專題16概率

1.事件可以分為和.確定事件又包括______和.在每次試驗(yàn)中，事先知道其一定會(huì)發(fā)

生的事件叫作_______.在每次試驗(yàn)中，事先知道其一定不會(huì)發(fā)生的事件叫作________.在每次試驗(yàn)中，事先都無(wú)法

確定其會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件叫作_______.

2.一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且發(fā)生的可能性相等，其中使事件A發(fā)生的結(jié)果有m（

m<n）種，那么事件A發(fā)生的概率為.

3.概率的計(jì)算方法有：.

4.可以通過(guò)計(jì)算____來(lái)評(píng)判游戲是否公平.如果游戲雙方_________相同，說(shuō)明游戲公平，否則可以通過(guò)修

改游戲規(guī)則或者得分標(biāo)準(zhǔn)使游戲公平.

5.較復(fù)雜事件的概率估算：可以通過(guò)______估計(jì)復(fù)雜事件的概率，要求選用合理的在相同條件下

進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)越________試驗(yàn)獲得的估計(jì)值相對(duì)就越準(zhǔn)確.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.某校九年級(jí)選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識(shí)競(jìng)賽”上匕賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個(gè)人的出場(chǎng)

順序.主持人將表示出場(chǎng)順序的數(shù)字1,2,3分別寫(xiě)在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個(gè)不透明的盒子

中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個(gè)抽.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小

B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大

D.小星抽至悔個(gè)數(shù)的可能性相同

2.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖

勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（）

1113

A.4B.3C.2D.4

3.班長(zhǎng)邀請(qǐng)A,B,C,D四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議.如圖，班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個(gè)座

位,則A,B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

2

D.3

4.隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進(jìn)我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成.現(xiàn)對(duì)由三個(gè)

小正方形組成的“口口口”進(jìn)行涂色,每個(gè)小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色，恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一個(gè)白色小正方

形的概率為（）

1312

A-3B-8C.2D.3

5.不透明袋子中裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球，下列事件是必然

事件的是（）

A摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球

B.摸出的2個(gè)球都是白球

C.摸出的2個(gè)球中1個(gè)紅球、1個(gè)白球

D.摸出的2個(gè)球都是紅球

6.現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同.把這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩

張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“天問(wèn)”和“九章”的概率是)

1111

6B.。C.而D?適

7.如圖，某校運(yùn)會(huì)百米預(yù)賽用抽簽方式確定賽道.若琪琪第一個(gè)抽簽，她從1—8號(hào)中隨機(jī)抽取一簽，則抽到6

號(hào)賽道的概率是

./?麗麗:力力固MraN義

8.如圖，已知。。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰

影部分的概率是

Q

9.質(zhì)檢部門(mén)對(duì)某批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行隨機(jī)抽檢，結(jié)果如下表所示：

抽檢產(chǎn)品數(shù)n1001502002503005001000

合格產(chǎn)品數(shù)m89134179226271451904

合格率m0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904

在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約是（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

10.一個(gè)小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊地磚上,每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同,

那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是_______.

11.2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動(dòng)

從綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái).某校以中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)為契機(jī)，組織全體學(xué)生參加包粽子勞動(dòng)體驗(yàn)活動(dòng)，隨

機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，對(duì)他們每個(gè)人平均包一個(gè)粽子的時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖

表.

等級(jí)時(shí)長(zhǎng)t（單位：分鐘）人數(shù)所占百分比

A0<t<24X

B2<t<420

C4<t<636%

Dt>616%

根據(jù)圖表信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為表中X的值為；

(2)該校共有500名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)等級(jí)為B的學(xué)生人數(shù)；

(3)本次調(diào)查中，等級(jí)為A的4人中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行活動(dòng)感想交流，請(qǐng)利

用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

12.2022年3月22日至28日是第三十五屆“中國(guó)水周”，在此期間，某校舉行了主題為“推進(jìn)地下水超采綜合

治理，復(fù)蘇河湖生態(tài)環(huán)境”的水資源保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽.為了了解本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的分布情況，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取

了150名學(xué)生的初賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

成績(jī)x/分頻數(shù)頻率

60<x<70150.1

70<x<80a0.2

80<x<9045b

90<x<10060c

請(qǐng)根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問(wèn)題:

(1)表中a=,b=,c=;

(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績(jī)均為99分，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加復(fù)賽，請(qǐng)

用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率.

13.小亮和小麗進(jìn)行摸球試驗(yàn).他們?cè)谝粋€(gè)不透明的空布袋內(nèi)，放入兩個(gè)紅球，一個(gè)白球和一個(gè)黃球，共四個(gè)小

球.這些小球除顏色外其它都相同.試驗(yàn)規(guī)則：先將布袋內(nèi)的小球搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后放

回，稱為摸球一次.

(1)小亮隨機(jī)摸球10次，其中6次摸出的是紅球，求這10次中摸出紅球的頻率；

(2)若小麗隨機(jī)摸球兩次，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個(gè)是白球、一個(gè)是黃球的概

率.

壓軸預(yù)測(cè)

1.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1至U6的點(diǎn)數(shù)，貝嚇列事件為隨機(jī)事件的是(

)

A.兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于1

B.兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和小于2

C.兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和小于6

D.兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于13

2.在一個(gè)不透明的袋子中有三個(gè)黑球和兩個(gè)白球，它們除了顏色不同外都相同，隨機(jī)從中摸一個(gè)球，記錄顏色

后，放回袋子中，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，兩次都摸到黑球的概率是)

897

A?云B.布D-元

3.某園林綠化管理局為了考察樹(shù)苗的成活率，于是進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，表中記錄了樹(shù)苗的成活情況，則由此估計(jì)

這種樹(shù)苗成活的概率約為.（結(jié)果精確到0.D

植樹(shù)總數(shù)n40035007000900014000

成活數(shù)m36932036335807312628

成活的頻率-mn0.9230.9150.9050.8970.902

4.如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的兩色轉(zhuǎn)盤(pán)，其中白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為120。和240。.若讓轉(zhuǎn)盤(pán)自由

轉(zhuǎn)動(dòng)一次，則指針落在白色區(qū)域的概率是________.若讓轉(zhuǎn)盤(pán)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，則指針一次落在白色區(qū)域，另一次落

在紅色區(qū)域的概率是.

5.為了響應(yīng)國(guó)家“雙減”政策號(hào)召，落實(shí)“五育并舉”舉措，鎮(zhèn)海區(qū)各校在周六開(kāi)展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng).某校為

了了解學(xué)生對(duì)“籃球社團(tuán)、動(dòng)漫社團(tuán)、文學(xué)社團(tuán)和攝影社團(tuán)”四個(gè)社團(tuán)選擇意向，在全校各個(gè)年級(jí)抽取了一部分學(xué)

生進(jìn)行抽樣調(diào)查（每人選報(bào)一類(lèi)）,繪制了如圖所示的兩幅統(tǒng)計(jì)圖（不完整）.

社團(tuán)選擇意向情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

4籃球社團(tuán)

B.動(dòng)漫社團(tuán)

C.文學(xué)社團(tuán)

D攝影社團(tuán)

請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題.

(1)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中《!=_______,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)已知該校共有1600名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)有意向參加“攝影社團(tuán)”共有多少人？

(3)在“動(dòng)漫社團(tuán)”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加“中學(xué)生原

創(chuàng)動(dòng)漫大賽”，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出恰好選中乙、丙兩位同學(xué)的概率.

參考答案

1.確定事件隨機(jī)事件必然事件不可能事件必然事件不可能事件隨機(jī)事件

2.P⑷

3.列表法求概率畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率利用頻率估計(jì)概率

4.概率獲勝的概率

5.試驗(yàn)的方法替代物多

1.D【解析】本題考查隨機(jī)事件的可能性小星抽到數(shù)字1,2,3的可能性相同，故選D.

2.A【解析】本題考查用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率.由題意，列表如表,

第二次

紅綠

第一次

紅（紅，紅）（紅，綠）

綠（綠，紅）（綠，綠）

由表可知，共4種等可能的結(jié)果，其中只有一種滿足要求，故所求概率為［，故選A.

由題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖,

開(kāi)始

第一次紅綠

AA

第二次紅綠紅綠

由圖可知，共4種等可能的結(jié)果，其中只有一種滿足要求，故所求概率為［，故選A.

3.C【解析】本題考查畫(huà)樹(shù)狀圖求概率.根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示.由圖可知，四人依次坐下共有24種等

可能情況，其中A,B兩位同學(xué)座位相鄰的情況共有12種，所以A,B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是||=）故選

C.

開(kāi)始

A①④

B

AAAAAAAAAAAA

C③④②④②③③④①④①③@④曲①③①6①&③

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

D④③④②③②④③④①③①④①④②①②①③①②③②

4.B【解析】本題考查用畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率.根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖:

開(kāi)始

第一個(gè)小正方形黑色白色

第二個(gè)小正方形黑色白色黑色白色

AAAA

第三個(gè)小正方形黑色白色黑色白色黑色白色黑色白色

從樹(shù)狀圖可知，一共有8種等可能的情況，其中涂成兩黑一白的有3種情況，.?.恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一

個(gè)白色小正方形的概率為:故選B.

5.A【解析】本題考查必然事件的概念根據(jù)題意知袋子中共有3個(gè)球，其中有2個(gè)紅球和I個(gè)白球，.??任意

摸出2個(gè)球，有兩種等可能的情況，分別是兩個(gè)都是紅球，1個(gè)紅球1個(gè)白球，.??在摸出的2球中至少有1個(gè)紅球

是必然事件，故選A.

6.A【解析】本題考查列舉法求隨機(jī)事件的概率.根據(jù)題意，從4張卡片中隨機(jī)抽取兩張的等可能情況有（北

斗，天問(wèn)），（北斗，高鐵），（北斗，九章），（天問(wèn)，高鐵），（天問(wèn)，九章），（高鐵，九章），共6種，其中恰好是“天

問(wèn)”和“九章”的只有一種情況，，P（恰好是“天問(wèn)”和“九章”尸:故選A.

11

7.8【解析】本題考查隨機(jī)事件的概率.琪琪從1—8號(hào)中隨機(jī)抽取一簽，抽到6號(hào)賽道的概率是8

TT—7

8.—【解析】本題考查扇形的面積公式、隨機(jī)事件的概率.由圖可知，大正方形的邊長(zhǎng)等于小正方形的對(duì)角

__7/907T,Cl1八O2

線長(zhǎng).設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2a,則圓的半徑為a,???大正方形的面積為4a1S用形=4x（"武-印2）=（^-2）a,

???P（這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分=色含=7.

9.0.9【解析】本題考查用頻率估計(jì)概率.根據(jù)合格率可知在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約

為09

2

10.9【解析】本題考查求隨機(jī)事件的概率.根據(jù)已知圖形，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,則大正方形的面積

22

為9,其中黑色區(qū)域的面積為2,”（小球停留在黑色區(qū)域）=§,即該小球停留在黑色區(qū)域的概率是§

2

11.（1）508%（2）200（3）3

（1）根據(jù)D等級(jí)的人數(shù)及其所占的百分比，求出本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；根據(jù)總?cè)藬?shù)和A等級(jí)的人數(shù)，求出

其所占的百分比x；⑵用等級(jí)為B的學(xué)生占調(diào)查人數(shù)的比例乘全校學(xué)生總?cè)藬?shù)，即可估計(jì)全校等級(jí)為B的學(xué)生人

數(shù)；（3）先列表求出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再確定抽到一男一女的結(jié)果數(shù)，代入概率公式，即可求解.

解:⑴508%.

本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為

8+16%=50;

4+50=8%,即x=8%.

（2）500x而=200（名）,

即估計(jì)等級(jí)為B的學(xué)生有200名.

(3)根據(jù)題意，列表如下:

男1男2女1女2

男1（男2,男1）（女1.男1）（女2,男1）

男2（男1,男2）（女1,男2）（女2,男2）

女1（男1,女1）（男2.女1）（女2,女1）

女2（男1,女2）（男2.女2）（（女1,女2）

從表中可以看出，一共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到一名男生和一名女生的有8種情況，，P(恰好抽到一

名男生和一名女生-12=3-

-1

12.(1)300.30.4⑵略(3)2

(1)由頻率的定義即可求出a,b,c;(2)由(1)中a的值,即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖或列表求

出所有等可能的結(jié)果，再求出選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果數(shù)，利用概率公式，即可求解.

解:（l）a=150x0.2=30,

b=45-l50=0.3,

c=60-l50=0.4.

(3)解法一：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示,

開(kāi)始

女I女2女3男女2女3男女I女、男女1女2

由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有6種,

???選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率為=|

解法二：列表如表所示，

男女1女2女3

男—男、女1男、女2男、女3

女1女1、男—女1、女2女1、女3

女2女2、男女2、女1—女2、女3

女3女3、男女3、女1女3、女2—

由表知，共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的2名學(xué)生恰好為1名男生、1名女生的結(jié)果有6種，

???選出的2名學(xué)生恰好為1名男生、1名女生的概率為《

31

13.(1)5(2)8

(1)由頻率的定義計(jì)算；⑵根據(jù)題意，利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和所求結(jié)果數(shù)，利用

概率計(jì)算公式求解即可.

解：⑴摸出紅球的頻率為1=1.

(2)解法一：列表如下：

第二次

紅1紅2白黃

第一次

紅1紅紅)(組，組)紅，白)(紅“黃)

紅2（紅2紅）（紅2,紅2）（紅2,白）（紅2,黃）

白（白紅0（白，紅2）（白，白）（白，黃）

黃（黃，紅D（黃，紅2）（黃，白）（黃，黃）

由上表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中摸出一白一黃的結(jié)果有2種,

21

???P（摸出一白一黃）=布=至

解法二：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

白黃

紅?紅2白黃紅?紅:白黃紅再2白黃紅?紅e黃

由上圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中摸出一白一黃的結(jié)果有2種,

21

.?.P（摸出-白一黃）=^=8-

壓軸預(yù)測(cè)

1.C【解析】本題考查隨機(jī)事件的判斷.由題知，兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和最小為2,最大為12,結(jié)合

選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A,B,D均為不可能事件，只有選項(xiàng)C是隨機(jī)事件，故選C.

9

2.C【解析】本題考查隨機(jī)事件、概率和樹(shù)狀圖冽出樹(shù)狀圖可知兩次摸到黑球的概率為云，故選C.

3.0.9【解析】本題考查用頻率估計(jì)概率.從表中實(shí)驗(yàn)頻率可以看出，成活率在0.9周?chē)▌?dòng)，，這種樹(shù)苗成活

的概率約為0.9.

14_

4.3?9【解析】