第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省漳州第一中學高二下學期期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x>2},?A.? B.2 C.2,?3 2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(

)A.y=?1x B.y=tanx

3.若x>0,?y>0,A.24 B.26 C.32 D.924.已知關于x不等式ax2+bx+c>0的解集為x1<xA.? B.R

C.｛x|x<?235.下列說法錯誤的是(

)A.若隨機變量X服從正態(tài)分布X～N3,?σ2，且P(X≤4)=0.7，則P(3<X<4)=0.2

B.若事件M,?N相互獨立，P(M)=12,?P(N)=13，則P(M+N)=566.已知命題p：曲線y=sin2x向右平移π6個單位長度得到曲線y=sin2x?π6；命題q：“A.p和q都是真命題 B.?p和q都是真命題

C.p和?q都是真命題 D.?p7.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1A.216 B.76 C.8.已知0<α<βA.sinα?sinβ<α?β B.α?β<tan二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=x3+ax+1(a∈R)的導函數(shù)為A.f′(x)一定是偶函數(shù)

B.f(x)一定有極值

C.f(x)一定存在遞增區(qū)間

D.對任意確定的a，恒存在M10.在斜三角形?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sinA=cosBA.?ABC為銳角三角形 B.A?B=π2

C.若a=1，則b=11.若點M在平面α外，過點M作面α的垂線，則稱垂足N為點M在平面α內的正投影，記為N=fα(M).在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，記平面AB1C1D為β，平面ABCD為γA.線段PQ2長度的取值范圍是12,?22

B.存在點P使得PQ1//平面β

C.存在點P使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點(24,?25)，則sin2α1+13.若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，且f(x)的圖象與直線y=x相切，則f(x)可以是

.(寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可)14.一個書包中有標號為“1,?1,?2,?2,?3,?3,??,?n,?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關聯(lián)性，調查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：

新能源汽車A款新能源汽車B款總計男性5010x女性251540總計y25100(1)求x,y；(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關聯(lián)？(3)假設用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立.若從購買者中隨機抽取3人，設被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望．附：χ2=n(ad?bcP0.100.050.0100.005k2.7063.8416.6357.87916.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD,?AD⊥AB,(1)求證：BE//平面PAD(2)求平面PAD與平面BDE所成角的正弦值．17.(本小題15分在統(tǒng)計學的實際應用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)(即下四分位數(shù))與第75百分位數(shù)(即上四分位數(shù)).四分位數(shù)常應用于繪制統(tǒng)計學中的箱型圖，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數(shù)值就是四分位數(shù)；箱型圖中“箱體”的下底邊對應的數(shù)據(jù)為下四分位數(shù)，上底邊對應的數(shù)據(jù)為上四分位數(shù)，中間的線對應的數(shù)據(jù)為中位數(shù)，如圖1所示．已知A,?B兩個班級人數(shù)相同，在一次測試中兩個班級的成績箱型圖如圖

(1)求A班成績的上四分位數(shù)和B班成績的中位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計，兩個班級中高于140分的共8人，其中A班3人，B班5人，從中抽取3人作學習經驗分享，設這3人中來自B班的人數(shù)為X，求X的分布列．(3)在兩個班級中隨機抽取一名學生，若該生的分數(shù)大于120分，求該生來自A班和B班的概率分別是多少？18.(本小題17分)在?ABC中，內角A,?B,?C的對邊分別為a,?b,(1)求角A的大?。?2)若BD=3AD=3DC，求tanC(3)若AD為?ABC的角平分線，且AD=1，求2asin19.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=e(1)若a=0，求f(x)在1e(2)證明：f(x)存在唯一的極值點x0，且1(3)若f(x)≥1恒成立，證明：2asin23a>x0，其中答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補集、交集的定義直接求解．【詳解】由集合A={x|x>2}，得所以(?故選：B2.【答案】D

【解析】【分析】由函數(shù)解析式可得定義域，根據(jù)奇函數(shù)與增函數(shù)的定義，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，可得答案．【詳解】對于A，由函數(shù)y=?1x?2<2，但?1?2>?對于B，由函數(shù)y=tanx可得其定義域為將?x代入函數(shù)y=tanx可得tan(?x)由π4<3π4，但tan對于C，函數(shù)y=ex的定義域為將?x代入函數(shù)y=ex可得e?x≠?e對于D，函數(shù)y=2025x?sinx的定義域為將?x代入函數(shù)y=2025x?sinx可得則函數(shù)y=2025x?sin又因x∈R時，y′=2025?cosx故選：D．3.【答案】C

【解析】【分析】利用基本不等式‘1’的代換求解即可．【詳解】因為x>所以(1由基本不等式可得4xy+9y當且僅當4xy=9yx時取等，此時解得則1x+2y的最小值為故選：C4.【答案】C

【解析】【分析】依題意可得1,2是方程ax2+bx+c=0的兩根，利用韋達定理可得b,c【詳解】不等式ax2+bx+c則a<0由bx2+ax+c即3x2?x?2>0故選：C．5.【答案】B

【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質判斷A；由獨立事件的和事件的概率公式判斷B；將樣本中心代入回歸直線，解出m的值，即可判斷C；由相關系數(shù)的意義判斷D．【詳解】解：對于A，因為隨機變量X服從正態(tài)分布X～N3,?σ所以P(3<X<對于B，由題意可得P(M+N)=P(M)+P(N)?P(M)P(N)=12+對于C，將m,?1.8代入y=0.4x?m，得1.8=0.4m?m=?0.6m對于D，由相關系數(shù)的意義可知|r|越大，兩個變量之間的線性相關性越強，故D正確．故選：B6.【答案】D

【解析】【分析】分別判斷命題p，q的真假，從而可判斷?p，?【詳解】因為將曲線y=sin2x向右平移π6所以命題p為假命題，則?p因為“?x>0,所以命題q為假命題，則?q所以?p和?故選：D7.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理易得DC1=【詳解】以AB,AD,AA則DCB1D=1×所以cosD則直線DC1,故選：A．8.【答案】D

【解析】【分析】令f(x)=sinx?x,x∈0,π2，求導分析單調性可得A錯誤；令g(x)=tan令m(x)=tanx?x【詳解】對于A，令f(x)=sinx?x,x∈所以f(x)在0,12π所以sinα?α>sinβ?β對于B，令g(x)=tanx?x，x∈所以g(x)在0,12π上單調遞增，即tan對于C，因為0<α<β<βcos因為26+2對于D，令m(x)=tanx?x2，由三角函數(shù)線可得當x∈0,12π所以m′所以m(x)在0,12π上單調遞增，m(x)即tanβ>β故選：D9.【答案】ACD

【解析】【分析】求出導函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義判斷A，當a=0時，f′(x)=3x2≥0，f(x)沒有極值判斷B，分a≥0和a<0求f(x)的單調區(qū)間判斷C，結合正弦函數(shù)的值域將f【詳解】對于A，由f(x)=x3+ax+1得f且f′(?x)=3(?x)2+a=3對于B，當a=0時，f′(x)=3x2≥0，f(x)對于C，當a≥0時，f′(x)=3x2≥0當a<0時，f′(x)>則f(x)在?∞,??a和?a,+∞對于D，因為?1≤sinx≤1，所以fsin而f(x)在?1,1上必有大于0的最大值，記該最大值為M，則即對任意確定的a，恒存在M>0，使得fsin故選：ACD10.【答案】BCD

【解析】【分析】根據(jù)誘導公式以及正弦定理，結合三角恒等變換以及二次函數(shù)性質，可得答案．【詳解】由正弦定理可得asinA=bsinB，且由sinA=cosB當0<A<π2π2<A<π0<B<π可得cos=由π2<A<π，則令t=sinA+π4，則由?22×(?2)=24所以?1<cosA+cos故選：BCD．11.【答案】AB

【解析】【分析】由題意作出Q1，Q2(為C【詳解】取C1D中點Q2′，過點P在平面C1過點E在平面C1D1DC內作EQ1在正方體ABCD?A1B1C因為PE?平面CC1因為PE⊥C1D，AD∩C1D=D，AD,C同理可證EQ1′⊥平面則frfβ(P)=fr以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間坐標系設CP=a(0<a<1)，則所以DE=所以DQ1=DE則P(0,1,a),C(0,1,0),E(0,a+12,對于A，因為PQ所以|P又因0<a所以|PQ2對于B，因為CQ則平面β的一個法向量為CQ又因為PQ令CQ2?故存在點P(0,1,13)，使得PQ1對于C，由于PQ2=(0令PQ得4a2?3a+1=0所以不存在點P使得PQ1⊥對于D，因為D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1)所以DB=(1,1,0),設平面A1BD的法向量為則有DB→·n設Q1Q2與平面A1BD則sinθ令1?a3?a2+1所以不存在點P使得Q1Q2與平面A1BD故選：AB．方法點睛：涉及求空間角和距離時，利用空間向量求解，能使問題簡單化．12.【答案】?2524或【解析】【分析】先利用任意角三角函數(shù)的定義求出cosα和tan【詳解】由任意角三角函數(shù)的定義得cosα=24由二倍角公式得sin2α故答案為：?13.【答案】f(x)=sinx(答案不唯一【解析】【分析】由題意可知f(x)為奇函數(shù)，且存在a，使得f(a)=a,f【詳解】因為函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，所以所以f(x)=sin因為f(x)的圖象與直線y=x相切，所以存在a，使得f(a)=a,f若f(x)=sinx，則此時取a=0，則f(0)=sin0=0，所以f(x)可以是f(x)=sin故答案為：f(x)=sinx(答案不唯一14.【答案】35或0.6

；

；

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；【解析】【分析】先求出他手中3張單張卡片含有2張相同卡片的概率，進而得出Pn和Pn?1間的遞推關系，用累乘方法求解【詳解】2n張卡片選取3張卡片的選法共有：C2n事件“手中這3張單張卡片中含有2張相同卡片”的選法共有：n(2n?2)種；由古典概型的計算公式得其概率為：n(2n?2)C若書包中2n張卡片全部被拿走的概率為Pn將這兩張相同的卡片拿掉以后，相當于從n?1對相同的卡片中已拿出一張卡片，事件“書包中2n張卡片全部被拿走”發(fā)生需保證事件“書包中2n?2卡片全部被拿走”發(fā)生，而書包中2n?2卡片全部被拿走概率為Pn?1，因此Pn=所以P3=3故答案為：35；15.【答案】解：(1)由題意得x=50+10=60，y=100?25=75．(2)零假設為H0根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，推斷H0可以認為選購車的款式與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；(3)隨機抽取1人購買B款車的概率為p=25X的可能取值有0,1,2,3，由題意得X～由二項分布的期望公式得E(X)=np=3?

【解析】(1)利用表格數(shù)據(jù)直接計算即可．(2)列出零假設，計算χ2(3)先判斷X服從二項分布，再利用二項分布的期望公式求解即可．16.【答案】解：(1)因為PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，所以又因為AD⊥AB，AD∩AP=A,AD,AP?所以AB⊥平面PAD，即AB為平面PAD如圖以點A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，因E為棱PC的中點，則得E1,1,因BE=0,1,32，AB=(1,0,0)又BE?平面PAD，所以BE//平面(2)由(1)易得BD=(?1,2,0)，BE設平面BDE的法向量為n=(x,y,z)則n?BD=?又平面PAD的法向量m=因cosm所以平面PAD與平面BDE所成角的正弦值為1?

【解析】(1)先證明AB⊥平面PAD，即得AB為平面PAD的一個法向量，根據(jù)條件建系，求出相關點和相關向量的坐標，由BE?AB(2)利用(1)的相關結論，運用空間向量夾角的坐標公式計算即得．17.【答案】解：(1)由兩個班級的成績箱型圖可知，A班的上四分位數(shù)與B班的中位數(shù)均為120．(2)依題意X的可能取值為0，1，2，3所以P(X=0)=C3P(X=2)=C31所以X的分布列如下X

0123P

15615561528528(3)設事件M表示該同學來自A班，事件N表示該同學的分數(shù)高于120分，由成績箱型圖可得，P(M)=12，P(M由全概率公式，P(N)=P(MN)+P(=1故由貝葉斯公式，P(M|P(即該同學來自A班的概率為13，來自B班的概率為2

【解析】(1)根據(jù)統(tǒng)計學中的箱型圖的規(guī)定，易得A班成績的上四分位數(shù)和B班成績的中位數(shù)；(2)由題意確定X的可能取值，利用古典概型概率公式求出對應的概率值，列出分布列即可；(3)設事件M表示該同學來自A班，事件N表示該同學的分數(shù)高于120分，利用全概率公式先求出P(N)，再利用貝葉斯公式求P(M|N)和18.【答案】解：(1)sin由c2sinC=2整理可得sinC因為0<C<π所以cosA因為0<A<π(2)解法一：因為點D是線段BC上的一點，且BD=3AD=3DC，所以AD=DC=14a因為A=2π3，A+B+C=因為asinA=所以sin(π3所以12sinC=解法二：由已知可得AD=CD，所以C為銳角，∠CAD=C，∠ADC=π設AD=CD=x，則BD=3x，BC=4x，在?ADCAC所以AC=2xcos在?ADCAB在?ABCBC即16x整理可得AB=4xcos平方可得16x整理可得cos2C=所以有cos2C=cos2C?sin又C為銳角，所以tanC=(3)因為AD是?ABC的一條角平分線，且AD=1，A=2π所以12所以bc=b+c≥2所以bc≥4，僅當b=c=2時，“=”成立，所以2a=2a≥2當且僅當2asinA=24又當b=c=2，A=2π3