三年真題(2023—2025)

4<09必照原理

■三年考情-探規(guī)律.

考點(diǎn)三年考情(2023-2025)命題趨勢

基礎(chǔ)概念與方法應(yīng)用：考查排列組合的基本題型與難度穩(wěn)定：在各類高考

概念、公式，以及“捆綁法”“插空法”“隔板卷中，計(jì)數(shù)原理相關(guān)題目題型

法”等常見方法的運(yùn)用。如2023年全國卷較為固定，主要以選擇題、填

的一些題目涉及特殊元素與特殊位置、兩元空題形式出現(xiàn)在小題中，全國

素相鄰或不相鄰等問題3。甲、乙卷難度較小,新高考I、

考點(diǎn)1排列

綜合應(yīng)用：常與概率、統(tǒng)計(jì)、數(shù)列、解析幾II卷難度適中。在解答題中，

與組合

何等知識結(jié)合。例如2024年全國甲卷文科常與概率等知識綜合考查，難

試卷第5題考查排列組合與古典概型的綜度有所提高，但整體難度保持

合應(yīng)用；新課標(biāo)I卷第19題結(jié)合數(shù)列新相對穩(wěn)定。

定義；新課標(biāo)II卷第18題通過二項(xiàng)分布突出應(yīng)用與素養(yǎng)：命題注重以

考查分類討論思想。課程學(xué)習(xí)情境和生活實(shí)踐情境

為背景，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏

輯推理等核心素養(yǎng)的考查。要

求考生能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

特定項(xiàng)系數(shù)：考查利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)學(xué)問題，運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決問

公式求特定項(xiàng)的系數(shù)。例如2024年全國甲題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性

卷理科第13題，求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最和工具性。

大值，需要先寫出通項(xiàng)公式，再通過比較系強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)與綜合：既注重對計(jì)

數(shù)大小來求解。數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定

考點(diǎn)2二項(xiàng)系數(shù)和問題：涉及求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的理等基礎(chǔ)知識的考查，要求考

式定理和、二項(xiàng)式系數(shù)的和等。如通過對二項(xiàng)式中生對基本概念、公式、性質(zhì)等

的變量賦值，來計(jì)算系數(shù)和。有深入理解和熟練掌握2。又

系數(shù)最值問題：要求找出展開式中系數(shù)的最常與概率、統(tǒng)計(jì)、離散型隨機(jī)

大值或最小值。如2024年全國甲卷理科第變量的分布列等知識綜合命

13題，就是典型的求系數(shù)最大值問題。題。通過跨知識點(diǎn)的融合，考

查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和知識

遷移能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的

系統(tǒng)性和綜合性。

一考點(diǎn)分練-精準(zhǔn)達(dá)標(biāo)一

考點(diǎn)01排列與組合

一、單選題

1.（2023?新課標(biāo)n卷?高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方

法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，己知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.C筮0-C品種B.C400,C乳種

C.c瑞?嘲。種D.C乳?嗯。種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60X黑=40人，高中部共抽取60X綏=20,

6006UU

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有戲8。.c碧。種.

故選：D.

2.（2023?全國乙卷?高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物

中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有瑪種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有Ag種，

根據(jù)分步乘法公式則共有禺-Aj=120種，

故選：C.

3.（2023?全國甲卷?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，

每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,

假設(shè)a連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有A：=12

種方法，

同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

4.（2023?全國甲卷?高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨

機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C：=6件，

其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有C4C；=4,

所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為:=f.

63

故選：D.

5.（2024.全國甲卷.高考真題）某獨(dú)唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出

場次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個(gè)出場，且甲或乙最后出場的概率是（）

11

C.D.

32

【答案】C

【分析】解法一：畫出樹狀圖,結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖,

乙

甲丙丁

AAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

T丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

T

甲乙丙

AAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，出場次序共有24種,

其中符合題意的出場次序共有8種，

故所求概率P

解法二：當(dāng)甲最后出場，乙第一個(gè)出場，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲最后出場，乙排第二位或第三位出場，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲最后出場共4種方法，同理乙最后出場共4種方法，于是共8種出場順序符合題意；

基本事件總數(shù)顯然是A?=24,

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，所求概率為搭="

243

故選：C

二、填空題

6.（2023?新課標(biāo)I卷?高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門

課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】⑴當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有心禺=16種；

（2）當(dāng)從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C：第=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C久：=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

7.（2025?上海?高考真題）4個(gè)家長和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是

家長，則不同的排列個(gè)數(shù)有種.

【答案】288

【分析】先選家長作隊(duì)尾和隊(duì)首，再排中間四人即可.

【詳解】先選兩位家長排在首尾有理=12種排法；再排對中的四人有四=24種排法，

故有12x24=288種排法.

故答案為：288

8.（2024?天津?高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，

分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加

每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整

地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為.

【答案】||

【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.

【詳解】解法一：列舉法

給這5個(gè)項(xiàng)目分別編號為4B,C,D,E,凡從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,COE,共10種情況，

其中甲選到2有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

則甲參加“整地做畦”的概率為：P=2=|；

乙選4活動(dòng)有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再選擇。有3種可能性：ABD,ACD,ADE,

故乙參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為三=2

62

解法二：

設(shè)甲、乙選到a為事件M,乙選到。為事件N,

則甲選到a的概率為P(M)=|=|；

￡1

乙選了2活動(dòng)，他再選擇D活動(dòng)的概率為P(N|M)=磊=^=1

C5

故答案為：|；|

9.(2024?全國甲卷?高考真題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機(jī)取

3次，每次取1個(gè)球.記小為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則爪與71之

差的絕對值不大于1的概率為.

【答案】5

15

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號碼為a,b,第三個(gè)球的號碼為c,則a+b-3s2cW

a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.

【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有A^=120種，

設(shè)前兩個(gè)球的號碼為a,b,第三個(gè)球的號碼為c,則|亨-—|W號

故12c—(a+b)|<3,故—3<2c—(n+b)<3>

故a+b—3<2c<a+b+3,

若c=l,則a+b/5,則(a,b)為：(2,3),(3,2),故有2種，

若c=2,則lWa+bW7,則(a,b)為:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3)，故有10種，

當(dāng)c=3,則3Wa+bW9,則(a,b)為：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種,

當(dāng)c=4,則5Wa+bWlL同理有16種，

當(dāng)c=5,貝！|7Wa+bW13,同理有10種，

當(dāng)c=6,貝i]9Wa+bW15,同理有2種，

共m與幾的差的絕對值不超過!時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為2（2+10+16）=56,

故所求概率為言=看

故答案為：（

15

10.（2024.上海.高考真題）設(shè)集合4中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素

之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值____.

【答案】329

【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位不是0討論即可.

【詳解】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù).

首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，

①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有理=72個(gè)；

②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有禺個(gè)數(shù)字可選，百位有&=256個(gè)數(shù)字可選，十位有點(diǎn)個(gè)數(shù)字可選，

根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有禺匹點(diǎn)=256,

最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為72+256+1=329個(gè).

故答案為：329.

11.（2023?上海?高考真題）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C,滿足=AC=BC=1,在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不

計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為.

【答案】9

【分析】根據(jù)題意，先考慮正四棱錐中三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的情況，分類討論AABC為正四棱錐的側(cè)面或

對角面兩種情況，再結(jié)合△A8C三邊的輪換對稱性即可得解.

【詳解】因?yàn)榭臻g中有三個(gè)點(diǎn)4B、C,且力B=BC=CA=1,

不妨先考慮在一個(gè)正四棱錐中，哪三個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)考慮△ABC三邊的輪換對稱性，可先分

為兩種大情況，即以下兩種：

第一種：△力BC為正四棱錐的側(cè)面，如圖1,

此時(shí)48,分別充當(dāng)為底面正方形的一邊時(shí)，對應(yīng)的情況數(shù)顯然是相同的；

不妨以BC為例，此時(shí)符合要求的另兩個(gè)點(diǎn)如圖1所示，顯然有兩種情況，

考慮到AABC三邊的輪換對稱性，故而總情況有6種；

AA

圖1圖2

第二種：△力為正四棱錐的對角面，如圖2,

此時(shí)48,8&4C分別充當(dāng)?shù)酌嬲叫蔚囊粚蔷€時(shí)，對應(yīng)的情況數(shù)顯然也是相同的；

不好以BC為例，此時(shí)符合要求的另兩個(gè)點(diǎn)圖2所示，顯然只有一種情況，

考慮到△ABC三功的輪換對稱性，故而總情況有3種；

綜上所述：總共有9種情況.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是注意到AABC為正三角形，從而考慮正四棱錐中三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角

形的情況，結(jié)合△ABC三邊的輪換對稱性即可得解.

12.(2024?新課標(biāo)H卷?高考真題)在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格

被選中，則共有種選法,在所有符合上述要求的選法中,選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果,

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4X3X2X1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a,b,c,d),a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列

舉法寫出所有的可能結(jié)果.

考點(diǎn)02二項(xiàng)式定理

一、單選題

1.(2024.北京.高考真題)在(x-歷)4的展開式中，源的系數(shù)為()

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】A

【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令4-：=3,解出r然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.

【詳解】(％-豉)4的二項(xiàng)展開式為Tr+l==戢(-1)""5,(r=0,1,2,3,4),

令4—；=3,解得r=2,

故所求即為C汽-1)2=6.

故選：A.

二、填空題

234

2.(2025?北京,高考真題)2知(1—2x)4=劭—2alx+4a2x—8a3x+16a4x,則a。=；+a2+

-?

【答案】115

【分析】利用賦值法可求的，利用換元法結(jié)合賦值法可求的+a2+a3+a4的值.

【詳解】令x=0,則a0=l,

234

又(1—2x)4=a0-2arx+4a2x—8a3x+16a4x,

234

故(1—2x)4=佝+a1(-2x)+a2(-2x)+a3(—2x)+a4(-2x),

43

令t=-2x,則(1+t)=a0+att+a2t2+a3t+a4t3

4

令t=1,貝!la。++a2+a3+a4=2,故a1+a2+a3+a4=15

故答案為：1,15.

3.(2025?天津?高考真題)在(久-IT的展開式中，尤3項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-20

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識直接計(jì)算即可.

【詳解】(X-1)6展開式的通項(xiàng)公式為耳+i=C1X6-r?(一1)「，

33

當(dāng)r=3時(shí)，T4=clx-(-1)=-20/,

即(％-I/展開式中爐的系數(shù)為-20.

故答案為：-20

4.（2025?上海?高考真題）在二項(xiàng)式（2x—的展開式中，/的系數(shù)為.

【答案】80

【分析】利用通項(xiàng)公式求解可得.

［詳解］由通項(xiàng)公式圖+1=eg-25-r-x5-r-（-l）r=c［?（-1）『-25-rx5-r,

令5—r=3,得r=2,

可得/項(xiàng)的系數(shù)為c>（一1）2.25-2=80

故答案為：80.

5.（2024?上海?高考真題）在（久+1嚴(yán)的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則一項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】10

【分析】根據(jù)給定條件，求出塞指數(shù)九，再利用二項(xiàng)式定理求出指定項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】則二項(xiàng)式（％+1嚴(yán)的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為32,得2n=32,解得n=5,

所以（x+的展開式工2項(xiàng)的系數(shù)為墨=10.

故答案為：10

/I、10

6.（2024.全國甲卷.高考真題）G+x）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為.

【答案】5

（r0產(chǎn)之門⑶9f

【分析】先設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有4C1°匕<一10進(jìn)而求出r即

可求解.

\10—r

【詳解】由題展開式通項(xiàng)公式為耳+1=C［o（I）0<r<10且reZ,

（Cr（邛O'cF曠『

設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，貝H嗎。r~1°⑺，

（r>—

今《喜，即空WrW軍，又reZ,故r=8,

H乎44

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為Cfog）=5.

故答案為：5.

7.（2024.天津.高考真題）在（9+妥丫的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】20

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.

【詳解】因?yàn)橥?if的展開式的通項(xiàng)為加］=《母廣,償）r=32-6黑-2-4rk=0,1,-,6,

令12-4r=0,可得r=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為3?；?/p>