試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024~2025學(xué)年上海金山區(qū)上海市金山中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)2．若直線與直線垂直，則．3．不等式的解集為．4．已知為單位向量，，則的夾角為．5．從高三某班抽取名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?，，，，，，，，，（單位：分），則這名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)是．6．底面半徑為2的圓柱的側(cè)面積是圓柱表面積的，則該圓柱的高為7．已知點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為，則的值為.8．設(shè)由復(fù)數(shù)組成的數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有（是虛數(shù)單位），則數(shù)列的前項(xiàng)的和為．9．《紅樓夢(mèng)》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋順序共有種.10．已知，且，則的最小值為．11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且，則不等式的解集是.12．已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值是．二、選擇題13．若，是不相同的直線，是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則14．等軸雙曲線C過點(diǎn)，則雙曲線C的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為（

）A． B．2 C． D．15．已知，則（）A． B． C． D．016．已知，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對(duì)于正整數(shù)有如下兩個(gè)命題：甲：；乙：恒成立；則（

）A．甲正確，乙正確B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確D．甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤三、解答題17．在四棱錐中，底面為梯形，，，，，四棱錐的體積為4.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）18．已知函數(shù)，，，，它們的最小正周期為.（1）若是奇函數(shù)，求和在上的公共減區(qū)間D；（2）若的一個(gè)零點(diǎn)為，求的最大值.19．為大力弘揚(yáng)中華民族尊老、敬老、愛老的傳統(tǒng)美德，某醫(yī)院從，兩個(gè)科室的志愿者中隨機(jī)抽調(diào)4人為某社區(qū)養(yǎng)老院的老人進(jìn)行“免費(fèi)健康體檢”活動(dòng)，已知，兩個(gè)科室中的志愿者分布如下：

類別科室志愿者醫(yī)生護(hù)士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名醫(yī)生，且這2名醫(yī)生恰好來自同一科室的概率；(2)設(shè)為選出的4人中醫(yī)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．已知橢圓的長(zhǎng)軸為，橢圓的離心率，左右焦點(diǎn)分別記作、，且，過、分別作直線、交橢圓于、（在軸上方），且；(1)求此橢圓方程．(2)當(dāng)直線的斜率與直線的斜率都存在時(shí)，求證：為定值．(3)求四邊形面積的最大值．21．已知函數(shù)，若點(diǎn)是函數(shù)的圖像的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，則點(diǎn)是函數(shù)的“特征點(diǎn)”，記的所有“特征點(diǎn)”的集合為；(1)若，求；(2)若，求證：函數(shù)的所有“特征點(diǎn)”在一條定直線上，并求出這條直線的方程；(3)若，記函數(shù)的所有點(diǎn)組成的集合為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．0，2【分析】利用子集的定義即可求出的值.【詳解】集合，，若，則且，所以或，故答案為：0，2【點(diǎn)睛】本題主要考查了子集的定義，涉及元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.2．【分析】討論直線斜率存在與否，再根據(jù)直線垂直的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題知，斜率為，若，則，，不垂直；若，則，，不垂直；若，則斜率為，所以，解得.故答案為：3．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出不等式的解集.【詳解】由不等式，得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：4．【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)闉閱挝幌蛄?，，所以，所以，因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?．【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義可求.【詳解】解：因?yàn)?，所以這名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)是，故答案為：.6．2【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)圓柱的母線為l，底面半徑為r=2，高為h，因?yàn)榈酌姘霃綖?的圓柱的側(cè)面積是圓柱表面積的，所以，解得，即，故答案為：27．##0.125【分析】根據(jù)拋物線定義把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，列出關(guān)于的方程，解方程即可解.【詳解】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由在拋物線上且點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為，得解得.故答案為：.8．【分析】由數(shù)列的前n項(xiàng)和具有周期性，且周期為4.【詳解】由已知，得，所以，，，,,所以，，，依次類推，所以數(shù)列具有周期性，且周期為4，且..得.故答案為：.9．【分析】利用捆綁法結(jié)合倍縮法可得出不同的下鍋順序種數(shù).【詳解】根據(jù)題意，將香菌、新筍、豆腐干三種原料進(jìn)行捆綁，且這三種原料無(wú)順序，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，所以，不同的下鍋順序種數(shù)為種.故答案為：.10．4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．【分析】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在上單調(diào)性，解不等式可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減；不等式等價(jià)于，即，因?yàn)?，所以，所以，即，解?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用題干信息構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性；將不等式轉(zhuǎn)換為比較函數(shù)值大小問題，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得結(jié)果.12．【分析】設(shè)，由題意可得可得點(diǎn)圓上，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得兩點(diǎn)重合，則，點(diǎn)到直線和的距離之和的倍，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到直線和點(diǎn)的最值問題即可得解.【詳解】設(shè)，由，可得點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，，所以，所以，所以兩點(diǎn)重合，故，則，表示，點(diǎn)到直線的距離的倍，表示，點(diǎn)到直線的距離的倍，故表示點(diǎn)到直線和的距離之和的倍，設(shè)直線和的交點(diǎn)為，則，設(shè)點(diǎn)到直線和的距離分別為，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，而，所以，此時(shí)，，所以的最大值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，數(shù)形結(jié)合，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值.13．D【分析】根據(jù)平面內(nèi)直線、平面平行的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，可能相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，可能異面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，可能相交，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，D正確.故選：D.14．C【分析】由題意，先求出等軸雙曲線的方程，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)等軸雙曲線方程為，代入點(diǎn)，可得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：C．15．B【分析】令得，則，利用二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】令得，則，則有，所以，，所以令有，所以，故選：B.16．A【分析】將函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象判斷命題甲，結(jié)合函數(shù)圖象利用兩點(diǎn)間距離的變化來判斷命題乙.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，令，得，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：

由圖象可知，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則，所以命題甲正確；表示兩點(diǎn)與間距離，由圖象可知，隨著n的增大，兩點(diǎn)間距離越來越近，即恒成立，故乙命題正確；故選：A.17．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件可證，再結(jié)合，即可得證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，證明平面，作出PC與平面ABCD所成角，通過解直角三角形，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，，又，所以，∵，，面，∴平面；（2）如圖，作的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，∴，，.由（1）平面，故，又，，面，所以平面，即為四棱錐的高，為與平面所成，.由四棱錐的體積為4，可得：，解得，在中，，在中，，，所以與平面所成角為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的證明，考查求線面角，求線面角要體現(xiàn)“作、證、算”三步驟，考查邏輯思維能力和空間想象能力，考查計(jì)算能力，屬于常考題.18．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)周期求，根據(jù)是奇函數(shù)求，然后再分別求函數(shù)和在上減區(qū)間，兩個(gè)減區(qū)間求交集即為公共減區(qū)間.（2）把零點(diǎn)代入函數(shù)的解析式求，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求最大值.【詳解】（1）由，得，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且，所以，所以，，在上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以.（2），把點(diǎn)代入得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取最大值，即.19．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式即可求解；（2）分析可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）由已知，恰好有2名醫(yī)生的情況包含這2名醫(yī)生都來自A科室和都來自B科室，有種情況，從11人中抽4人有種情況，所以所求的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為、、、、，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以.20．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）與轉(zhuǎn)換成關(guān)于，，的方程，解方程即可.（2）設(shè)，代入橢圓方程中，作差即可得到結(jié)論.（3）利用四邊形為平行四邊形，把四邊形面積轉(zhuǎn)化成面積的2倍，然后設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)而不求，把的面積表示成關(guān)于的函數(shù)，換元，利用基本不等式求出函數(shù)最值.【詳解】（1）設(shè)，，，得到；又因?yàn)椋?，，．即橢圓方程為．（2）設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱性，有，因?yàn)?，都在橢圓上，所以，，二式相減得，，所以為定值．（3）由題意得，直線的傾斜角不為，由對(duì)稱性得四邊形為平行四邊形，，，設(shè)直線的方程為，代入，得．顯然，，．所以，設(shè)，所以，．所以．當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以．所以平行四邊形面積的最大值為．

21．(1)；(2)證明見解析，(3)【分析】（1）假設(shè)存在，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出矛盾即可判斷；（2）設(shè)“特征點(diǎn)”是在和處的切線的交點(diǎn)，求出切線方程，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由切線互相垂直求出，即可得解；（3）依題意不存在圖象上的點(diǎn)，使得該點(diǎn)是“特征點(diǎn)”，先利用反證法證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若圖象上的點(diǎn)是“特征點(diǎn)”，則該點(diǎn)本身一定是切點(diǎn)，假設(shè)，，處切線互相垂直，不妨令是兩條切線的交點(diǎn)，即可得方程對(duì)無(wú)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）假設(shè)存在“特征點(diǎn)”，則存在兩條互相垂直的切線，設(shè)為和處的切線，因?yàn)?，所以，所以不存在“特征點(diǎn)”，所以.（2）設(shè)“特征點(diǎn)”是在和處的切線的交點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以在和處的切線方程為，，聯(lián)立解得，即，因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以，所以，所以的所有“特征點(diǎn)”在一條定直線上.（3）因?yàn)?，所以由題意可知不存在圖象上的點(diǎn)，使得該點(diǎn)是“特征點(diǎn)”，先證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若圖象上的點(diǎn)是“特征點(diǎn)”