3.1.3兩角和與差的正切學(xué)習(xí)目標1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明.3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用.知識點一兩角和與差的正切思考1怎樣由兩角和的正弦、余弦公式得到兩角和的正切公式？思考2由兩角和的正切公式如何得到兩角差的正切公式？梳理兩角和與差的正切公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切Tα＋βtan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切Tα－βtan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)知識點二兩角和與差的正切公式的變形(1)Tα＋β的變形：tanα＋tanβ＝______________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝__________.tanαtanβ＝____________________.(2)Tα－β的變形：tanα－tanβ＝____________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝________.tanαtanβ＝__________________.類型一正切公式的正用例1(1)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝eq\f(1,7)，則tanβ的值為________.(2)已知α，β均為銳角，tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，則α＋β＝______.反思與感悟(1)注意用已知角來表示未知角.(2)利用公式T(α＋β)求角的步驟：①計算待求角的正切值.②縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息.③根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角.跟蹤訓(xùn)練1已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.類型二正切公式的逆用例2(1)eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝________；(2)eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________.反思與感悟注意正切公式的結(jié)構(gòu)特征，遇到兩角正切的和與差，構(gòu)造成與公式一致的形式，當(dāng)式子出現(xiàn)eq\f(\r(3),3)，1，eq\r(3)這些特殊角的三角函數(shù)值時，往往是“由值變角”的提示.跟蹤訓(xùn)練2求下列各式的值.(1)eq\f(cos75°－sin75°,cos75°＋sin75°)；(2)eq\f(1－tan27°tan33°,tan27°＋tan33°).類型三正切公式的變形使用例3(1)化簡：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°；(2)若銳角α，β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，求α＋β的值.反思與感悟兩角和與差的正切公式有兩種變形形式：①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)或②1?tanα·tanβ＝eq\f(tanα±tanβ,tanα±β).當(dāng)α±β為特殊角時，?？紤]使用變形形式①，遇到1與正切的乘積的和(或差)時常用變形形式②.合理選用公式解題能起到快速、簡捷的效果.跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，A＋B≠eq\f(π,2)，且tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，則角C的值為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)1.若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，則tan(α－β)等于()A.eq\f(1,3)B.－eq\f(1,3)C.3D.－32.已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)\r()－α))等于()A.－eq\f(1,7) B.－7C.eq\f(1,7) D.73.已知A＋B＝45°，則(1＋tanA)(1＋tanB)的值為()A.1B.2C.－2D.不確定4.已知A，B都是銳角，且tanA＝eq\f(1,3)，sinB＝eq\f(\r(5),5)，則A＋B＝________.5.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝3，tan(α－β)＝2，則tan(β－2α)＝________.1.公式Tα±β的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律(1)公式Tα±β的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和.(2)符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.2.應(yīng)用公式Tα±β時要注意的問題(1)公式的適用范圍由正切函數(shù)的定義可知，α、β、α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).(2)公式的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)等.特別要注意tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，tan(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα).(3)公式的變形應(yīng)用只要用到tanα±tanβ，tanαtanβ時，有靈活應(yīng)用公式Tα±β的意識，就不難想到解題思路.特別提醒：tanα＋tanβ，tanαtanβ，容易與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系，應(yīng)注意此類題型.

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．思考2用－β替換tan(α＋β)中的β即可得到．知識點二(1)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α＋β)1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)(2)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α－β)eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1題型探究例1(1)3(2)eq\f(π,4)跟蹤訓(xùn)練1－eq\f(4,3)例2(1)eq\r(3)(2)－1跟蹤訓(xùn)練2解(1)原式＝eq\f(1－tan75°,1＋tan75°)＝eq\f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).(2)原式＝eq\f(1,tan27°＋33°)＝eq\f(1,tan60°)＝eq\f(\r(3),3).例3解(1)tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°·tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°·tan37°＝eq\r(3).(2)∵(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝1＋eq\r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanα