2021-2025北京高考真題數(shù)學匯編

第五道解答題(第20題)

一、解答題

1.(2025北京高考真題)已知函數(shù)的定義域是(-1,+8),"0)=0,導函數(shù)尸(司=1，；;),設4是曲

線y=/⑴在點A(a,/(4))(。片0)處的切線.

⑴求廣(x)的最大值；

⑵當時，證明：除切點A外，曲線y=f(x)在直線《的上方；

(3)設過點A的直線4與直線《垂直，4，4與x軸交點的橫坐標分別是百，/，若”>0,求的

x2—x1

取值范圍.

2.(2024北京高考真題)設函數(shù)/(x)=x+Aln(l+x)(4/0),直線/是曲線y=f(x)在點(療數(shù)))(/>0)處

的切線.

⑴當上=—1時，求的單調(diào)區(qū)間.

⑵求證：/不經(jīng)過點(0,0).

(3)當左=1時，設點⑺)(r>0),C(o,/(?)),0(0,0),3為/與y軸的交點，5.與5.。分別表示

△ACO與ABO的面積.是否存在點A使得2s△ACO=15S“8O成立？若存在，這樣的點A有幾個？

(參考數(shù)據(jù):1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

3.(2023北京高考真題)設函數(shù)了。)=尤-尤%*,曲線>=/(尤)在點處的切線方程為y=r+l.

⑴求。力的值；

⑵設函數(shù)g(x)=f\x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求/(x)的極值點個數(shù).

4.(2022北京高考真題)已知函數(shù)/(x)=e」n(l+x).

(1)求曲線y=/(元)在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵設g。)=f\x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對任意的s,rw(0,+8),有/(s+r)>/(S)+/(，).

22

5.(2021北京高考真題)已知橢圓E:J+==l(a>b>0)一個頂點A(0,-2),以橢圓E的四個頂點為頂點

ab

的四邊形面積為4店.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點尸(0,-3)的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點3,C,直線48,AC分別與直線

>=-3交于點N,當1PM+IPNW15時，求左的取值范圍.

參考答案

1.⑴1

(2)證明見解析

【分析】(1)利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；

(2)求出直線4的方程，再構造函數(shù)/z(x),只需證明其最小值(或者下確界)大于零即可；

2a—JQ—x

(3)求出直線4的方程，即可由題意得到占,馬的表示，從而用字母。表示出-----二」，從而求出范圍.

￡(1+力-如(1+x)_l-ln(l+x)

【詳解】(1)設g(x)=/'(x)，g，a)=

(1+尤)(1+x)

由g'(x)=O可得x=e—l,當xe(-Le-l)時，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當xe(e—l,+<?)時，g/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以/'⑴的最大值為y(e-l)=L

(2)因為/5)=螞1+4,所以直線人的方程為丫_"4=皿@(>4，即

ln(l+a)

(X-Q)+/(Q),

設/z(x)=/(x)-+，〃⑺=、；：“)」，；：“)二=⑺-廣⑷，

由(1)可知,r(x)在xe(-Le-l)上單調(diào)遞增，而

所以，當時，h'(x)<0,//(“單調(diào)遞減，

當0>x>a時,〃(x)>0,可尤)單調(diào)遞增，且。'㈤<-(0)=0,

而當尤20時,r(x)=H)zo,所以總有尸(x)N尸(a),人(力單調(diào)遞增

故〃(x)、Ma),從而命題得證；

(3)解法一：由題意，直線/i：y=/'(a)(x-a)4/(a)，直線4：、=-775、(尤一。)V(a),

當x>0時，/⑺J，：：)>。,/(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增,

所以f(a)>f(O)=O"'(a)>O,

2a-[/(?)f(a)+a]--，([+.

所以

f{a}f\a)+a--y^+a

」r（a）T+i：h2

［-（叫［r（?）］2+i，

由⑴可得當。＞0時，r（a）e（0,：,

所以，（叫券2；

所以

%2—石e+1j

解法二:由尸（x）=ln1："可設/⑺J2（；+X）+C,又"0）=0,所以C=0,即〃x）=ln2（；+x）,

因為直線4的方程為丁=皿1+。）（*_句+11r（"）,易知。Wo,

1+tzv72

la

所以直線4的方程為y=^Ax-a)+1叫+G

ln(l+a)2

(l+〃)ln(l+a)In3(l+tz)

，x?~+a.

一'，22(l+tz)

(l+Q)ln(l+〃)In3(1+6Z)

所以24_/一々=22(1+a)=(1+°)2—叫1+°)

%-尤iIn'(1+a)+(l+a)ln(l+a)In?(l+a)+(l+a)~

2(l+a)+?T

In2(1+a)

1-------2~

=12/'+?_=：g2,2=_]+；~~由(1)矢口，當%＞。時，^(X)G(O,-],所以屋(Q)￡(0，l],

\n(1+a)1+g⑷1+g(〃)\/ev7e

(1+a)2

所以生二竺二受w三1?

x2-Xx

2.（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（-L0）,單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+s）.

（2）證明見解析

⑶2

【分析】（1）直接代入上=-1,再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可;

（2）寫出切線方程＞-/?）=1+￡

（一…,將（。,。）代入再設新函數(shù)?。?不，利用導

數(shù)研究其零點即可;

(3)分別與出面積表達式，代入2SACO=15sgo得到131n(1+r)-2，-15^—=(,再設新函數(shù)

A1+t

〃⑺=131n(l+f)-2”空。>0)研究其零點即可.

\+t

1Y

【詳解】(1)/(x)=x-ln(l+x)，r(x)-l---=-(%>-1),

1+尤1+x

當x?-l,0)時，/,(x)<0；當xe(O,+<x>),/,(x)>0；

f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+⑹上單調(diào)遞增.

則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-L0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+s).

(2)廣(x)=l+4,切線/的斜率為1+f,

則切線方程為y-/(?)=(1+占)(x-t\t>o),

將(0,0)代入則一/⑺=一(1+舍)JQ)=(1+舍),

4tt

即f+—n(l+/)=/+/——,則ln(l+，)=——,ln(l+0-----=0,

1+t1+t1+t

令/⑺=ln(l+/)-j

假設/過(0,0),則下⑺在re(o,田)存在零點.

F'⑴=￡_:1)=(1j)2>0'二尸⑺在(°，+8)上單調(diào)遞增，/。)>尸(0)=

."⑺在(0,+8)無零點，，與假設矛盾，故直線/不過(0,0).

1尤+2

(3)左=1時，/(x)=;r+ln(l+x),/'(x)=l+——=——>0.

1+X1+X

SAC。=："?)，設/與>軸交點8為(。，4)，

”0時，若4<°,貝I此時/與/(x)必有交點，與切線定義矛盾.

由(2)知力0.所以q>0,

則切線/的方程為yTTnU+lbll+W^x7),

令%=0,則y=q=y=\n(l+t)-----.

t+1

2SACO=15SABO,則細⑺=15rln(l+f)一占,

.?.13ta(l+/)-2z-15—=0,iBh(t)=13ln(l+?)-2r--(Z>0),

1+t1+t

滿足條件的A有幾個即h(t)有幾個零點.

1315_13/+13-2(產(chǎn)+2/+1)_15__2/+%一4_(-2'+1)”一4)

⑷"幣一—?+1)2=("if=?+1)2=("if’

當［時，〃?)<0,此時從/)單調(diào)遞減；

當此，,41時，此時力⑺單調(diào)遞增；

當優(yōu)(4,+8)時，〃'⑺<0,此時〃⑺單調(diào)遞減；

因為/7(0)=0,/7(；)0,/?(4)=131n5-2013xl.6-20=0.8>0,

/i(24)=131n25-48-——=261n5-48--<26x1.61-48——=-20.54<0,

2555

所以由零點存在性定理及飄f)的單調(diào)性，人⑺在［；，4)上必有一個零點，在(4,24)上必有一個零點,

綜上所述，〃⑺有兩個零點，即滿足2SAC°=15SAB。的A有兩個.

關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用的是反證法，轉化為研究函數(shù)零點問題.

3.(l)a=-l,ft=l

(2)答案見解析

⑶3個

【分析】(1)先對/(x)求導，利用導數(shù)的幾何意義得到/⑴=。，((1)=-1,從而得到關于。涉的方程

組，解之即可；

(2)由(1)得g(x)的解析式,從而求得g'(x),利用數(shù)軸穿根法求得g'(x)<0與g'(x)>0的解,由此求

得g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)結合(2)中結論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間(-哂0),(0,不)，(石,々)與(9,口)上

/'(尤)的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關系求得/■(%)的極值點個數(shù).

【詳解】(1)因為/(x)=x-Ve"+",xeR,所以尸(x)=l_(3f+&y,

因為/(x)在(1,/⑴)處的切線方程為＞=t+1,

所以〃i)=-1+1=0,r(i)=-i?

1-13xea+i,=0Q=-1

則,解得

l-（3+a）efl+6=-lb=l

所以a=-1]=1.

（2）由（1）得g（x）=f'（x）=l—（3x2_x3）eT"（xeR）,

則g'（x）=-x（尤2—6x+6）eT+i,

令6x+6=0,解得X=3±A/§\不妨設西=3—3，x2=3+y/3,貝！|0＜%＜工2，

易知e-前＞0恒成立，

所以令g'（x）＜0,解得。＜x＜±或x＞%;令g'（x）＞0,解得x＜0或為＜x＜Xj；

所以g（x）在（0,弱）,（孫+℃）上單調(diào)遞減,在（YO,0）,（國,工2）上單調(diào)遞增，

即g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3-6）和（3+6,+8）,單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,0）和（3-百,3+6）.

（3）由（1）得"x）=x-YeT+i（xeR）,f'（x）=l-（3x2-x3）ex+1,

由（2）知/（x）在（O,xJ,（々，內(nèi)）上單調(diào)遞減，在（―刀），（%,%）上單調(diào)遞增，

當x＜o時,r（-i）=i-4e2＜o,r（o）=i＞o,Bpr（-i）r（o）＜o

所以/'（%）在（F,。）上存在唯一零點，不妨設為尤3,則-

此時，當x＜w時，尸（力＜0,則單調(diào)遞減；當無3＜x＜0時，/（尤）＞0,則/（X）單調(diào)遞增；

所以在（—,0）上有一個極小值點；

當x?0,%）時,/'⑺在（O,xJ上單調(diào)遞減，

貝Uf（者）=尸（3—石）＜尸（1）=1一2＜0,故尸（0）尸（石）＜0,

所以「⑺在（0,%）上存在唯一零點，不妨設為乙，則0＜%＜玉，

此時，當0＜彳＜匕時，尸（無）＞0,則f（x）單調(diào)遞增；當％＜了＜網(wǎng)時，/（力＜。，則f（x）單調(diào)遞減；

所以“X）在（0,再）上有一個極大值點；

當xe（石,馬）時，/'（工）在a,9）上單調(diào)遞增，

則/（尤2）=「（3+6）＞廣⑶=1＞0,故廣（玉）廣伍）＜0,

所以廣（X）在（國,當）上存在唯一零點，不妨設為X5，則玉＜龍5＜/，

此時，當占＜苫＜三時，/（%）＜0,則“X）單調(diào)遞減；當X5＜x＜%時，r（x）＜0,則〃x）單調(diào)遞增;

所以“X）在（%,9）上有一個極小值點；

當x＞工2=3+＞/3＞3時，3x~—x3=x2（3—x）＜0,

所以7?'（x）=l-（3d-了3卜向＞0,則“X）單調(diào)遞增，

所以在（心口）上無極值點；

綜上：“X)在(-8,0)和(占,馬)上各有一個極小值點，在(。0)上有一個極大值點，共有3個極值點.

【點睛】關鍵點睛：本題第3小題的解題關鍵是判斷/(西)與/'(%)的正負情況，充分利用/'(x)的單調(diào)

性，尋找特殊點判斷即可得解.

4.⑴y=x

(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)證明見解析

【分析】(1)先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；

(3)令7〃0)=/。+。一/(勸，(x,r>0),即證m(x)>"z(0),由第二問結論可知機(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞

增，即得證.

【詳解】(1)解：因為/(x)=e1n(l+x),所以/(0)=0,

即切點坐標為(0,0),

又/'(尤)=e"(ln(l+x)+-^―),

1+X

切線斜率左=廣(0)=1

；?切線方程為：y=x

(2)解：因為g(x)=「(x)=e'(ln(l+x)+q),

1+X

21

所以…YM)+kE，

…?八、21

4^)=ln(l+x)+-

〃/、122X2+1

貝”h(x)=------------H-------=------->0,

1+x(1+x)2(1+x)3(1+X)3

???■%)在0+8)上單調(diào)遞增,

7z(x)>/z(0)=l>0

***g'(%)>。在［0,+00)上恒成立,

Jg(X)在。+8)上單調(diào)遞增.

(3)解：原不等式等價于"s+0—一/(0),

令皿%)=f(x+力一/(X),(羽，>0),

即證皿x)>相(0),

*.*m(x)=于(x+/)—/(x)=ex+tln(l+x+Z)-e%ln(l+x),

x+tx

mr(x)=&x+tln(l+x+t)-\---e------exln(l+x)---e---=g(x+/)—g(x),

1+x+t1+x

由(2)矢口g(x)=/'(%)=e"(ln(l+x)+j^-)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

g(%+，)>g(x),

m(x)>0

.,?加(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又因為x/>0,

m(x)>m(0),所以命題得證.

22

5.(1)—+^=1；(2)[-3,-l)u(l,3].

54

【分析】(1)根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍