第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省重點(diǎn)高中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量AB=(?1,2)，AC=(2,3)，則BC=A.(1,1) B.(1,5) C.(3,1) D.(?3,?1)2.復(fù)數(shù)z=(1?2i)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c=1,a=23，C=π6，則A.23 B.33 C.14.已知m，n，l為三條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，若α∩β=l，m?α，n?β，且m與n異面，則(

)A.l至多與m，n中的一條相交 B.l與m，n均相交

C.l與m，n均平行 D.l至少與m，n中的一條相交5.如圖所示，等腰梯形A′B′C′D′為水平放置的平面圖形ABCD根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，B′C′//A′D′，B′C′=2A′B′=2C′D′=2，則平面圖形A.22 B.C.42 6.已知函數(shù)f(x)=sinωx?3cosωx?2(ω>0)，若對任意λ∈R，f(x)在區(qū)間(λ,λ+π3)上的值域均為[?4,0]A.(6,+∞) B.(16,+∞) C.(0,6)7.如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底B在同一平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得cos∠CBD=33,CD=1002米，在點(diǎn)C處測得塔頂A的仰角為30°，在點(diǎn)D處測得塔頂AA.80米

B.100米

C.112米

D.120米8.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時(shí)，f(x)=3x3，若對任意x∈[m?3,m]，不等式f(m?x)≤127f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)A.(?∞,4] B.[12,+∞) C.[2,4] D.[2,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)z1，z2∈C，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z1，zA.z1z1?=|z1|2 B.|z1?z2|=|z110.已知實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，b>0，a+b=ab，則下列結(jié)論正確的是(

)A.ab≥4 B.a+9b≥16

C.lga+lg4b的最小值為2lg2 D.1a11.在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c?b=2bcosA，則(

)A.A=2B

B.π4<B<π3

C.45tanB?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.i20252?i=13.紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)(其他因素忽略不計(jì))，如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的側(cè)面積約為

cm2．14.已知O為△ABC內(nèi)切圓的圓心，且2OA+3OB+3OC=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知集合A={x|1?a≤x≤1+a}，B={x|x2?x?6≥0}．

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求A∪(?RB)；

(2)若a>0，且“x∈A16.(本小題15分)

在一個(gè)如圖所示的直角梯形ABCD內(nèi)挖去一個(gè)扇形，E是梯形的下底邊上的一點(diǎn)，將所得平面圖形繞直線DE旋轉(zhuǎn)一周．

(1)說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征；

(2)求所得幾何體的表面積和體積．17.(本小題15分)

已知在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a,b,c,3b=2csinB．

(1)求C；

(2)若△ABC外接圓半徑R=2,sinAsinB=518.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=?f(x)，且f(5+x)=f(?x)(x∈R)，則稱函數(shù)f(x)為“M函數(shù)”.已知函數(shù)g(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)為“M函數(shù)”．

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)求不等式g(x)≥1的解集；

(3)將函數(shù)g(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的16(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向右平移19.(本小題17分)

如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，E，F(xiàn)分別是線段BC和DC上的動(dòng)點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)M，且BE=λBC，DF=(1?λ)DC，λ∈[0,1]．

(1)若AE?BC=0，求λ的值；

(2)當(dāng)λ=13時(shí)，求

答案解析1.【答案】C

【解析】解：BC=AC?AB=(2,3)?(?1,2)=(3,1)．

故選：C．

2.【答案】A

【解析】解：∵z=(1?2i)i=2+i，

∴復(fù)數(shù)z=2+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，在第一象限．

故選：A．

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，求出其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，c=1,a=23,C=π6，

則由正弦定理可得，sinA=asinCc=24.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閙，n，l為三條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，

又α∩β=l，m?α，n?β，且m與n異面，

所以m與l平行或相交，n與l平行或相交，但直線l與m，n不能同時(shí)平行，

若直線l與m，n同時(shí)平行，則m與n平行，與兩直線異面矛盾，

所以l與m，n中的一條相交或與m，n都相交．

故選：D．

根據(jù)線線之間的位置關(guān)系分析即可．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，在直觀圖中，A′B′=2，B′C′=2，C′D′=2，

則A′D′=2+2A′B′cosπ4=2+2×2×22=4，

由斜二測畫法可以還原原圖，如圖：

AB=2A′B′=22，AD=A′D′=4，BC=B′C′=2，6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(x)=2(12sinωx?32cosωx)?2=2sin(ωx?π3)?2，

又sin(ωx?π3)∈[?1,1]，所以f(x)∈[?4,0]，

因?yàn)閷θ我猞恕蔙，f(x)在區(qū)間(λ,λ+π3)上的值域均為[?4,0]，

所以區(qū)間長度π3必須大于一個(gè)周期，即π3>2πω(ω>0)7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，可得AB⊥BC，AB⊥BD，設(shè)AB=x，

Rt△ABC中，∠ACB=30°，可得BC=ABtan30°=3x，

Rt△ABD中，∠ADB=45°，可得BD=AB=x，

在△BCD中，cos∠CBD=33，CD=1002，

由余弦定理得CD2=BC2+BD2?2BC?BDcos∠CBD，

8.【答案】B

【解析】解：由題意知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=3x3，f(x)≥0，

此時(shí)函數(shù)在[0,+∞)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，則f(x)=?f(?x)=3x3，此時(shí)f(x)<0，

此時(shí)函數(shù)在(?∞,0)單調(diào)遞增，

又f(0)=0，故f(x)=3x3，且在R上單調(diào)遞增；

f(m?x)≤127f(x)，

則27×3(m?x)3≤3x3，

則3(3m?3x)3≤3x3，

則f(3m?3x)≤f(x)，

故對任意x∈[m?3,m]，都有3m?3x≤x，

則3m≤4x恒成立，

由此可得3m≤4(m?3)9.【答案】ABD

【解析】解：設(shè)z1=a+bi，a，b∈R，得z1?=a?bi，則z1?z1?=(a+bi)(a?bi)=a2+b2=|z1|2，故A正確；

設(shè)z2=m+ni，m，n∈R，故|z1?z2|=|(a+bi)?(m+ni)|=|am?bn+(an+bm)i|

=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2，

而|z1|?|z10.【答案】AB

【解析】解：對于A：因?yàn)閍>0，b>0，a+b=ab，

所以a+b≥2ab，解得ab≥4，當(dāng)a=b=2時(shí)取等號，故A正確；

對于B：由a+b=ab，得1a+1b=1，

a+9b=(a+9b)(1a+1b)=10+9ba+ab≥10+29ba?ab=16，當(dāng)且僅當(dāng)a=3b，即a=4，b=43時(shí)取等號，故B正確；

對于C：lga+lg(4b)=lg(4ab)≥lg16=4lg2，當(dāng)a=b=2時(shí)取等號，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?1a+11.【答案】ACD

【解析】解：對于A：因?yàn)閏?b=2bcosA，由正弦定理可得sinC?sinB=2sinBcosA，

在銳角△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAcosB?sinBcosA=sinB，

即sin(A?B)=sinB，

所以?π2<A?B<π2，故A?B=B，則A=2B，故A正確；

對于B：由A=2B，得C=π?A?B=π?3B，又△ABC為銳角三角形，

所以0<A<π20<2B<π20<π?3B<π2，解得π6<B<π4，故B錯(cuò)誤；

對于C：45tanB?1tanA=45tanB?1tan2B=45tanB?1?tan2B2tanB=310tanB+tanB2≥2310tanB?tanB2=155，

當(dāng)且僅當(dāng)310tanB=tanB2，即tanB=155時(shí)取等號，故C正確；

對于D12.【答案】?1【解析】解：由題意，原式=(i4)506?i2?i13.【答案】16【解析】【分析】本題考查圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，作出近似圓臺(tái)的軸截面，求出其母線長，由圓臺(tái)的側(cè)面積公式分析可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖為該圓臺(tái)的軸截面，

上底面半徑為r′=62=3，下底面半徑為r=102=5，高?=4，

則該圓臺(tái)的母線長為l=16+4=25，14.【答案】23【解析】解：設(shè)BC的中點(diǎn)D，圓O與AB，AC分別相切于點(diǎn)F，E，

由D為BC的中點(diǎn)，知OD=12(OB+OC).即OB+OC?=2OD，

又2OA+3OB+3OC=0，所以2OA+6OD=0，即AO=3OD，

因?yàn)镺為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，所以AB=AC，OD⊥BC．

不妨設(shè)OD=1，則OA=3，OE=OF=1．

在Rt△OAE中，AE=OA2?OE2=32?12=22．15.【答案】{x|?2<x≤3}；

(0,2)．

【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí)，A={x|?1≤x≤3}，B={x|x2?x?6≥0}={x|x≤?2或x≥3}，

則?RB={x|?2<x<3}，故A∪(?RB)={x|?2<x≤3}；

(2)a>0，且“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，

故A??RB，

故1?a>?21+a<3，解得0<a<2，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍(0,2)16.【答案】該幾何體為上半部分為圓錐，下半部分為圓柱體挖去一個(gè)半球體的組合體；

表面積24π；體積為83【解析】(1)該幾何體為上半部分為圓錐，下半部分為圓柱體挖去一個(gè)半球體的組合體；

(2)由圖中的數(shù)據(jù)可知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，高為23，圓柱的底面半徑為2，高為2，球的半徑為2，

所以S組合體=S圓錐側(cè)+S圓柱側(cè)+S半球

=π×2×4+2π×2×2+2π×22=8π+8π+8π=24π，

該幾何體的體積為：17.【答案】C=π3；

【解析】(1)因?yàn)?b=2csinB，

由正弦定理可得3sinB=2sinCsinB，

在銳角△ABC中，0<B<π2，0<C<π2，

所以sinB>0，

即sinC=32，

所以C=π3；

(2)因?yàn)椤鰽BC外接圓半徑R=2,sinAsinB=58，C=π3，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R=4，

即c32=2×2=4，c=23，a=4sinA，b=4sinB，

可得ab=16sinAsinB，所以sinAsinB=ab16，

又因?yàn)閟inAsinB=58，所以ab16=58，

解得ab=10，

由余弦定理得c2=a2+b18.【答案】g(x)=2sin(π3x?π3)；

{x|6k+【解析】(1)由f(x+3)=?f(x)，得f(x+6)=?f(x+3)=f(x)，

所以f(x)是周期為6的周期函數(shù)，

由f(5+x)=f(?x)，得f(5?x)=f(x)，

所以x=52是f(x)的一條對稱軸，

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為“M函數(shù)”，所以ω=2π6=π3，

又x=52是g(x)的一條對稱軸，所以π3×52+φ=kπ+π2(k∈Z)，

因?yàn)閨φ|<π2，所以φ=?π3，

所以g(x)=2sin(π3x?π3)．

(2)由(1)知g(x)=2sin(π3x?π3)，

則g(x)≥1，即2sin(π3x?π3)≥1，即sin(π3x?π3)≥12，

所以2kπ+π6≤π3x?π3≤2kπ+5π6(k∈Z)，

解得6k+3