第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省福清市高二下學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=elnx，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則fA.0 B.1 C.e D.12.3名同學分別報名參加足球隊、籃球隊、排球隊、乒乓球隊，每人限報一個運動隊，不同的報名方法種數(shù)有(

)A.43 B.34 C.24 3.已知直線l與曲線y=x2?x在原點處相切，則l的傾斜角為A.π4 B.π3 C.2π4.導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，在標記的點中，函數(shù)y=f(x)的極大值點為(

)

A.x1 B.x2 C.x35.若(x?ax2)6展開式中的常數(shù)項為60A.4 B.5 C.6 D.86.一個邊長為6的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為a的小正方形，做成一個無蓋方盒.當方盒容積最大時，a的值為(

)A.12 B.1 C.2 D.7.由0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為(

)A.60 B.108 C.132 D.1448.已知函數(shù)f(x)=lnx2?x+ax是增函數(shù)，則實數(shù)aA.?4 B.?2 C.0 D.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sin2x，則(

)A.f′(x)=cos2x B.f′π2=?2

C.f(x)在0,10.關于2x?1x6的展開式，下列結論正確的是A.二項式系數(shù)和為64 B.所有項的系數(shù)之和為1

C.第三項的二項式系數(shù)最大 D.系數(shù)最大值為24011.設函數(shù)f(x)=2x3+3axA.當a>1時，f(x)有三個零點

B.當a<0時，x=0是f(x)的極大值點

C.存在a,b∈R，使得x=b為曲線y=f(x)的對稱軸

D.存在a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知m為函數(shù)f(x)=x2?lnx的極小值點，則13.若(1?2x)5(x+2)=a0+a14.現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學參加志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的序號是

．①不同安排方案的種數(shù)為5②若每項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C③若司機工作不安排，其余三項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C④若每項工作至少有1人參加，甲不能從事司機工作，則不同安排方案的種數(shù)為C4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)求下列問題的排列數(shù)：(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端．16.(本小題15分已知函數(shù)f(x)=?(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[?2,1]上的最小值為?5617.(本小題15分)已知(1?2x)2024(1)a(2)a(3)a(4)a118.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=ln(1)若函數(shù)f(x)在點(1,0)的切線與直線3x+y?2=0互相垂直，求實數(shù)a的值；(2)若不等式f(x)≥1x2在e,+∞上恒成立，求實數(shù)19.(本小題17分已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex，其中(1)當a=1時，求出函數(shù)f(x)的極值并判斷方程f(x)=kk(2)當a>?1時，證明：對于任意的實數(shù)m,n(m≠n)，都有f(m)?f(n)e答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)求導公式求出函數(shù)f(x)=elnx的導函數(shù)f′(x)，再將x=1代入導函數(shù)【詳解】對f(x)求導可得：f(x)=eln將x=1代入導函數(shù)f′(x)中，可得：綜上，f′故選：C．2.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計算原理可得答案．【詳解】不同的報名方法種數(shù)有4×故選：A．3.【答案】D

【解析】【分析】利用導數(shù)幾何意義求直線的斜率，進而確定傾斜角．【詳解】由y=x2?x得y′=2x?1，則y根據(jù)直線傾斜角與斜率關系及其范圍知：l的傾斜角為3π故選：D4.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性即可．【詳解】由圖可知：當x∈?∞,x1∪所以可知函數(shù)f(x)在?∞,x所以函數(shù)f(x)的極大值點為x1故選：A5.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項等于60求得實數(shù)a的值．【詳解】∵(x?a令6?3r=0，求得r=2，可得它的常數(shù)項為C62?故選：A．6.【答案】B

【解析】【分析】由題意可得V=4a【詳解】解：由題意可知此容器為長方體，底面為正方形，邊長為6?2a，高為a(0<所以V=a(6?2a)則V′所以當a∈(0,1)時，V′>0，V單調(diào)遞增；當a所以當a=1時，V取最大值．故選：B．7.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)插空法先排奇數(shù)，再排偶數(shù)去除0在首位的情況計算即可．【詳解】先排3個奇數(shù)，有A3排完奇數(shù)后形成4個空，插入余下3個偶數(shù)，有A4但此時0放在首位的情況有A32=6故選：B8.【答案】B

【解析】【分析】求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，利用導數(shù)不小于0建立不等式并分離參數(shù)求出最大值即可．【詳解】函數(shù)f(x)=lnx2?x+ax是增函數(shù)，由由f(x)=lnx?ln由函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，得?x∈(0,2)而?1x?所以實數(shù)a的最小值為?2．故選：B9.【答案】BC

【解析】【分析】利用復合函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)值的概念及平均變化率、瞬時變化率的算法逐項求解即可．【詳解】對于A，利用復合函數(shù)的求導法則，由f′(x)=sin對于B，因為f′(x)=2cos2x，當x=π由f(x)在0,π4上的平均變化率為fπ因為f′(x)=2cos2x，當x=0時，故選：BC．10.【答案】ABD

【解析】【分析】根據(jù)二項式定理的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】對A，二項式系數(shù)和為26對B，令x=1，2×1?1對C，二項式系數(shù)最大的是第四項，錯誤；對D，通項公式為Tr+1所以T1=C60(?1)T5=C64(?1)所以系數(shù)最大值為240，正確．故選：ABD11.【答案】ABD

【解析】【分析】對于A，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值即可判斷；由當a<0，可得?a>0，結合A，即可判斷B；判斷f(b?x)=f(b+x)是否有解，即可判斷C；求解【詳解】解：對于A，因為f′令f′(x)=0，解得所以函數(shù)在(?∞,?a),(0,+∞所以函數(shù)的極大值為f(?a)=a3?1所以f(x)有三個零點，故A正確；對于B，由A可知，當a<0時，所以函數(shù)在(?∞,0),(?a,+∞所以x=0是f(x)的極大值點，故B正確；對于C，因為f(b?x)=2(b?x)f(b+x)=2(b+x)因為f(b?x)=f(b+x)無解，所以不存在a,b∈R，使x=b得為曲線y=f(x)的對稱軸，故C對于D，因為f(1)=3a+1，f(2?x)=?當函數(shù)關于點1,f(1)中心對稱時，則有點f(x)=?即2x所以3a=?3(a+4)12(a+2)=0所以當a=?2時，函數(shù)的圖象關于(1,?故選：ABD．12.【答案】2【解析】【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可知結果．【詳解】f′(x)=2x?1x(x>0)，令f所以函數(shù)f(x)在0,22所以x=22是函數(shù)f(x)故答案為：13.【答案】?120

【解析】【分析】先求出(1?2x)5展開式的通項公式，然后求出其x的2次項系數(shù)和3次項系數(shù)，從而可出【詳解】因為(1?2x)5展開式的通項公式為所以a3故答案為：?12014.【答案】②④

【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解①，根據(jù)分組分配問題即可求解②③④．【詳解】若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的種數(shù)為45，故①錯誤；先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4則不同安排方案的種數(shù)為C52A先將5人分為3組，有C5將分好的三組安排翻譯?導游?禮儀三項工作，有A3則不同安排方案的種數(shù)是C53C對④，第一類，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機工作，再將剩下的4人分成三組，安排翻譯?導游?禮儀三項工作，則不同安排方案的種數(shù)為C4第二類，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機工作，再將剩下的3人安排翻譯、導游、禮儀三項工作，則不同安排方案的種數(shù)為C42A33故答案為：②④．15.【答案】【詳解】(1)根據(jù)相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個元素，再和其余4名男生一起排列，共有A33A(2)根據(jù)不相鄰問題插空法得，先將4名男生進行全排列，再將3名女生插在5個空位上，共有A44A(3)先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個位置上，共有A42A

【解析】【分析】(1)利用捆綁法進行排列計算可得結果；(2)利用插空法先排男生，再將女生插空排列計算可得結果；(3)根據(jù)特殊元素排法將兩端排上男生再進行全排列即可得結果．16.【答案】【詳解】(1)函數(shù)f(x)=?23求導得f′(x)=?2x2+x+3所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(?∞,?1)和(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在[?2,?1因此函數(shù)f(x)在[?2,1]上的最小值為f(?1)=?11而f(?2)=a+43=73所以函數(shù)f(x)在[?2,1]上的最大值為

【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解導數(shù)小于0的不等式即可．(2)由(1)求出函數(shù)f(x)在[?2,117.【答案】【詳解】(1)令x=1，得a(2)令x=?1，得由①?②，得2a∴a(3)相當于求展開式(1+2x)2024的系數(shù)和，令x=1，得a(4)(1?2x)兩邊分別求導，得?4048(1?2x)令x=1，得a1

【解析】【分析】(1)應用賦值法，令x=1即求值；(2)先令x=?1求得a0(3)問題化為求(1+2x)2024(4)對已知等式兩邊求導，再應用賦值法求值．18.【答案】【詳解】(1)函數(shù)f(x)=lnx所以f得f′(1)=1a(2)由題意得，lnxax≥①當a>0時，不等式可化為令?(x)=xlnx,x∈當x∈e,+∞時，所以函數(shù)?(x)在e,+∞上單調(diào)遞增．所以?(x)在x=e處取得最小值?故實數(shù)a的取值范圍0,e②當a<0時，由x∈此時lnx綜上，a的取值范圍為0,e

【解析】【分析】(1)根據(jù)導數(shù)幾何意義，利用切線斜率可構造方程求得a的值；

(2)對于a分類討論，構造函數(shù)結合導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得參數(shù)a的取值范圍；19.【答案】【詳解】(1)當a=1時，f(x)=(x+1)ex，則當x<?2時f′(x)<故f(x)在(?∞,?2)上單調(diào)遞減，在所以當x=?2時，函數(shù)f(x)有極小值方程f(x)=k解的個數(shù)，轉化為y=k與y=f(x)交點的個數(shù)，由于f(x)在(?∞,?2)上單調(diào)遞減，在所以f(x)令f(x)=0，解得x=?1.且x<?1時，f(x)<

所以，當k<?1e當k=?1e2或當?1e2(2)要證f(m)