2.2基本不等式一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題.難點(diǎn)：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題.三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議本節(jié)在前面研究不等式的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，展開了對(duì)一種具體的不等式——基本不等式的研究，研究基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應(yīng)用.基本不等式與學(xué)生在初中學(xué)過的乘法公式有類似的作用，乘法公式能夠簡化某些特殊形式的代數(shù)式的恒等變形，而基本不等式使解決滿足一定條件的代數(shù)式的最值問題有路可循.1.基本不等式基本不等式可以通過許多有趣的方式建立起來，本節(jié)從不等式（上一節(jié)由第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)中抽象得出）說起.取這個(gè)不等式的特殊形式，即令，，用，分別代替上式中的，，就得到了基本不等式.基本不等式中等號(hào)成立的條件與不等式相同，教學(xué)中可以借助上一節(jié)的會(huì)標(biāo)圖形，幫助學(xué)生從直觀上理解與是否相等與不等式取什么符號(hào)之間的關(guān)系.接下來，教科書闡述了基本不等式的代數(shù)解釋，這不僅有利于加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，而且與學(xué)生已有的平均數(shù)概念建立了聯(lián)系，便于學(xué)生記憶這個(gè)不等式.事實(shí)上，基本不等式就是均值不等式“鏈”中的一環(huán)，而它之所以被稱為“基本不等式”，主要是因?yàn)椤八梢宰鳛椴坏仁秸摰幕径ɡ?，成為支撐其他許多非常重要結(jié)果的基石”，同時(shí)它也是解決許多最值問題的有力工具.2.基本不等式的證明基本不等式有許多證明方法，學(xué)生可能最先想到“作差法”，教科書介紹了兩種：一種是上一節(jié)借助完全平方公式證明的基本不等式的變式；另一種是本節(jié)介紹的“分析法”，這也是一種利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明的方法，這樣編排不僅把基本不等式與初中學(xué)過的完全平方公式建立了聯(lián)系，進(jìn)一步研究了如何利用不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，而且介紹了分析法，為學(xué)生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略.分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，能夠用分析法證明的命題的證明過程必須具有推理的可逆性和推理結(jié)果的唯一性，基本不等式就具有這樣的特點(diǎn).分析法常用于證明已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確具體的情況.這時(shí)可以嘗試從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件.教科書按照分析法的格式，從出發(fā)，逐步利用不等式的性質(zhì)推出能使它成立的充分條件，直至這個(gè)顯然成立的事實(shí)，從這個(gè)不等式中也更容易發(fā)現(xiàn)不等式中等號(hào)成立的條件.學(xué)生可能對(duì)分析法證明的格式和為什么可以這樣證明難以理解，在證明過程中可能容易出現(xiàn)“充分條件不充分”的錯(cuò)誤.教學(xué)中可以結(jié)合基本不等式的證明過程，對(duì)分析法的原理和過程進(jìn)行充分的剖析，幫助學(xué)生通過典型案例理解分析法，掌握基本不等式的證明.3，基本不等式的幾何解釋在證明了基本不等式后，教科書再次研究了基本不等式的幾何背景.與從“趙爽弦圖”中的相等關(guān)系和不等關(guān)系中抽象出基本不等式的變形形式不同的是，這一次是已知基本不等式，尋求它的幾何解釋，但無論是哪種呈現(xiàn)順序，基本不等式的幾何背景都直觀地展示了基本不等式“從不等到相等”的變化過程.教科書設(shè)置這個(gè)環(huán)節(jié)的目的，是想讓學(xué)生從建立過程、證明方法和幾何解釋多個(gè)角度認(rèn)識(shí)基本不等式，從而加深對(duì)基本不等式的理解.這個(gè)幾何解釋可以簡單地?cái)⑹鰹椤皥A的弦長的一半小于或等于圓的半徑長，當(dāng)且僅當(dāng)弦過圓心時(shí)，二者相等”.教學(xué)中可以讓學(xué)生將和與圖中的幾何元素建立起聯(lián)系，從而將基本不等式與幾何元素的大小關(guān)系之間聯(lián)系起來.教師還可以借助信息技術(shù)，展示點(diǎn)在線段上移動(dòng)的過程，讓學(xué)生觀察線段的長度與圓的半徑長之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，從而更好地理解與之間的關(guān)系隨著，大小關(guān)系的變化而發(fā)生的變化，同時(shí)體會(huì)基本不等式中蘊(yùn)含的“等式”與“不等式”的內(nèi)在聯(lián)系.4.基本不等式在解決問題中的應(yīng)用本節(jié)共安排了4道基本不等式的應(yīng)用問題，都是利用基本不等式求最值，例1和例2是在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，例3和例4是在實(shí)際中的應(yīng)用.在利用基本不等式解決問題之前，教師可以先讓學(xué)生明確使用基本不等式的條件（在中，，只能是非負(fù)數(shù)；在中，，可以是任意實(shí)數(shù)），以及“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立”的兩層含義（一是當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)；二是不等式取等號(hào)時(shí)，必有）.例1是用基本不等式求代數(shù)式最小值問題中的最簡情形.教科書在解決問題之前，先解釋了求代數(shù)式最小值的含義，在本例之后，還強(qiáng)調(diào)了代數(shù)式的最小值必須是代數(shù)式能取到的值.本例的解答則從所求代數(shù)式與基本不等式在形式上的聯(lián)系入手：是與的算術(shù)平均數(shù)的2倍，而后者的幾何平均數(shù)是一個(gè)定值，所以利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2.教學(xué)中可以用“一正、二定、三相等”這種通俗易懂的語言幫助學(xué)生理解和記憶能應(yīng)用基本不等式解決問題的特點(diǎn).例2讓學(xué)生用基本不等式證明兩類最值問題.教科書設(shè)置例2的目的，一是在例1的基礎(chǔ)上再給出一道直接利用基本不等式證明數(shù)學(xué)問題的例題；二是借此題的題干給出了利用基本不等式解決問題的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型：已知，都是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值.根據(jù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型可知，有兩類最值問題可以用基本不等式解決，即“兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和有最小值”和“兩個(gè)正數(shù)的和為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的積有最大值”，這就為解決例3，例4埋下了伏筆.此外，教科書在本課時(shí)的練習(xí)和習(xí)題安排了利用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值的變式練習(xí)，如第46頁“練習(xí)”的第4題，習(xí)題2.2的第1題的第（1）小題，是通過變形構(gòu)造兩個(gè)正數(shù)的和為定值或積為定值的問題，教學(xué)中可以根據(jù)給定代數(shù)式的形式，結(jié)合基本不等式的使用條件，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形.對(duì)于這類問題，教科書有意控制了這種變式問題的難度，設(shè)置的問題都是通過簡單變形就符合基本不等式應(yīng)用條件的問題.教學(xué)中也要注意本部分內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是“能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題”，不要刻意加大變形的難度.5，基本不等式的實(shí)際應(yīng)用通過例2，教科書提出了用基本不等式解決問題的數(shù)學(xué)模型.接下來，教科書安排了兩道例題，研究了如何應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題.對(duì)這兩道例題的教學(xué)，要注意引導(dǎo)學(xué)生用基本不等式模型理解和識(shí)別實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，判斷它們是否屬于用基本不等式能夠解決的兩類最值問題，如果符合，就可以轉(zhuǎn)化為基本不等式的數(shù)學(xué)模型解決.例如，例3的問題可以簡化為：當(dāng)矩形的面積為定值時(shí)，長與寬取什么值時(shí)周長最短；當(dāng)矩形的周長為定值時(shí)，長與寬取什么值時(shí)面積最大，由于矩形的面積是兩條鄰邊的積，周長是兩條鄰邊的和的2倍，所以第（1）小題實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的積為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和有最小值，可以用數(shù)學(xué)模型“如果正數(shù)，的積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值”解決；第（2）小題實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的和為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的積有最大值，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型“如果正數(shù)，的和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值”解決.在例3之后，教科書設(shè)置了另一道求最值的問題（例4），本題的背景更加復(fù)雜，不容易將其歸結(jié)為基本不等式模型.因此，對(duì)于像例4這樣的問題的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生先將問題進(jìn)行簡化，再分析它符合什么數(shù)學(xué)模型.例4可以簡化為“池底的邊長取什么值時(shí)，水池的總造價(jià)最低”，若設(shè)池底的相鄰兩條邊的邊長分別為m，m，水池的總造價(jià)為元，則，這樣求的最小值的問題，就轉(zhuǎn)化為了求兩個(gè)正數(shù)，的和的最小值的問題；而，的積為定值，于是本例實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的積為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和有最小值，以及最小值是多少，可以轉(zhuǎn)化為