方程與方程組

1.等式的兩邊同時加上(或減去)同一個所得結(jié)果仍是等式.

等式的兩邊同時乘(或除以)同一個所得結(jié)果仍是等式.

2.含有____的等式叫作方程.使方程左右兩邊的值相等的叫作方程的解.求方程的的過程叫作

解方程.只含有的方程叫作一元一次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為

解一元一次方程的一般步驟：

①________；②；③_________；?_________；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1.

3.只含有_____未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_________的整式方程叫作一元二次方程，其一般形式為—

.其中叫作二次項，叫作一次項，叫作常數(shù)項；叫作二次項的系數(shù)，

叫作一次項的系數(shù).

4.一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.(1)其中形如的一元二次方程

就可用直接開平方的方法.(2)用配方法解一元二次方程(ax?+bx+c=O(a/))的一般步驟:①化二次項系數(shù)__________

即方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；②使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；③

即方程兩邊________-次項系數(shù)一半的平方；④化原方程為的形式；⑤如果方程右邊是非負(fù)數(shù)，即

n>0,就可以用求出方程的解;如果n<0,則原方程________.⑶一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的求

根公式是.⑷因式分解法的一般步驟：①將方程的右邊化為；②將方程的左邊化成______的

乘積；③令_________都等于0,得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程

的解.

5.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a/))的根的判別式為.

2

(1)Q一元二次方程ax+bx+c=0(a/))有兩個的實數(shù)根，即x12=

(2)Q一元二次方程有______相等的實數(shù)根，即久1=9=.

(3)。一元二次方程ax2+bx+c=0(a知)實數(shù)根.

6.分母中含有_____的有理方程叫作分式方程.解分式方程的一般步驟：(1)去分母，在方程的兩邊都

乘__________約去分母，化成整式方程；⑵解這個__________；⑶驗根，把整式方程的根代入看結(jié)

果是不是零，使為零的根是原方程的增根，必須舍去.

7.共含有___________未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程組叫作二元一次方程組.使二元一次方程組

的,叫作二元一次方程組的解.消元是解二元一次方程組的基本思路，方法有_________消元法和

消元法兩種.

8.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟

（1）:透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，理清它們之間的關(guān)系;（2）:根據(jù)題意，

可采用，也可必須寫明單位，語言敘述要完整；（3）：根據(jù)題中給出的條件，用含

有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)；利用列代數(shù)式時沒有用過的等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程

的個數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)相同；（4）：應(yīng)注意解題技巧，準(zhǔn)確地求出方程或方程組的解；（5）:

解應(yīng)用題既要檢驗有無又要檢驗是否_________檢驗后作出符合題目要求的答案.

實戰(zhàn)演練

1.《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起

北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢?”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天

到南海.現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（）

4停+米=1

=1

C.（9-7）x=l

D.（9+7）x=l

2.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果

七，十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個苦果和甜果，其中四文錢可

以買苦果七個，十一文錢可以買甜果九個，問：苦、甜果各有幾個？設(shè)苦果有x個，甜果有y個，則可列方程組

為（）

(x+y=1000,

A411

［產(chǎn)+-9~y=999

[%+y=1000,

R79

+1^=999

(x+y=1000,

氣7%+9y=999

fx+y=100,

"14%+lly=999

3.某種商品原來每件售價為150元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為96元，設(shè)平均每次降價的百

分率為x,根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

A150（l-x2）=96

B.150（l-x）=96

C.150（l-x）2=96

D.150（1-2x）=96

21

4.分式方程［三=以的解是（）

A.x=lB.x=-l

C.x=3D.x=-3

5.某體育比賽的門票分A票和B票兩種,A票每張x元,B票每張y元.已知10張A票的總價與19張B

票的總價相差320元，則()

訪I=320

10y

B?扇1=320

C.|10x-19y|=320

D.|19x-10y|=320

6.幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮格.將9個數(shù)填入幻方的空格中，

要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖1就是一個幻方.圖2是一個未完成的幻

方，則x與y的和是（）

圖1圖2

A.9B.10

D.12

7.古埃及人的“紙草書”中記載了一個數(shù)學(xué)問題：一個數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全

部，加起來總共是33.若設(shè)這個數(shù)是x,則所列方程為（）

21

A.^x+產(chǎn)+久=33

211

B.^x+產(chǎn)+/=33

211

C.^x+/+產(chǎn)+%=33

211

D.X+/+yx~2X=33

8.若方程/_2%+爪=0沒有實數(shù)根，則m的值可以是（）

A.-1B.0

C.lD.A/3

9.用配方法解方程久2—6%+5=0,配方后所得的方程是（）

4（久+3/=—4

B.（x-3）2=-4

C.（x+3/=4

。.（尤一3）2=4

10.關(guān)于x的方程（x-l）（x+2）=p2（p為常數(shù)）的根的情況下列結(jié)論中正確的是（）

A.兩個正根B.兩個負(fù)根

C.一個正根，一個負(fù)根D.無實數(shù)根

11.國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加.2021年至2023年我國快遞業(yè)務(wù)收入由5000億

元增加到7500億元.設(shè)我國2021年至2023年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x,則可列方程為（

A.5000（1+2x）=7500

B.5000x2(l+x)=7500

C.5000(l+x)2=7500

D.5000+5000(l+x)+5000(l+x)2=7500

12.甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人所用時間與乙采樣14

0人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設(shè)甲每小時采樣x人，則可列分式方程為.

21

13方程^75=7的解為-

14.關(guān)于x的一元二次方程.％2+2x+t=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的值為.

15.若關(guān)于x的分式方程二！==+2的解為正數(shù)，則m的取值范圍是.

16.若關(guān)于x的分式方程白=￡^+1有增根，則m=.

17.解方程組：=①②

18.某班去革命老區(qū)研學(xué)旅行，研學(xué)基地有甲乙兩種快餐可供選擇，買1份甲種快餐和2份乙種快餐共需70

元，買2份甲種快餐和3份乙種快餐共需120元.買一份甲種快餐和一份乙種快餐各需多少元？

19.某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計劃由八年級⑴班的4個小組制作360面彩旗，后因1個小組另有任

務(wù)，其余3個小組的每名學(xué)生要比原計劃多做3面彩旗才能完成任務(wù).如果這4個小組的人數(shù)相等，那么每個小組

有學(xué)生多少名?

20.已知關(guān)于x的一元二次方程比2+3x+k-2=。有實數(shù)根.

（1）求實數(shù)k的取值范圍.

（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為xi,X2,若（支1+1）（打+1）=-1,求k的值.

____x—13

21.斛方程：中—-=1，

22.2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈

出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65,求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）.

回qv]<v|>

H一二三四五六

I23

“竟節(jié)

45678910

壓軸預(yù)測

1.《張丘建算經(jīng)》中有這樣一首古詩：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正當(dāng)；乙說得

甲九只，兩人羊數(shù)一樣；問甲乙各幾羊，讓你算個半晌.如果設(shè)甲有羊X只，乙有羊y只，那么可列方程組(

)

.(x+9=2(y-9),

氣y+9=x

fx+9=2(y-9),

氣y+9=x—9

f%+9=2y,

+9=x-9

(x+9=2y,

y+9=x

2.關(guān)于x的方程雙x--l尸3(x??l),下列解法完全正確的是()

A.兩邊同時除以(x-1)得,x=3

—24±-\/28,—

B.S?#,.x2-4x=-3,va=l,b=-4,c=-3,fo-4ac=28,x==2±,7

222

C.整理得，X-4X=一3酒己方得，x-4x+2=-1,(x-2)=-1,x-2=±1,.1-=l,x2=3

D.移項得,(x-3)(x—l)=0,.,.x-3=0或x—1=0,.,.XI=3,X2=1

3.若關(guān)于x的一元二次方程叱+(4k-l)x+3k--l=0的解都是整數(shù)，則正整數(shù)k的值為.

4.受豬瘟疫情的影響,2023年豬肉價格不斷走高，據(jù)統(tǒng)計2023年9月1日豬肉價格比2023年年初上漲了60

%,某市民2023年9月1日在某超市購買1千克豬肉花了80元錢.

(1)2023年年初豬肉的價格為每千克多少元？

(2)某超市將進(jìn)貨價為每千克65元的豬肉，按9月1日的價格出售，平均一天能銷售出100千克，經(jīng)調(diào)查表

明豬肉的售價每千克下降1元，其日銷售量就增加10千克，超市為了實現(xiàn)銷售豬肉每天有1560元的利潤，并且

能讓顧客得到實惠，豬肉的售價應(yīng)該下降多少元?

參考答案

I.數(shù)或整式不為0的數(shù)或整式

2.未知數(shù)未知數(shù)的值解未知數(shù)次數(shù)都是1ax+b=O(a加)①去分母②去括號③移項④合并同類項

3.—2ax2+bx+c=O(a^O)ax2bxcab

4.(l)(x+a)2=b

⑵①為1②移項③配方同時加上

?(X+ay=n⑤直接開平方法無解

/、-b+Jb2-4ac72\

(3)%12=---------(b—4ac>0)

(4)①0②兩個因式③這兩個因式

5.△=b2-4ac

—b+Jb2-4ac

(1)〃一4ac>0不相等—

(2)b2-4ac=0兩個一(

⑶知―4ac<0沒有

6.未知數(shù)

(1)最簡公分母

(2)整式方程

(3)最簡公分母最簡公分母

7.兩個兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值代入加減

8.(1)審題

(2)設(shè)未知數(shù)直接設(shè)未知數(shù)間接設(shè)未知數(shù)

(3)列代數(shù)式和方程

(4)解方程或方程組

⑸檢驗，作答增根符合題意

1.A【解析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意得1產(chǎn)+1/=1,即/I0+1§\卜=1,故選A.

(x+y=1000,

2.A【解析】本題考查根據(jù)實際問題列二元一次方程組.根據(jù)題意，所列方程組為,+5=999,故選A.

3.C【解析】本題考查根據(jù)實際問題列一元二次方程.由題知，第一次降價后每件售價為150(l-x)元，第二

次降價后每件售價為150(l-x)2元,所以可列方程150(1-無＞=96,故選C.

4.D【解析】本題考查解分式方程.等號兩邊同乘x(x-3\得2x=x-3,移項并合并同類項得x=3檢驗:當(dāng)x=-3時

,x(x-3尸18邦，故x=-3是原分式方程的解，故選D.

5.C【解析】本題考查由實際問題列二元一次方程.由題意得|10x-19y|=320,故選C.

6.D

7.C【解析】本題考查根據(jù)實際問題列一元一次方程、數(shù)學(xué)文化.若設(shè)這個數(shù)是x,則這個數(shù)的三分之二是

2112

科,這個數(shù)的一半是講,這個數(shù)的七分之一是產(chǎn)，這個數(shù)的全部就是X,根據(jù)“加起來總共是33”可列得方程/+

：%+；%+%=33,故選C.

8.D【解析】本題考查一元二次方程根的判別式、不等式的解.由題意可知，方程％2—2%+血=0沒有實數(shù)

根，.即((-2)2-4爪＜0,解得m＞l,結(jié)合各選項知，m的值可以是畫故選D.

9.D【解析】本題考查對一元二次方程進(jìn)行配方.已知方程%2-6%+5=?？勺冃螢?2-6%=-5,兩邊同時加

上9,得x2-6x+9=4,即(x-3)2=4,.?.將方程x2-6x+5=0配方后得((%-3)2=4,,故選D.

將二次三項式進(jìn)行配方，如果是一元二次方程，則在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方；如果是二

次函數(shù)，則在函數(shù)式中加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去一次項系數(shù)一半的平方，這就是等式和代數(shù)式進(jìn)行配

方的區(qū)別，要注意不能弄錯.

10.C【解析】本題考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系.原方程可化為

_2_2

222

X+x-2-p=0,I-4(-2-p2)=9+4p2>0,???xr-x2=—p-<,.方程有一^個正根,~個負(fù)根,故選C.

11.C

12??=黑【解析】本題考查根據(jù)實際問題列分式方程.根據(jù)題意，甲每小時采樣x人，則乙每小時采樣(x

—10)人，.??甲采樣160人所用時間為岑小時，乙采樣140人所用時間為1小時，;可列分式方程為芋=提.

13.x=5【解析】本題考查解分式方程.將方程搐=:的等號兩邊同時乘公分母x(x+5),得2x=x+5,移項并合

并同類項彳導(dǎo)x=5檢驗:當(dāng)x=5時,x(x+5)邦，所以x=5是原分式方程的解.

14.1【解析】本題考查一元二次方程根的判別式.依題意，△=22-4xlxt=0,,解得t=l.

15.m<-2且n#-3【解析】本題考查分式方程的解法.去分母得3x=-m+2(x-l),去括號得3x=-m+2x-2,移項得3x-

2x=-m-2,合并同類項得x=-m-2.因為原分式方程的解為正數(shù)，所以「有孑之：］。'解得m<-2且m齊3.

16.3【解析】本題考查分式方程的增根.將分式方程化為整式方程得3x=m+3+(x-2),解得x=耍.

義?,關(guān)于x的分式方程會=+1有增根，即x-2=0,解得x=2,=2,解得m=3.

分式方程的增根就是使分式的最簡公分母為零的未知數(shù)的值.解決此類問題的步驟：①化分式方程為整式方

程；②讓最簡公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相關(guān)字母的值.

17.｛鴻

解:①+②得3x=9,

x=3.

將x=3代入②彳導(dǎo)3+y=6,

y=3.

所以原方程組的解為［yZl：

18.3020

解：設(shè)買一份甲種快餐需x元，買一份乙種快餐需y元,

依題意得QMiM%

解得

答：買一份甲種快餐需30元，一份乙種快餐需20元.

19.10

解：設(shè)每個小組有學(xué)生x名，

根據(jù)題意得震-瑞=3,

解得x=10.

經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解.

答：每個小組有學(xué)生10名.

.、17

2O.(l)fc<^(2)3

(1)由aK)列不等式求解即可；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先表示出均+外和XIX2,再代入所給式子，列方程即可

求得k的值.

解：(1)；一元二次方程久2+3久+k-2=0有實數(shù)根，.?.△汕

△=32—4(k—2)=-4k+17>0.

17

解得/C<T.

(2)方程的兩個實數(shù)根分別為X1,X2,

???%1+%2=—3,%1汽2—k—2.

???(%i+1)(%2+1)=Xi%2+Ui+%2)+1-

...k-2-3+l=-l,

解得,k=3.

1

21.-2

將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可，最后檢驗整式方程的解是否為分式方程的根即可.

解:(X-1)2-3=X2-1.

%2—2.x+1—3=%2—1,

-2x=l.

1

x=一，.

經(jīng)檢驗X=是原方程的根.

22.5

根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)x,利用等量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解，選取符合題意的未知數(shù)的

值，即為最小數(shù).

解：設(shè)這個最小數(shù)為X.

根據(jù)題意，得x(x+8)=65.

解，得久1=5加=-13(不符合題意，舍去).

答：這個最小數(shù)為5.