第一章信息安全概述有限域上的橢圓曲線計算機系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)安全技術(shù)有限域上橢圓曲線：y2

x3+ax+bmodpp是奇素數(shù),且4a3+27b2

0modp（構(gòu)成Abel群的條件，證明過程略）y2+xy

x3+ax2+bmod2m(Galois域的橢圓曲線）有限域上的橢圓曲線含義有限域上的橢圓曲線信息安全概述（3）加法公式:P=(xp,yp),Q=(xQ,yQ)若xP=xQ且yP=-yQ則P+Q=O否則P+Q=(xR,yR)xR=

2-xP-xQyR=

(xP-xR)-yP其中

=(yQ-yP)/(xQ-xP),如果P

Q=(3xP2+a)/（2yP），如果P=Q（1）P+O=P（2）P=(x,y)P＋(x,-y)=O其中（x,-y)是P的負(fù)元－P(4)重復(fù)相加：nP=P+…+P按照上述定義構(gòu)成了一個橢圓曲線上的Abel群橢圓曲線的運算規(guī)則有限域上的橢圓曲線信息安全概述示例：有限域上橢圓曲線

y2

x3+ax+bmodp條件：a=1,b=1,x=9,y=7,p=23y2

=x3+ax+b=(93+9+1)mod23=3橢圓曲線的運算規(guī)則有限域上的橢圓曲線信息安全概述示例：有限域上橢圓曲線

y2

x3+ax+bmodp條件：a=1,b=1,x=9,y=7,p=23問題：求滿足上述方程的所有整數(shù)對（x，y）以及無窮遠(yuǎn)點O組成的集合Ep（a，b）＝E23（1，1）？橢圓曲線的運算規(guī)則有限域上的橢圓曲線信息安全概述橢圓曲線的運算規(guī)則E23（1，1）(0,1)(6,4)(12,19)(0,22)(6,19)(13,7)(1,7)(7,11)(13,16)(1,16)(7,12)(17,3)(3,10)(9,7)(17,20)(3,13)(9,16)(18,3)(4,0)(11,3)(18,20)(5,4)(11,20)(19,5)(5,19)(12,4)(19,18)有限域上的橢圓曲線信息安全概述橢圓曲線的運算規(guī)則E23（1，1）(0,1)(6,4)(12,19)(0,22)(6,19)(13,7)(1,7)(7,11)(13,16)(1,16)(7,12)(17,3)(3,10)(9,7)(17,20)(3,13)(9,16)(18,3)(4,0)(11,3)(18,20)(5,4)(11,20)(19,5)(5,19)(12,4)(19,18)1）P＝（0，1），P+O＝（0，1）2）P＝（13，7）

-P=（13，-7）=(13,16)3）P＝（3，10），Q＝（9，7）

P+Q=(17,20)4）P＝（3，10）

2P=(7,12)有限域上的橢圓曲線信息安全概述橢圓曲線的運算規(guī)則P＋Q計算過程：x3=

2-x1-x2y3=

(x1-x3)-y1其中

=(y2-y1)/(x2-x1),如果PQ=(3x12+a)/2y1,如果P=Q有限域上的橢圓曲線信息安全概述有限域上橢圓曲線y2+xy

x3+ax2+bmod2m(Galois域的橢圓曲線）（3）加法公式:P=(xP,yP),Q=(xQ,yQ),且P≠-Q,P≠Q(mào)則P+Q=(xR,yR)xR=

2+

+xP+xQ+ayR=

(xP+xR)+xR+yP其中

=(yQ+yP)/(xQ+xP)（1）P+O=P（2）P=(x,y)P＋(x,-y)=O其中（x,-y)是P的負(fù)元－P(4)若P=(xP,yP),則R＝2P=(xr,yr)其中：xR=

2+

+ayR