嘉定二中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)期末2025.6一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．兩個平面最多可以將空間分成部分.

2．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是.

3.若扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的弧長為.

4．向量在方向上的數(shù)量投影為.

5．已知，則.

6．若（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個復(fù)數(shù)根，

則.

7．已知，若滿足，且的最小值為，則.

8．若為奇函數(shù)，則.（填寫符合要求的一個值）

9．若異面直線所成的角為為空間一定點，則過點且與所成的角都是的直線有且僅有條．

10．如圖，已知正六邊形的邊長為1，點在其內(nèi)部（包含邊界），則的取值范圍是.

11．設(shè)函數(shù)，其中，若對于任意，都存在，使得，則的最小值為.

12．已知個兩兩互不相等的復(fù)數(shù)，其中滿足，若（其中、，則正整數(shù)的最大值為.二、選擇題（本大題滿分18分，第13,14題每分4分，第15,16題每題5分）

13．若空間中有兩條直線，則＂這兩條直線為異面直線＂是＂這兩條直線沒有公共點＂的（）條件.

A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要

14．如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為（）.

A．銳角三角形B.直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長度決定

15．在物理學(xué)中簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)，其中來表示，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）.

A．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱

B.函數(shù)的解析式可以為

C．函數(shù)在上的值域為 D．函數(shù)圖象上所有點向右平移個單位，則所得函數(shù)是

16．已知三個不共線的向量滿足，則為的（）.

A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心

三、解答題（本大題滿分78分）

17．（本題滿分14分）如圖，已知長方體中，．

（1）求證：與是異面直線；

（2）求異面直線與所成角的余弦值．

18．（本題滿分14分）

已知關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程有兩個根和.

（1）若和為兩個虛根，求的取值范圍；

（2）若，求的值．

19．（本題滿分16分）

在中，．點為所在平面上一點，滿足且.

（1）若，用表示；

（2）若點為的外心，求的值．

20．（本題滿分16分）

某鎮(zhèn)計劃在一處紫藤花種植地修建花海公園.如圖，公園用柵欄圍成等腰梯形形狀，其中長為400米；在上選擇一點作為公園入口，從公園入口出發(fā)修建兩條觀光步道，其中步道終點兩點在邊界上，且．

（1）觀光步道的總長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）為吸引了游客，在花海公園原有規(guī)劃基礎(chǔ)上增添一條商業(yè)步道用于建設(shè)＂集市＂，若建設(shè)觀光步道平均每米需花費(fèi)100元，建設(shè)商業(yè)步道平均每米需花費(fèi)300元，試求建設(shè)步道總花費(fèi)的最小值．21．（本題滿分18分）

若函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為＂函數(shù)＂．

（1）試判斷是否為＂函數(shù)＂，并說明理由：

（2）函數(shù)為＂函數(shù)＂，且當(dāng)時，，求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；

（3）在（2）條件下，當(dāng)，關(guān)于的方程（為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為，求．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．設(shè)函數(shù)，其中，若對于任意，都存在，使得，則的最小值為.

【答案】【解析】函數(shù)，因為，所以，即，，

又因為存在，使得，即存在，使得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，所以的最小值為．故答案為：．12．已知個兩兩互不相等的復(fù)數(shù)，其中滿足，若（其中、，則正整數(shù)的最大值為.【答案】【解析】設(shè)，因為，所以，即，即，故對應(yīng)平面內(nèi)距離為2的點，如圖中的點．因為，所以與對應(yīng)的點的距離為1或3，構(gòu)成了圖中的點，，共5個點，故的最大值為5．二、選擇題13.A14.A15.B16.A15．在物理學(xué)中簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)，其中來表示，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）.

A．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱

B.函數(shù)的解析式可以為

C．函數(shù)在上的值域為 D．函數(shù)圖象上所有點向右平移個單位，則所得函數(shù)是

【答案】B【解析】由函數(shù)圖象的最高點的縱坐標(biāo)可得，且可得，可得，又，可得，所以，中，因為，所以（不是函數(shù)的對稱中心，所以不正確；中，，所以正確；中，因為，所以，，所以，即，所以不正確；中，把圖象上所有點向右平移個單位，則所得函數(shù)，所以不正確．故選：．16．已知三個不共線的向量滿足，則為的（）.

A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】在上取點，在延長線上取點，使得，則，以為鄰邊作平行四邊形，則

∵平行四邊形是菱形，∴，

過作的平行線交于點，∵，即,∴在直線上，

∵，∴，

由菱形的性質(zhì)可知，

∴為的角平分線，故在的角平分線上，

同理可得：在的平分線上，在的角平分線上，

∴是的內(nèi)心．故選：．三、解答題17.（1）證明略（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．（本題滿分16分）

某鎮(zhèn)計劃在一處紫藤花種植地修建花海公園.如圖，公園用柵欄圍成等腰梯形形狀，其中長為400米；在上選擇一點作為公園入口，從公園入口出發(fā)修建兩條觀光步道，其中步道終點兩點在邊界上，且．

（1）觀光步道的總長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）為吸引了游客，在花海公園原有規(guī)劃基礎(chǔ)上增添一條商業(yè)步道用于建設(shè)＂集市＂，若建設(shè)觀光步道平均每米需花費(fèi)100元，建設(shè)商業(yè)步道平均每米需花費(fèi)300元，試求建設(shè)步道總花費(fèi)的最小值．【答案】（1）是，定值百米；（2）【解析】（1）由題意，三角形和三角形為相似三角形，所以，設(shè)百米，則，根據(jù)正弦定理有，所以，

所以，即觀光步道的總長度為定值百米；（2）結(jié)合（1），由余弦定理有

當(dāng)取得最小值為，所以最小值為百米，

所以建設(shè)步道花費(fèi)最小值為元．21．（本題滿分18分）

若函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為＂函數(shù)＂．

（1）試判斷是否為＂函數(shù)＂，并說明理由：

（2）函數(shù)為＂函數(shù)＂，且當(dāng)時，，求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；

（3）在（2）條件下，當(dāng)，關(guān)于的方程（為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為，求．【答案】（1）不是，例見解析（2）；（3）【解析】（1）不為函數(shù)，理由如下：

因為，所以函數(shù)的周期為，又因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因為的周期為，當(dāng)時，，所以的圖象不關(guān)于對稱，∴不是＂的函數(shù)＂；

（2）由，可得，