第三章萬有引力定律及其應用第一節(jié)萬有引力定律A級抓基礎1．某行星繞太陽運行的橢圓軌道如圖所示，F(xiàn)1和F2是橢圓軌道的兩個焦點，行星在A點的速率比在B點的大，則太陽位于()A．F2 B．AC．F1 D．B解析：根據開普勒第二定律：太陽和行星的連線在相等的時間內掃過相同的面積，因為行星在A點的速率比在B點的速率大，所以太陽和行星的連線必然是行星與F2的連線，故太陽位于F2.答案：A2．下列關于萬有引力定律的說法中，正確的是()①萬有引力定律是卡文迪許在實驗室中發(fā)現(xiàn)的②對于相距很遠、可以看成質點的兩個物體，萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)中的r是兩質點間的距離③對于質量分布均勻的球體，公式中的r是兩球心間的距離④質量大的物體對質量小的物體的引力大于質量小的物體對質量大的物體的引力A．①③ B．②④C．②③ D．①④解析：卡文迪許在實驗室中得出了G的數值，F(xiàn)＝Geq\f(Mm,r2)中的r是兩質點間的距離，對于質量分布均勻的球體，公式中的r是兩球心間的距離，兩物體之間的相互引力遵循牛頓第三定律，則②③正確，①④錯誤．答案：C3．理論和實踐證明，開普勒定律不僅適用于太陽系中的天體運動，而且對一切天體(包括衛(wèi)星繞行星的運動)都適用．對于開普勒第三定律的公式eq\f(R3,T2)＝k，下列說法正確的是()A．公式只適用于軌道是橢圓的運動B．式中的k值，對于所有行星(或衛(wèi)星)都相等C．式中的k值，只與中心天體有關，與繞中心天體旋轉的行星(或衛(wèi)星)無關D．若已知月球與地球之間的距離，根據公式可求出地球與太陽之間的距離解析：行星和衛(wèi)星的軌道可以近似為圓，公式eq\f(R3,T2)＝k也適用，故A錯；比例系數k是一個由中心天體決定而與行星無關的常量，但不是恒量，不同的星系中，k值不同，故B錯，C對；月球繞地球轉動的k值與地球繞太陽轉動的k值不同，故D錯．答案：C4．在某次測定引力常量的實驗中，兩金屬球的質量分別為m1和m2，球心間的距離為r，若測得兩金屬球間的萬有引力大小為F，則此次實驗得到的引力常量為()A.eq\f(Fr,m1m2)B.eqB.q\f(Fr2,m1m2)C.eq\f(m1m2,Fr)D.eqD.q\f(m1m2,Fr2)解析：由萬有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)得G＝eq\f(Fr2,m1m2)，所以B項正確．答案：B5．月球繞地球運動的周期約為27天，則月球中心到地球中心的距離R1與地球同步衛(wèi)星(繞地球運動的周期與地球的自轉周期相同)到地球中心的距離R2之比R1∶R2約為()A．3∶1 B．9∶1C．27∶1 D．18∶1解析：由開普勒第三定律有eq\f(Req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(Req\o\al(3,2),Teq\o\al(2,2))，所以eq\f(R1,R2)＝eq\r(3,\f(Teq\o\al(2,1),Teq\o\al(2,2)))＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,1)))\s\up12(2))＝eq\f(9,1)，選項B正確，A、C、D錯誤．答案：BB級提能力6．兩個行星的質量分別為m1和m2，繞太陽運行的軌道半徑分別是r1和r2.若它們只受太陽的引力作用，那么這兩個行星的向心加速度之比為()B.eq B.eq\f(m1r1,m2r2)C.eq\f(m1r2,m2r1)D.eqD.q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2,r1)))eq\s\up12(2)解析：設兩個質量分別為m1、m2的行星的向心力分別是F1、F2，太陽的質量為M，由太陽與行星之間的作用規(guī)律，可得F1＝Geq\f(Mm1,req\o\al(2,1))，F(xiàn)2＝Geq\f(Mm2,req\o\al(2,2))，而a1＝eq\f(F1,m1)，a2＝eq\f(F2,m2)，故eq\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2,r1)))eq\s\up12(2).答案：D7．月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的eq\f(1,6)，一個質量為600kg的飛行器到達月球后，下列說法錯誤的是()A．在月球上的質量仍為600B．在月球表面上的重力為980NC．在月球表面上方的高空中重力小于980ND．在月球上的質量將小于600解析：物體的質量與物體所處的位置及運動狀態(tài)無關，故A對，D錯；由題意可知，物體在月球表面上受到的重力為地球表面上重力的eq\f(1,6)，即F＝eq\f(1,6)mg＝eq\f(1,6)×600×9.8N＝980N，故B對；由F＝Geq\f(m1m2,r2)知，r增大時，引力F減小，在星球表面，物體的重力可近似認為等于物體所受的萬有引力，故C對．答案：D8．隨著太空技術的飛速發(fā)展，地球上的人們登陸其他星球成為可能．假設未來的某一天，宇航員登上某一星球后，測得該星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而該星球的平均密度與地球的差不多，則該星球質量大約是地球質量的()A.eq\f(1,2) B．2倍C．4倍 D．8倍解析：由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，而M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，由兩式可得R＝eq\f(3g,4πρG)，所以M＝eq\f(9g3,16π2ρ2G3)，易知該星球質量大約是地球質量的8倍．D對．答案：D9．近幾年，全球形成探索火星的熱潮，發(fā)射火星探測器可按以下步驟進行．第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，先使之成為一個繞地球軌道運動的人造衛(wèi)星．第二步，在適當時刻啟動探測器上的火箭發(fā)動機，在短時間內對探測器沿原方向加速，使其速度增大到適當值，從而使探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道飛行，運行其半個周期后正好飛行到火星表面附近，使之成為繞火星運轉的衛(wèi)星，然后采取措施使之降落在火星上，如圖所示．設地球的軌道半徑為R，火星的軌道半徑為1.5R，探測器從地球運行軌道到火星運行軌道大約需要多長時間？解析：由題可知，探測器在飛向火星的橢圓軌道上運行時，其軌道半長軸為a＝eq\f(1.5R＋R,2)＝1.25R.由開普勒定律可得eq\f(R3,Teq\o\al(2,地))＝eq\f(（1.25R）3,T′2)，即T′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.25R,R)))\s\up12(3)·Teq\o\al(2,地))＝T地eq\r(1.253)＝1.4T地，故t＝eq\f(T′,2)＝0.7T地＝8.4月．答案：8.4月10．月球質量是地球質量的eq\f(1,81)，月球半徑是地球半徑的eq\f(1,4)，如果以同一初速度在地球上和月球上豎直上拋一物體．求：(1)兩者上升的最大高度之比；(2)兩者從拋出到落回原拋點的時間之比．解析：對星球表面的物體有mg＝Geq\f(Mm,R2)，所以g＝eq\f(GM,R2)，故eq\f(g月,g地)＝eq\f(M月Req\o\al(2,地),M地Req\o\al(2,月))＝eq\f(1,81)×eq\f(42,1)＝eq\f(16,81).(1)上升高度