3)=(-3,-1),

視風風速對應(yīng)的向量，是真風風速對應(yīng)的向量與船行風速對應(yīng)的向量之和，

船速方向和船行風速的向量方向相反，

設(shè)真風風速對應(yīng)的向量為無，船行風速對應(yīng)的向量為近，

.*.元=式+說,船行風速：n；=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

/.nj,=n—nJ=(—3,—1)—(―1,—3)=(—2,2),

同=’(—2)2+22=2&a2.828,

.?.由表得，真風風速為輕風，

故選：A.

2.(2023?新課標I卷?高考真題)已知向量日=(1,1)石=(1,一1),若Q+4司1伍+〃司，則()

A.a+〃=iB.A+〃=—1

C.A/i=lD.2/1=-1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出2+2加a+iib,再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出.

【詳解1因為d=(1,1),b=(1,—1),所以五+Ab-(14-A,1—A),CL+=(1+〃,1—〃),

由Q+Ah)1(a+〃石)可得，(a+Ah)-(d+=0,

即(1+4)(1+〃)+(1—4)(1—〃)=0,整理得：A/z=—1.

故選：D.

—>

3.(2023?全國甲卷?高考真題)已知向量五=(3,1)花=(2,2),貝kos值+江,a—b}=()

「Vs

A-iB席CTD.卓

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得怔+b\,\a-b\,Q+另)?0-力從而利用平面向量

余弦的運算公式即可得解.

【詳解】因為江=(3,1),3=(2,2),所以2+1=(5,3)濠一■=(1,一1),

則歸+同=7s2+32=V34,|a-b|=VTTI=V2,(a+h)-(a-b)=5x1+3x(-1)=2,

所以cosU+b,a-b)=(潟舄)=焉方=

故選：B.

4.(2023?全國乙卷?高考真題)正方形4BCD的邊長是2,E是力B的中點，則正?前=()

A.V5B.3C.2V5D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛說，而｝為基底向量表示無，前，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利

用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求COSNDEC,進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.

【詳解】方法一：以｛說，而｝為基底向量，可知|屈|=|而|=2,荏?而=0,

則EC=EB+BC=^AB+4D,ED=EA+AD=-^AB+AD,

所以說.麗=QAB+AD)-+AD)=-jAB2+AD2=—1+4=3；

方法二：如圖，以4為坐標原點建立平面直角坐標系，

貝UE(l,0),C(2,2),D(0,2),可得證=(1,2),麗=(-1,2),

所以正?麗=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=V5,C￡)=2,

在ACDE中，由余弦定理可得COSNDEC=

"22篝DE-:CE尹.=)2X一y5xV[5=|5,

所以說?麗=[EC\[ED\cosz.DEC=V5XV5X|=3.

故選：B.

5.(2023?北京?高考真題)已知向量窗B滿足N+3=(2,3),2—另=(―2,1),則同2—歷『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.

【詳解】向量乙3滿足N+b=(2,3),a-b=(-2,1),

所以同2一I瓦2=m+母.Q一力=2x(-2)+3x1=-1.

故選：B

6.(2024新課標H卷?高考真題)己知向量B滿足同=1,怔+2同=2,_!.(&-2a)1b,則同=()

A.-B,-C.-D.1

222

【答案】B

【分析】由—2a)1彼得京=2d-b,結(jié)合|五|=lja+2b\=2,得1+4a-b+4b2=1+6b2=4,由此

即可得解.

【詳解】因為(3-2d)1b9所以(3-2a)-6=0,即群=2a-b,

又因為同=l,\a+2b\=2,

所以1+4a-h+4b2=1+6b2=4,

從而間=y.

故選：B.

7.(2024?廣東江蘇?高考真題)已知向量五=(0,1)花=(2,%),若31(3—44)，則久=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求久的值.

【詳解】因為3JL-41)，所以九(B-41)=0,

所以力2—4a-b=0即4+%2—4%=0,故％=2,

故選：D.

8.（2023?全國乙卷?高考真題）已知O。的半徑為1,直線B4與O。相切于點A,直線P3與O。交于2,

兩點，。為8c的中點，若|PO|=VL則同?麗的最大值為（）

A1+V2nI+2V2

A.--------D.------------

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論,利用平面向量的數(shù)量積定義可得同PD

或或-PD=2+當sin（2a+§然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定麗?麗的最大值.

【詳解】如圖所示，|。川=1,|OP|=e，則由題意可知Z4P。=；,

當點4D位于直線PO異側(cè)時或P3為直徑時，設(shè)NOPC=a,0<a<-,

4

則：PA-PD=|麗?|麗|cos(a+習

=1xV2coscrcos(a+

=V2cosacosa—jsina)

=cosza—sinacosa

1+cos2a1

=----------------=sin2a

22

1V2/TT\

.一丁sin(2a-/

0<a<-則一巴<2a

4f444

.?.當2a—△=—二時，刀?而有最大值1.

44

當點。位于直線。同側(cè)時，設(shè)a<-,

4PNOPCa,0<4

則：PA-PD=PA-~PD<cos(E-a

=lx^cosacosG-a)

/V2V2

=vrzcosaI—cosa+—sincr

=cos2a+sinacoscr

1+cos2a1

=---------------1--sin2a

22

=-i+.-V2sm.[2a+,-TI)\,

0<a<^,貝哈W2a+?<耳

???當2a+?=軻，方?而有最大值萼.

綜上可得，P4,PD的最大值為上等.

故選：A.

【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查

了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

9.(2023?全國甲卷?高考真題)已知向量乙3,乙滿足⑷=\b\=1,?=&,5.a+b+c^0,貝UcosQ—林―

c)=()

4224

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為B+b+c^6,所以N+b--c,

即益2+K2+2d?&=產(chǎn)，即1+1+2a*&=2,所以d-6=0.

如圖，設(shè)瓦不=d,OB=b,OC=c,

c

由題知,04=OB=1,OC=V2,AO4B是等腰直角三角形，

A2邊上的高?！?=今/W=當

所以CD=CO+0D=y/2+—

22

AD1R

tanZ>lCD=—=-cos^ACD=口,

CD3fvio

cos(a—c,b—c)=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos2Z-ACD-1

故選:D.

10.(2024.全國甲卷.高考真題)設(shè)向量d=(x+l,x),3=(x,2),則()

A.“x=—3”是21薩的必要條件B.%=1+遮”是2〃3”的必要條件

C.%=0”是*1戶的充分條件D.“久=一1+遍”是%〃疥的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對A,當213時，則之不=0,

所以久?(x+1)+2乂=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當x=0時,a=(1,0)5=(0,2),故之7=0,

所以2即充分性成立，故c正確；

對B,當明/麗寸，則2(x+l)=/,解得x=l±V5,即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當％=-1+8時，不滿足2(x+1)=/,所以之〃另不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

11.(2024.北京.高考真題)設(shè)a,3是向量，貝+3)?(2-司=0"是*=—3或2=3”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知值+司?0-3)=。等價于同=同，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】因為0+6)?(d-6)=a2-P=0,可得/=b2,即同=\b\,

可知(d+b)-(a-b)=0等價于m=同，

若2=石或2=-3,可得同=同，即+司?Q—3)=0,可知必要性成立；

若Q+另)?(2-3)=0,BP|a|=|K|,無法得出五=-或&=一4,

例如,=(1,0),3=(0,1),滿足|團=|同，但自力反且,力一3,可知充分性不成立；

綜上所述，”(2+fe)-(a-b)=0"是*=一3或d=定的必要不充分條件.

故選：B.

12.(2025?北京?高考真題)在平面直角坐標系xOy中，|市|=|而|=&,|屈|=2.設(shè)C(3,4),則|2刀+屈|

的取值范圍是()

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根據(jù)荏=礪-瓦5,求出巧4礪〉，進而可以用向量瓦5,礪表示出2刀+屈，即可解出.

【詳解】因為|0*=\0B\=V2,\AB\=2,

由荏=礪一瓦?平方可得，OA-OB=0,所以〈瓦?，麗)=泉

2CA+AB=2(0A-0C)+OB-OA=OA+OB-20C,|0C|=V32+42=5,

所以，\2CA+AB|2=OA2+OB2+40C2-4(OA4-OB')-OC

=2+2+4x25-4(OX+0B)?OC=104-4(0X+0B)-OC,

又|(市+而)?元|<\OA+OB\\OC\=5xV2T^=10,即—10<(04+OB)-OC<10,

所以|2日？+彳研之G[64,144],即|2刀+屈|￡[8,12],

故選：D.

二、填空題

13.(2025?全國二卷?高考真題)已知平面向量2=(居1),石=(%—1,2%),若2,(2-司，則向=

【答案】V2

【分析】根據(jù)向量坐標化運算得2-3=(1,1-2工)，再利用向量垂直的坐標表示得到方程，解出即可.

【詳解】五一：=(([-2嗎,因為五1(五一司,則五—「)=0,

則x+1-2x=0,解得x=1.

則2=(1,1),則悶=夜.

故答案為：V2.

14.(2023.新課標H卷.高考真題)已知向量&,3滿足幅-同=V5,|a+d|=\2d-b\,則同=.

【答案】V3

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令5結(jié)合數(shù)量積的運算

律運算求解.

【詳解】法一：因為「+司=|2五一川，即伍+3)=(2d—6),

則江2+22.3+留=4a2—42?3+定，整理得必—2a-b=0,

又因為恒―b|=V5，即(1—b)=3,

則12-2a-b+b2=b2=3,所以向=V3.

法二：設(shè)3=五一丸貝=百濠+3=5+2南22—3=2^+丸

由題意可得：(c+2b)2=(2c+h)2,則產(chǎn)+4c-+4&2=4c2+4c-h+K2,

整理得:c2—b2,即也|=|c|=V3.

故答案為：V3.

15.(2023?天津?高考真題)在中，BC=1,乙4=60。，AD=^AB,CE=^CD,記荏=匕前=丸

用之工表示4E=；若融=己前,則族?存的最大值為.

【答案】臺+討g

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合E為CD的中點進行求解；空2：用21表示出衣，結(jié)合上一空答

案，于是族?族可由五I表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.

【詳解】空1：因為E為CD的中點，則前+前=6,可得［竺+￡￡=竺，

兩式相加，可得至1」2荏=而+而，

即2版=12+京則旗=(五+］加

空2：因為麗=工前，貝U2而+麗=6,可得［竺+竺=”，

得到羽+FC+2(AF+麗)=前+2AB,

即3屈=2N+3，即而=|d+［3.

于是版.刀=Qa+|h)?(|a+|b)=^(2a2+5a-6+262).

記4B=x,AC=y,

則版?荏=,(2a2+5a-b+2b2)=(2/+5xycos60°+2y2)=2(2x2+罷+2y2),

在4/BC中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2—xy=1,

于是獲,衣=32盯+罷+2)=義嬰+2),

由/+y2—xy=1和基本不等式，x2+y2-xy=1>2xy-xy=xy,

故%yW1,當且僅當％=y=1取得等號，

則x=y=1時，AE-標有最大值If.

故答案為：7+泅g.

->—>

16.(2024?天津?高考真題)已知正方形ABCD的邊長為1,DE=2EC若BE=XBA+fiBC,其中尢〃為實數(shù),

則％+〃=;設(shè)F是線段BE上的動點，G為線段4F的中點，則希?麗的最小值為.

【答案】？一亮

Jlo

【分析】解法一：以｛瓦?，於｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求前，即可得4+〃，設(shè)部=kBE,求衣，說,

結(jié)合數(shù)量積的運算律求方?而的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求麗，即可得％+出

設(shè)F(a,-3a),a6[，0],求幅而，結(jié)合數(shù)量積的坐標運算求方?加的最小值.

【詳解】解法一：因為CE=1DE,即CE=(B4則就=正+而=g麗+品，

可得4=[,〃=1,所以2+〃=]；

由題意可知：|阮|=|瓦?|=1,瓦？?阮=0,

因為F為線段8E上的動點，設(shè)麗=k瓦=g局+k前,ke[0,1],

則衣^AB+BF^AB+kBE=Q/c-ij^BA+kBC,

又因為G為4F中點，則麗=DA+AG=-BC+^AF=|(|fc-1)BX+Qfc-1)BC,

可得衣?麗=[Qfc-1)FX+kBc]-[|Q/c-1)BX+Qfc-1)BC]

=l(ife-1)2+feGfe-1)=i(fe-l)2-i

又因為ke[0,1],可知：當k=l時，萬?而取到最小值一盤；

18

解法二：以2為坐標