tan(α+β)=

,

tan(α-β)=

.5.5三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)1

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式知識(shí)清單破5.5.1

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosα.cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1.tan2α=

.知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)辨析1.和(差)角公式與誘導(dǎo)公式有何聯(lián)系?2.能否用兩角和的余弦公式計(jì)算cos75°?3.二倍角公式中“倍角”僅指2α與α的關(guān)系嗎?一語(yǔ)破的1.和(差)角公式是誘導(dǎo)公式的推廣,誘導(dǎo)公式是和(差)角公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-

cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.當(dāng)α或β中有一個(gè)角是

的整數(shù)倍時(shí),通常使用誘導(dǎo)公式較為方便.2.能.cos75°=cos(30°+45°)=cos30°·cos45°-sin30°sin45°=

×

-

×

=

.3.不是.2α與α,4α與2α,α+β與

等均是二倍角關(guān)系.定點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.給角求值此類題目涉及兩角和與差公式的正用和逆用:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ即為正用,可利用

特殊角的三角函數(shù)求非特殊角的三角函數(shù);sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)即為逆用,公式的逆

用是三角函數(shù)式變形的重要手段,有時(shí)還需把三角函數(shù)式中的系數(shù)

,

,

等視為某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值,從而將常數(shù)換為三角函數(shù)使用.2.給值求值解決給值求值的問(wèn)題時(shí),應(yīng)先分析已知角與所求角間的關(guān)系,再考慮三角函數(shù)名稱的聯(lián)

系,最后選擇合適的公式求值.解題關(guān)鍵是將所求角用已知角表示出來(lái),即角的代換.常見的角的代換的形式:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=

[(α+β)+(α-β)]=

[(α+β)-(β-α)],

=

-

,α+β=(2α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等.3.給值求角解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值,而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所

求角的范圍來(lái)確定,最好是角的取值范圍在該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi).當(dāng)所求角的范圍是(0,π)或

(π,2π)時(shí),一般求余弦值;當(dāng)所求角的范圍是

或

時(shí),一般求正弦值.典例(1)計(jì)算

;(2)已知cos(2α-β)=-

,sin(α-2β)=

,且

<α<

,0<β<

,求cos(α+β)的值;(3)已知sinα=

,sinβ=

,且α和β均為鈍角,求α+β的值.解析

(1)原式=

=

=

=

=

.(2)∵cos(2α-β)=-

,sin(α-2β)=

,且

<α<

,0<β<

,∴2α-β∈

,α-2β∈

,∴sin(2α-β)=

,cos(α-2β)=

,∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-

×

+

×

=0.(3)∵α和β均為鈍角,sinα=

,sinβ=

,∴cosα=-

=-

,cosβ=-

=-

.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

×

-

×

=

.由α和β均為鈍角,得π<α+β<2π,∴α+β=

.

兩角和與差的正切公式的應(yīng)用?1.常值代換在應(yīng)用兩角和與差的正切公式時(shí),若出現(xiàn)1,

等常值,則常利用1=tan

,

=tan

等來(lái)代換,以達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的.2.整體意識(shí)若化簡(jiǎn)的式子中出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個(gè)整體,則利用兩角和與差的

正切公式的變形公式:①tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ),②1?tanα·tanβ=

求解.定點(diǎn)2典例(1)已知θ是第二象限角,sin

=

,則tanθ=

(

)A.-

B.-

C.-

D.-7(2)計(jì)算:tan23°+tan37°+

tan23°tan37°=

.D解析

(1)解法一:因?yàn)棣仁堑诙笙藿?sin

=

,所以θ+

∈

+2kπ,π+2kπ

,k∈Z,所以cos

=-

=-

,所以tan

=

=-

,所以

=-

,即

=-

,解得tanθ=-7,故選D.解法二:同解法一得tan

=-

,所以tanθ=tan

=

=-7,故選D.(2)因?yàn)閠an(23°+37°)=

=

,所以tan23°+tan37°=

-

tan23°·tan37°,所以tan23°+tan37°+

tan23°·tan37°=

.

利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值1.二倍角公式的逆用2sinαcosα=sin2α,cos2α-sin2α=cos2α,1-2sin2α=cos2α,2cos2α-1=cos2α,

=tan2α.2.二倍角公式的有關(guān)變形(1)1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(2)升冪公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)降冪公式:cos2α=

(1+cos2α);sin2α=

(1-cos2α).(4)sin2α=

=

,cos2α=

=

.定點(diǎn)3典例1若cos

=

,

≤α<

,求cos

的值.思路點(diǎn)撥

根據(jù)2α+

=2

-

,運(yùn)用兩角差的余弦公式、二倍角公式求值.解析

∵

≤α<

,∴

≤α+

<

.∵cos

=

>0,∴

<α+

<

,∴sin

=-

=-

=-

,因此,cos

=cos

=

cos

+

sin

=

+

×2sin

α+

·cos

=

×

+

×2×

×

=-

.典例2化簡(jiǎn)下列各式: