中學(xué)數(shù)學(xué)典型試題解析一、引言函數(shù)最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，貫穿于一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是中考及各類競(jìng)賽的高頻考點(diǎn)。解決最值問(wèn)題不僅需要扎實(shí)的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，還需要掌握分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法。本文將通過(guò)三個(gè)典型題型的解析，梳理最值問(wèn)題的解題思路，揭示常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)，提升學(xué)生的解題能力。二、典型題型解析（一）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值——分類討論是關(guān)鍵例1求函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,a]\)（\(a>0\)）上的最大值與最小值。解題思路二次函數(shù)的最值由開(kāi)口方向和對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系決定。函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)開(kāi)口向上（二次項(xiàng)系數(shù)為正），對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}=1\)。需根據(jù)對(duì)稱軸\(x=1\)與區(qū)間\([0,a]\)的位置關(guān)系，分三類討論：1.當(dāng)\(0<a<1\)時(shí)，對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，函數(shù)在\([0,a]\)上單調(diào)遞減；2.當(dāng)\(1\leqa\leq2\)時(shí)，對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)在\([0,1]\)單調(diào)遞減，在\([1,a]\)單調(diào)遞增；3.當(dāng)\(a>2\)時(shí)，對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，函數(shù)在\([0,1]\)單調(diào)遞減，在\([1,a]\)單調(diào)遞增。詳細(xì)解答1.當(dāng)\(0<a<1\)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞減，故最大值為\(f(0)=3\)，最小值為\(f(a)=a^2-2a+3\)。2.當(dāng)\(1\leqa\leq2\)時(shí)：頂點(diǎn)\(x=1\)在區(qū)間內(nèi)，最小值為\(f(1)=2\)；比較區(qū)間端點(diǎn)值，\(f(0)=3\)，\(f(a)=a^2-2a+3\)（當(dāng)\(a\leq2\)時(shí)，\(f(a)\leqf(2)=3\)），故最大值為\(f(0)=3\)。3.當(dāng)\(a>2\)時(shí)：頂點(diǎn)\(x=1\)在區(qū)間內(nèi)，最小值為\(f(1)=2\)；函數(shù)在\([1,a]\)單調(diào)遞增，故最大值為\(f(a)=a^2-2a+3\)。**易錯(cuò)點(diǎn)提醒**忽略對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系：若直接代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)求最值，可能導(dǎo)致錯(cuò)誤。例如，函數(shù)\(f(x)=-x^2+2x+3\)（開(kāi)口向下，對(duì)稱軸\(x=1\)）在區(qū)間\([0,1.5]\)上的最大值，若直接代入端點(diǎn)\(x=0\)（\(f(0)=3\)）和\(x=1.5\)（\(f(1.5)=3.75\)），會(huì)誤以為最大值是\(3.75\)，但實(shí)際上頂點(diǎn)\(x=1\)處的\(f(1)=4\)才是最大值。結(jié)論：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值必在頂點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得，需通過(guò)分類討論確定。（二）利用均值不等式求最值——“正、定、等”條件不可少例2求函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x-1}\)（\(x>1\)）的最小值。解題思路均值不等式（算術(shù)-幾何均值不等式）的形式為：對(duì)于正數(shù)\(a_1,a_2,\dots,a_n\)，有\(zhòng)(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\dotsa_n}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a_1=a_2=\dots=a_n\)時(shí)取等號(hào)。應(yīng)用均值不等式需滿足三個(gè)條件：正（變量為正）、定（和或積為定值）、等（等號(hào)能成立）。本題中\(zhòng)(x>1\)，故\(x-1>0\)，可將函數(shù)變形為\(y=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1\)，此時(shí)\((x-1)\)和\(\frac{1}{x-1}\)均為正數(shù)，且乘積為定值\(1\)，滿足“正、定”條件。詳細(xì)解答\[y=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1\geq2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}}+1=2+1=3\]當(dāng)且僅當(dāng)\(x-1=\frac{1}{x-1}\)，即\(x=2\)時(shí)，等號(hào)成立。故函數(shù)的最小值為\(3\)。**易錯(cuò)點(diǎn)提醒**忽略“正”的條件：若\(x<1\)，則\(x-1<0\)，需變形為\(y=-(1-x)-\frac{1}{1-x}+1\leq-2+1=-1\)，此時(shí)最大值為\(-1\)。忽略“定”的條件：若直接求\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)），則和為\(x+\frac{1}{x}\)，積為\(1\)（定值），可直接應(yīng)用均值不等式得最小值\(2\)；若求\(y=x+\frac{1}{x^2}\)（\(x>0\)），需拆項(xiàng)為\(y=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}\)，此時(shí)三項(xiàng)乘積為\(\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}\)（定值），應(yīng)用均值不等式得最小值\(3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2}\)。忽略“等”的條件：若\(x>2\)，求\(y=x+\frac{1}{x-1}\)的最小值，若直接應(yīng)用均值不等式得\(3\)，但等號(hào)成立時(shí)\(x=2\)，不在\(x>2\)范圍內(nèi)，此時(shí)需用單調(diào)性求解（令\(t=x-1>1\)，\(y=t+\frac{1}{t}+1\)，\(t>1\)時(shí)單調(diào)遞增，故最小值大于\(3\)）。結(jié)論：應(yīng)用均值不等式前，必須驗(yàn)證“正、定、等”三個(gè)條件，缺一不可。（三）函數(shù)與幾何結(jié)合的最值問(wèn)題——幾何直觀助轉(zhuǎn)化例3在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(P(x,0)\)在\(x\)軸上，求點(diǎn)\(P\)到點(diǎn)\(A(1,1)\)和點(diǎn)\(B(2,3)\)的距離之和的最小值。解題思路幾何中的最值問(wèn)題常利用圖形性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算，如“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“對(duì)稱點(diǎn)”等。本題要求\(PA+PB\)的最小值（\(P\)在\(x\)軸上），可作點(diǎn)\(A\)關(guān)于\(x\)軸的對(duì)稱點(diǎn)\(A'(1,-1)\)，則\(PA=PA'\)，故\(PA+PB=PA'+PB\)。根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，\(PA'+PB\)的最小值為\(A'B\)的長(zhǎng)度，此時(shí)\(P\)為\(A'B\)與\(x\)軸的交點(diǎn)。詳細(xì)解答1.作對(duì)稱點(diǎn)：點(diǎn)\(A(1,1)\)關(guān)于\(x\)軸的對(duì)稱點(diǎn)為\(A'(1,-1)\)。2.求直線\(A'B\)的方程：\(A'(1,-1)\)，\(B(2,3)\)，斜率\(k=\frac{3-(-1)}{2-1}=4\)，方程為\(y+1=4(x-1)\)，即\(y=4x-5\)。3.求交點(diǎn)\(P\)：令\(y=0\)，得\(x=\frac{5}{4}\)，故\(P\left(\frac{5}{4},0\right)\)。4.計(jì)算最小值：\(A'B=\sqrt{(2-1)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\)。**易錯(cuò)點(diǎn)提醒**找不到對(duì)稱點(diǎn)：若求“距離之和”的最小值，通常作一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短；若求“距離之差”的最大值，通常作一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最長(zhǎng)（或直接連接兩點(diǎn)并延長(zhǎng)）。代數(shù)方法繁瑣：若直接用代數(shù)方法表示\(PA+PB=\sqrt{(x-1)^2+1}+\sqrt{(x-2)^2+9}\)，求導(dǎo)或配方法均較復(fù)雜，幾何方法更直觀。結(jié)論：幾何與代數(shù)結(jié)合的最值問(wèn)題，優(yōu)先考慮圖形性質(zhì)，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題。三、解題方法總結(jié)通過(guò)以上三個(gè)典型題型的解析，總結(jié)函數(shù)最值問(wèn)題的常用解題方法：1.二次函數(shù)最值：步驟：確定開(kāi)口方向→求對(duì)稱軸→判斷對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系→分類討論（頂點(diǎn)或端點(diǎn)處取最值）。關(guān)鍵：分類討論，避免忽略對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。2.均值不等式最值：步驟：驗(yàn)證“正”條件→變形（拆項(xiàng)、湊項(xiàng)）使和或積為定值→應(yīng)用均值不等式→驗(yàn)證“等”條件。關(guān)鍵：滿足“正、定、等”，靈活變形是核心。3.幾何結(jié)合最值：步驟：分析幾何意義→利用圖形性質(zhì)（對(duì)稱點(diǎn)、線段最短）→轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題→計(jì)算。關(guān)鍵：幾何直觀，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題簡(jiǎn)化計(jì)算。4.其他方法：?jiǎn)握{(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)或定義）求最值；判別式法：對(duì)于二次分式函數(shù)\(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于\(x\)的二次方程，利用判別式\(\Delta\geq0\)求最值；三角換元法：對(duì)于根號(hào)下的二次式（如\(\sqrt{a^2-x^2}\)），令\(x=a\sin\theta\)或