第12講二元一次方程組及其解法（知識清單+7大題型+好題必刷）題型匯聚題型匯聚題型一二元一次方程的定義題型二代入消元法題型三加減消元法題型四已知二元一次方程組的解求參數(shù)題型五二元一次方程組的特殊解法題型六已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)題型七方程組相同解問題知識清單知識清單知識點1．二元一次方程的定義（1）二元一次方程的定義含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．知識點2．二元一次方程的解（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解．（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應值．知識點3．解二元一次方程二元一次方程有無數(shù)解．求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應值．知識點4．二元一次方程組的定義（1）二元一次方程組的定義：由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．（2）二元一次方程組也滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個未知數(shù)．③每個方程都是一次方程．知識點5．二元一次方程組的解（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．數(shù)學概念是數(shù)學的基礎與出發(fā)點，當遇到有關二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．知識點6．解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．題型練習題型練習【題型一】二元一次方程的定義A．1或 B．1 C． D．0【答案】A【知識點】二元一次方程的定義故選：A．【舉一反三】A． B． C．0 D．1【答案】D【知識點】二元一次方程的定義【分析】本題主要考查了二元一次方程的定義，含有兩個未知數(shù)并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．直接根據(jù)二元一次方程的定義列方程求值即可．故選D．【答案】【知識點】二元一次方程的定義故答案為：．【知識點】二元一次方程的定義【題型二】代入消元法【答案】B【知識點】代入消元法【分析】本題考查用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，把當成常數(shù)，解關于的一元一次方程即可．故選B．【舉一反三】【答案】D【知識點】代入消元法【分析】此題考查了解二元一次方程組，解題的關鍵是利用了消元的思想．根據(jù)二元一次方程組解法中的代入消元法求解．故選D．【知識點】代入消元法【分析】此題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看作已知數(shù)，熟練掌握解二元一次方程的方法．把x看作已知數(shù)求出y即可．【知識點】代入消元法【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，直接利用代入消元法解方程組即可．【題型三】加減消元法A． B． C． D．【答案】C【知識點】加減消元法【分析】此題考查了解二元一次方程組，方程組兩方程相減即可求解，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．故選：．【舉一反三】A． B．6 C． D．0.6【答案】A【知識點】加減消元法【分析】本題考查了代數(shù)式求值，解決本題的關鍵是用加減消元法消掉．用加減消元法消掉即可得出答案．故選：A【知識點】加減消元法【分析】本題考查了新定義運算，解二元一次方程組，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)新定義運算列式計算即可；（2）根據(jù)新定義運算和解二元一次方程組列式計算即可．故答案為：．【知識點】加減消元法【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個未知數(shù)．方程組利用加減消元法求解即可．【題型四】已知二元一次方程組的解求參數(shù)A． B． C．3 D．2【答案】A【知識點】已知二元一次方程組的解求參數(shù)【分析】本題主要考查了二元一次方程的解的定義，解題關鍵是熟練掌握二元一次方程的解是使二元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值．因此，m的值為，故選：A．【舉一反三】A．9，2 B．，2 C．5，2 D．5，4【答案】A【知識點】已知二元一次方程組的解求參數(shù)∴△和■表示的數(shù)分別為9，2，故選：A．【答案】【知識點】已知二元一次方程組的解求參數(shù)故答案為：6．(1)求出它們的相同解；(2)【知識點】已知二元一次方程組的解求參數(shù)、方程組相同解問題【分析】本題主要考查了同解方程組，解題的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的一般方法．【題型五】二元一次方程組的特殊解法【答案】C【知識點】二元一次方程組的特殊解法【分析】本題主要考查二元一次方程組的解法，解題關鍵是根據(jù)整體思想及方程組的解法進行求解．故選：C．【舉一反三】【答案】2【知識點】二元一次方程組的特殊解法故答案為：．【答案】18【知識點】加減消元法、二元一次方程組的特殊解法【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用換元法變形后，即可求出解即可．故答案為：18．【知識點】二元一次方程組的特殊解法【分析】本題考查的是利用整體法解二元一次方程組；【題型六】已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)A． B． C． D．【答案】C【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)、解一元一次方程（二）——去括號故選：C．【舉一反三】A．2 B．3 C． D．5【答案】A【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)故選：A．【答案】4【知識點】代入消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)【分析】先解方程組，用含a的代數(shù)式表示出方程組的解，根據(jù)方程組有正整數(shù)解求出a的范圍，再求出符合的整數(shù)a即可．故答案為：4．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組和解一元一次不等式組等知識點，能得出關于a的不等式組是解此題的關鍵．【答案】(1)【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)、整式加減中的無關型問題【分析】本題考查二元一次方程組的解、二元一次方程及同解方程，解題的關鍵是熟練掌握加減消元法．∴的取值與無關，【題型七】方程組相同解問題A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識點】方程組相同解問題、加減消元法因為兩方程有相同的解，故選：B．【舉一反三】【答案】【知識點】加減消元法、方程組相同解問題故答案為：．【知識點】加減消元法、方程組相同解問題(1)求這個相同的解；(2)求m，n的值．【知識點】已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)、方程組相同解問題、加減消元法【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，涉及解二元一次方程組，二元一次方程組的解等知識，理解二元一次方程組解的含義是解題的關鍵，也是本題的難點所在．（1）根據(jù)二元一次方程組的解的定義進行解答即可；（2）根據(jù)方程解的定義得到二元一次方程組，解方程組即可．好題必刷好題必刷一、單選題【答案】B【分析】本題考查二元一次方程的解，熟練掌握其解的意義是解題的關鍵．將各組解分別代入方程中判斷是否成立即可．故選：B．A．①＋② B．①－② C．①×2＋② D．②×1＋①【答案】A【分析】觀察到方程組中兩方程y的系數(shù)互為相反數(shù)，相加即可消元．【詳解】∵方程組中兩方程y的系數(shù)互為相反數(shù)，故選：A．【點睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，熟知解二元一次方程組的加減消元法是解答此題的關鍵．A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】B【分析】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握用代入法求解二元一次方程的基本步驟是解題的關鍵．根據(jù)解二元一次方程的基本步驟逐步判斷即可．（2）將③代入原方程①，（錯誤），應代入方程②．因步驟（2）錯誤，后續(xù)推導無效．∴造成錯誤的一步是（2）故選：B．4．下列方程組中，有無數(shù)組解的是（

）【答案】C【分析】分別求解每一個選項的方程組的解，即可得出答案．①×2②，得0x0y=0，則x、y可取任何值，所以方程組有無數(shù)組解，故此選項符合題意；故選：C．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，注意二元一次方程組的解的三種情況：①方程組有唯一一組解，②方程組有無數(shù)組解，③方程組無解．【答案】D【分析】本題考查的是解二元一次方程組，熟知解二元一次方程組的加減消元法和代入消元法是解答此題的關鍵．先用加減消元法求出x的值，再代回第一個方程求出y的值即可．故選：D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中每個方程都成立的未知數(shù)的值．利用加減消元法求出方程組的解，即可作出判斷．故選：C．A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3【答案】D【分析】根據(jù)加減消元法逐項判斷即可．故選：D．【點睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，只有當兩個二元一次方程未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時才可以用加減法消元，系數(shù)相同相減消元，系數(shù)相反相加消元．A．1 B．2 C．1 D．2【答案】A【分析】先求得方程組的解，再代入方程計算即可．①+②得，2x=7k，解得x=；①②得，2y=3k，解得k=1，故選A．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，正確選擇消元方法是解題的關鍵．A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②【答案】A【分析】直接利用二元一次一次方程組的解法表示出方程組的解進而分別分析得出答案．x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4，即①正確，若x+y＝0，則（3k﹣2）+（1﹣k）＝0，解得：k＝，即存在實數(shù)k，使得x+y＝0，即②正確，∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1，∴不論k取什么實數(shù)，x+3y的值始終不變，故③正確；若3x+2y＝6∴k＝，故④錯誤，故選：A．【點睛】本題主要考查解二元一次方程組的能力，熟練掌握解二元一次方程組的技能和二元一次方程的解的定義．【答案】A故選：A．二、填空題【分析】此題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將一個未知數(shù)看作已知數(shù)求出另一個未知數(shù)．把x看作已知數(shù)求出y即可．【分析】本題考查代入法解二元一次方程，利用等式的性質變形即可．【答案】1【分析】二元一次方程滿足的條件是：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．故答案為：1．【點睛】本題考查了二元一次方程的概念，熟知二元一次方程的形式及特點：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．【分析】等號兩邊同時乘以即可得結果．【點睛】本題考查了二元一次方程的變形，是加減消元法解二元一次方程組的基礎，需要熟練掌握．【分析】把含有的項移到方程的左邊，其它的項移到方程的右邊，再進一步把的系數(shù)化為．【點睛】此題考查了等式的性質、解一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意求出關于的方程的解．【答案】．答案：．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．故答案為：．【答案】【分析】求出方程組的解得到x與y的值，再利用新定義求出即可．故答案為：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元法的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．三、解答題19．解下列方程組：【分析】（1）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．①②得：4y=8，解得：y=2，把y=2代入①得：2x+6=12，解得：x=3，①×2②得：10y=300，解得：y=30，把y=30代入①得：5x+210=350，解得：x=28，【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【分析】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解方程組是解題的關鍵．用加減消元法解二元一次方程組即可．21．解方程組【分析】（1）根據(jù)二元一次方程組的代入消元法即可求解．（2）根據(jù)二元一次方程組的加減消元法即可求解．把①代入②得：由①得：2x＋2y＝8③【點睛】本題考查了解二元一次方程組的方法，靈活運用消元的思路是解題的關鍵．22．用加減法解下列方程組：【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握解方程組的一般方法，準確計算．（1）用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）用加減消元法解二元一次方程組即可．23．解方程組【分析】（1）利用加減消元法進行求解即可；（2）利用加減消元法進行運算即可．【點睛】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．24．用適