貴州省遵義市航天高級中學2021年高考新題型——數(shù)學函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題專項練習含答案一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1．設函數(shù)，對關于的方程，下列說法正確的有（）．A．當時，方程有1個實根B．當時，方程有5個不等實根C．若方程有2個不等實根，則D．若方程有6個不等實根，則【答案】BD【分析】先作出函數(shù)的圖象，進行換元，將方程轉化成關于t的二次方程，結合函數(shù)值的分布，對選項中參數(shù)值與根的情況逐一分析判斷四個選項的正誤即可.【詳解】函數(shù)，作圖如下：由圖可知，，令，則，則方程轉化為，即選項A中，時方程為，即，故，即，看圖知存在三個根，使得，故A錯誤；選項B中，，方程即，即，解得或，當時看圖可知，存在3個根，當時看圖可知，存在2個根，故共5個不等的實根，B正確；選項C中，方程有2個不等實根，則有兩種情況：（1），則或，此時，即，解得，，均不滿足上面范圍，舍去；（2）時，即或.①當時，代入方程得，解得，由，得，不滿足題意，舍去；②當時，則，，，解得，故C錯誤；選項D中，方程有6個不等實根，則且，圖象如下：需滿足：，解得：，故D正確.故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵在于對方程進行換元，變成關于t的二次方程根的分布問題，結合函數(shù)圖象中函數(shù)值的分布情況來突破難點.2．下列選項中的范圍能使得關于的不等式至少有一個負數(shù)解的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】將不等式變形為，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)恰有一個負數(shù)解時判斷出臨界位置，再通過平移圖象得到的取值范圍.【詳解】因為，所以且，在同一坐標系中作出的圖象如下圖：當與在軸左側相切時，僅有一解，所以，所以，將向右移動至第二次過點時，，此時或（舍），結合圖象可知：，所以ACD滿足要求.故選：ACD.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，著重考查數(shù)形結合的思想，難度較難.利用數(shù)形結合可解決的常見問題有：函數(shù)的零點或方程根的個數(shù)問題、求解參數(shù)范圍或者解不等式、研究函數(shù)的性質等.3．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)可能為（）A．2 B．6 C．5 D．4【答案】ACD【分析】先畫出的圖象，再討論方程的根，求得的范圍，再數(shù)形結合，得到答案.【詳解】畫出的圖象如圖所示：令，則，則，當，即時，，此時，由圖與的圖象有兩個交點，即方程的根的個數(shù)為2個，A正確；當時，即時，，則故，，當時，即，則有2解，當時，若，則有3解；若，則有2解，故方程的根的個數(shù)為5個或4個，CD正確；故選：ACD【點睛】本題考查了函數(shù)的根的個數(shù)問題，函數(shù)圖象的畫法，考查了分類討論思想和數(shù)形結合思想，難度較大.4．若滿足對任意的實數(shù)，都有且，則下列判斷正確的有（）A．是奇函數(shù)B．在定義域上單調遞增C．當時，函數(shù)D．【答案】BCD【分析】利用新定義結合函數(shù)的性質進行判斷．計算出判斷A；先利用證明所有有理數(shù)，有，然后用任意無理數(shù)都可以看作是一個有理數(shù)列的極限，由極限的性質得，這樣可判斷C，由此再根據(jù)單調性定義判斷B，根據(jù)定義計算（），然后求得D中的和，從而判斷D．【詳解】令，則，即，∴，不可能是奇函數(shù)，A錯；對于任意，，若存在，使得，則，與矛盾，故對于任意，，∴對于任意，，∵，∴對任意正整數(shù)，，∴，同理，對任意正有理數(shù)，顯然有（是互質的正整數(shù)），則，對任意正無理數(shù)，可得看作是某個有理數(shù)列的極限，而，，∴與的極限，∴，綜上對所有正實數(shù)，有，C正確，設，則，∴，則，∴是增函數(shù)，B正確；由已知，∴，∴，D正確．故選：BCD．【點睛】本題考查新定義函數(shù)，考查學生分析問題，解決問題的能力，邏輯思維能力，運算求解能力，對學生要求較高，本題屬于難題．5．已知當時，；時，以下結論正確的是（）A．在區(qū)間上是增函數(shù)；B．；C．函數(shù)周期函數(shù)，且最小正周期為2；D．若方程恰有3個實根，則或；【答案】BD【分析】利用函數(shù)的性質，依次對選項加以判斷，ABC考查函數(shù)的周期性及函數(shù)的單調性，重點理解函數(shù)周期性的應用，是解題的關鍵，D選項考查方程的根的個數(shù)，需要轉化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)，在同一圖像中分別研究兩個函數(shù)，臨界條件是直線與函數(shù)相切，結合圖像將問題簡單化.【詳解】對于A，時，即在區(qū)間上的單調性與在區(qū)間上單調性一致，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故A錯誤；對于B，當時，，，，故B正確；對于C，當時，，當時，不是周期函數(shù)，故C錯誤；對于D，由時，；時，可求得當時，；直線恒過點，方程恰有3個實根，即函數(shù)和函數(shù)的圖像有三個交點，當時，直線與函數(shù)（）相切于點，則，解得，要函數(shù)和函數(shù)的圖像有三個交點，則的取值范圍為：；當時，當時，直線與函數(shù)有兩個交點，設直線與函數(shù)（）相切于點，則，解得綜上，方程有3個實根，則或,故D正確.故選：BD.【點睛】本題考查函數(shù)的性質，單調性，及函數(shù)零點個數(shù)的判斷，主要考查學生的邏輯推理能力，數(shù)形結合能力，屬于較難題.6．對于具有相同定義域D的函數(shù)和，若存在函數(shù)（k，b為常數(shù)），對任給的正數(shù)m，存在相應的，使得當且時，總有，則稱直線為曲線與的“分漸近線”.給出定義域均為的四組函數(shù)，其中曲線與存在“分漸近線”的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BD【分析】根據(jù)分漸近線的定義，對四組函數(shù)逐一分析，由此確定存在“分漸近線”的函數(shù).【詳解】解：和存在分漸近線的充要條件是時，．對于①，，，當時，令，由于，所以為增函數(shù)，不符合時，，所以不存在分漸近線；對于②，，，，因為當且時，，所以存在分漸近線；對于③，，，當且時，與均單調遞減，但的遞減速度比快，所以當時，會越來越小，不會趨近于0，所以不存在分漸近線；對于④，，，當時，，且，因此存在分漸近線．故存在分漸近線的是BD．故選：BD．【點睛】本小題主要考查新定義概念的理解和運用，考查函數(shù)的單調性，屬于難題.7．已知函數(shù)則下列結論中正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】BC【分析】利用奇偶性的定義可得A錯B對；利用均值不等式可得C對；利用換元求導可得D錯.【詳解】是偶函數(shù)，A錯；是偶函數(shù)，B對；，當且僅當和時，等號成立，即當且僅當時等號成立，C對；令，則，令，得或時，單調遞增當有最小值，最小值為4，D錯故選：BC.【點睛】本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導數(shù)求最值等，對學生知識的運用能力要求較高，難度較大.8．設，若滿足關于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解則下列選項中，一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】設，得出函數(shù)為偶函數(shù)，從而有，因此方程必有一解為0，代入得，分和兩種情況得出函數(shù)的單調性和最值，從而求得，可得選項.【詳解】設，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，其中必有一解為0，則，①當時，當且僅當時取等號；②當時，在上遞增，，，又在上遞增，，即，.故選：CD.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合知識，關鍵構造合適的函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，單調性，最值，屬于較難題.9．狄利克雷是德國著名數(shù)學家，是最早倡導嚴格化方法的數(shù)學家之一，狄利克雷函數(shù)（Q是有理數(shù)集）的出現(xiàn)表示數(shù)學家對數(shù)學的理解開始了深刻的變化，從研究“算”到研究更抽象的“概念、性質、結構”．關于的性質，下列說法正確的是（）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是周期函數(shù)C．對任意的，，都有D．對任意的，，都有【答案】ABC【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項的正誤；驗證，可判斷B選項的正誤；分、兩種情況討論，結合函數(shù)的定義可判斷C選項的正誤；取，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，任取，則，；任取，則，.所以，對任意的，，即函數(shù)為偶函數(shù)，A選項正確；對于B選項，任取，則，則；任取，則，則.所以，對任意的，，即函數(shù)為周期函數(shù)，B選項正確；對于C選項，對任意，，則，；對任意的，，則，.綜上，對任意的，，都有，C選項正確；對于D選項，取，若，則，D選項錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于根據(jù)已知函數(shù)的定義依次討論各選項，分自變量為無理數(shù)和有理數(shù)兩種情況討論，對于D選項，可取，驗證.10．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件求得表達式，根據(jù)對數(shù)性質結合放縮法得A正確，根據(jù)不等式性質得B正確，通過作差法判斷C錯，結合指數(shù)函數(shù)單調性與放縮法可得D正確．【詳解】解：∵，，∴，，因為，又由，所以，選項A正確；，，則，，所以，選項B正確；因為，，則，，此時，所以，故選項C不正確；由和知與均遞減，再由，的大小關系知，故選項D正確.故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)值大小比較，關鍵運用了指對數(shù)運算性質，作差法和放縮法．11．已知函數(shù)，下列關于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A．當，有1個零點 B．當時，有3個零點C．當，有4個零點 D．當時，有7個零點【答案】ABD【分析】令得，利用換元法將函數(shù)分解為和，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論．【詳解】令，得，設，則方程等價為，函數(shù)，開口向上，過點，對稱軸為對于A，當時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x只有一解，即函數(shù)有1個零點，故A正確；對于B，當時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x有3個解，即函數(shù)有3個零點，故B正確；對于C，當時，圖像如A，故只有1個零點，故C錯誤；對于D，當時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有3個根，其中，，由可知，此時x有3個解，由，此時x有3個解，由，此時x有1個解，即函數(shù)有7個零點，故D正確；故選：ABD．【點睛】方法點睛：本題考查分段函數(shù)的應用，考查復合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結合是解決本題的關鍵，已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解，屬于難題．12．下列函數(shù)求值域正確的是（）A．的值域為B．的值域為C．的值域為D．的值域為【答案】CD【分析】去絕對值結合單調性和圖象即可判斷選項A；討論和，利用基本不等式求值域可判斷選項B；利用單調性即可判斷選項C；定義域為，將兩邊平方可得，由于，可得，求出的范圍即可求值域，可判斷選項D.【詳解】對于選項A：原函數(shù)化為，其圖象如圖，原函數(shù)值域為，故選項A不正確，對于選項B：，定義域為，當時，，此時，所以，當且僅當即時等號成立，當時，，此時，當且僅當即時等號成立，所以函數(shù)值域為，故選項B不正確；對于選項C：的定義域為，，因為與均在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，又在上恒不等于，則在上是減函數(shù)，則的最大值為，又因為，所以的值域為，故選項C正確；對于選項D：的定義域為，，設，則，，，則，的值域為，故選項D正確，故選：CD【點睛】方法點睛：求函數(shù)值域常用的方法（1）觀察法：一些簡單的函數(shù)，值域可以通過觀察法得到；（2）利用常見函數(shù)的值域：一次函數(shù)值域為；二次函數(shù)利用配方法，結合定義域求出值域；反比例函數(shù)的值域為；指數(shù)函數(shù)的值域為；對數(shù)函數(shù)值域為；正、余弦函數(shù)的值域為；正切函數(shù)值域為；（3）單調性法：先判斷函數(shù)的單調性，再由函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域；（4）分離常數(shù)法：將有理分式轉化為反比例函數(shù)類的形式，便于求值域；（5）換元法：對于一些無理函數(shù)如，通過換元將他們轉化為有理函數(shù)，通過求有理函數(shù)的值域間接求原函數(shù)的值域；（6）不等式法：利用幾個重要的不等式及其推論來求最值，進而求得值域，如，，以及絕對值三角不等式等；（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關于的一元二次方程，利用判別式求值域，形如或的函數(shù)適用；（8）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函數(shù)型函數(shù)值域的基本方法，形如的函數(shù)求值域，均可使用配方法；（10）數(shù)形結合法：若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等可使用數(shù)形結合法；（11）導數(shù)法：利用導數(shù)求函數(shù)值域時，一種是利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，進而根據(jù)單調性求函數(shù)的值域；一種是利用導數(shù)與極值、最值的關系求函數(shù)的值域.13．已知函數(shù)，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結論正確的是（）A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1【答案】BCD【分析】由解析式得到函數(shù)圖象，結合函數(shù)各分段的性質有，，，即可知正確選項.【詳解】由函數(shù)解析式可得圖象如下：∴由圖知：，，而當時，有，即或2，∴，而知：，∴，.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：利用分段函數(shù)的性質確定函數(shù)圖象，由二次函數(shù)、對數(shù)運算性質確定的范圍及關系.14．已知為定義在上且周期為5的函數(shù)，當時，.則下列說法中正確的是（）A．的增區(qū)間為，B．若與在上有10個零點，則的范圍是C．當時，的值域為，則的取值范圍D．若與有3個交點，則的取值范圍為【答案】BC【分析】首先作出的圖象幾個周期的圖象，由于單調區(qū)間不能并，可判斷選項A不正確；利用數(shù)形結合可判斷選項B、C；舉反例如時經(jīng)分析可得與有3個交點，可判斷選項D不正確，進而可得正確選項.【詳解】對于選項A：單調區(qū)間不能用并集，故選項A不正確；對于選項B：由圖知若與在上有10個零點，則的范圍是，故選項B正確；對于選項C：，，由圖知當時，的值域為，則的取值范圍，故選項C正確；對于選項D：當時，直線為過點，也過點，當時，，直線過點，而點不在圖象上，由圖知：當時，直線為與有3個交點，由排除法可知選項D不正確，故選：BC【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.15．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同零點，則實數(shù)的可能取值是（）A．0 B． C． D．【答案】BD【分析】分別代入各個選項中的值，選解出中的，然后再根據(jù)數(shù)形結合可得出答案.【詳解】畫出函數(shù)的圖象：函數(shù)有零點，即方程有根的問題．對于：當時，，故，，故，，，，故方程有4個不等實根；對于：當時，，故，，，當時，由圖象可知，有1個根，當時，由圖象可知，有2個根，當時，由圖象可知，有3個根，故方程有6個不等實根；對于：當時，，故，，，當時，由圖象可知，有2個根，當時，由圖象可知，有2個根，當時，由圖象可知，有3個根，故方程有7個不等實根；對于：當時，，故，，，當時，由圖象可知，有1個根，當時，由圖象可知，有2個根，當時，由圖象可知，有3個根，故方程有6個不等實根；故選：．【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵一是將問題轉化為方程問題，二是先解出的值，三是根據(jù)數(shù)形結合得到每一個新的方程的根.16．已知函數(shù)，以下結論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．最小值為2C．在區(qū)間上單調遞減 D．的零點個數(shù)為5【答案】ABD【分析】去掉絕對值，由函數(shù)的奇偶性及周期性，對函數(shù)分段研究，利用導數(shù)再得到函數(shù)的單調性，再對選項進行判斷.【詳解】∵，，∴是偶函數(shù)，A正確；因為，由函數(shù)的奇偶性與周期性，只須研究在上圖像變化情況.，當，，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時；當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時，故當時，，B正確.因在上單調遞減，又是偶函數(shù)，故在上單調遞增，故C錯誤.對于D，轉化為根的個數(shù)問題.因在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，，無實根.時，，無實根，，顯然為方程之根.，，，單獨就這段圖象，，在上變化趨勢為先快扣慢，故在內(nèi)有1個零點，由圖像知在內(nèi)有3個零點，又，結合圖象，知D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：研究函數(shù)性質往往從以下方面入手：（1）分析單調性、奇偶性、周期性以及對稱性；（2）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個容易畫出圖象的函數(shù)，將兩個函數(shù)的圖象畫在同一個平面直角坐標系中，利用數(shù)形結合的方法求解.17．若實數(shù)，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于選項A：原式等價于，對于選項C：，對于選項D：變形為，構造函數(shù)，通過求導判斷其在上的單調性即可判斷；對于選項B：利用換底公式：，等價于，利用基本不等式，再結合放縮法即可判斷；【詳解】令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞減，對于選項A：因為，所以，即原不等式等價于，因為，所以，從而可得，故選項A正確；對于選項C：，由于函數(shù)在上單調遞減，所以，即，因為，所以，取，則，故選項C錯誤；對于選項D：，與選項A相同，故選項D正確.對于選項B：，因為，所以等價于，因為，因為，所以不等式成立，故選項B正確；故選：ABD【點睛】本題考查利用對數(shù)的換底公式、構造函數(shù)法、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、結合基本不等式和放縮法比較大小；考查邏輯推理能力、知識的綜合運用能力、轉化與化歸能力和運算求解能力；屬于綜合型強、難度大型試題.18．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結論正確的是（）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ABCD【分析】根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個判斷即可.【詳解】對A,若為的跟隨區(qū)間,因為在區(qū)間為增函數(shù),故其值域為,根據(jù)題意有,解得或,因為故.故A正確；對B,因為函數(shù)在區(qū)間與上均為減函數(shù),故若存在跟隨區(qū)間則有,解得：.故存在,B正確.對C,若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因為為減函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因為,所以.易得.所以,令代入化簡可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實數(shù)根.故,解得,故C正確.對D,若存在“3倍跟隨區(qū)間”,則可設定義域為,值域為.當時,易得在區(qū)間上單調遞增,此時易得為方程的兩根,求解得或.故存在定義域,使得值域為.故D正確.故選：ABCD.【點睛】本題主要考查了函數(shù)新定義的問題,需要根據(jù)題意結合函數(shù)的性質分析函數(shù)的單調性與取最大值時的自變量值,并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.19．已知，則關于x的方程的實根個數(shù)可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【分析】畫出的圖像，由，可分