高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省咸陽市禮泉縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)科素養(yǎng)評價質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線：在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，由直線：可得：，所以直線在軸上的截距為，故選：A.2.圓心為，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為圓心為，半徑為3，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.3.兩條平行直線：與：之間的距離是（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】因為兩條平行直線：與：，根據(jù)兩平行線距離公式.故選：B.4.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角等于（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，所以，所以.故選：C.5.已知空間四面體中，對空間內(nèi)任一點，滿足，則下列條件中能確定點共面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，因四點共面,由空間向量基本定理可知，需使，解得.故選：B.6.已知直線與圓：交于，兩點，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】將直線方程變形為，即.令，此時無論取何值，方程都成立，所以直線恒過定點.圓的圓心，半徑.根據(jù)兩點間距離公式，可得到的距離.當(dāng)時，最小.根據(jù)垂徑定理，此時，將，代入可得.故選：C.7.已知，則到直線的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由可知,則與同方向的單位向量為，又,,故點到直線的距離為.故選：D.8.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”是指相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圖的工具.如圖，現(xiàn)有一橢圓經(jīng)某同學(xué)以“矩”量之得，，其中為橢圓左焦點，經(jīng)過坐標(biāo)原點，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，故，得，又，故，故離心率為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則（）A.直線的傾斜角為B.直線的一個方向向量的坐標(biāo)為C.直線不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn).直線的截距式方程為【答案】ACD【解析】對于A選項，直線的斜率為，該直線的傾斜角為，A對；對于B選項，直線的方向向量為，故直線的一個方向向量為，B錯；對于C選項，作出直線的圖象如下圖所示：由圖可知，直線不經(jīng)過第三象限，C對；對于D選項，直線的方程可化為，其截距式方程為，D對.故選：ACD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，若圓與圓：沒有交點，則圓的半徑可以是（）A.1 B.2 C.8 D.9【答案】AD【解析】圓的方程為，配方可得.所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.設(shè)圓的半徑為，圓心.根據(jù)兩點間距離公式，可得圓心與圓心的距離.兩圓沒有交點，分兩種情況：外離時，即，解得.內(nèi)含時，即.當(dāng)，即時，，解得（半徑不能為負(fù)，舍去）.當(dāng)，即時，，解得.則的范圍為或.故選：AD.11.如圖，棱長均為2的正三棱柱中，、分別為、的中點，則（）A.平面B.C.直線與所成角的余弦值為D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】A：由題意，而平面，即平面不成立，錯；B：由、分別為、的中點，則，且，所以，則，易得，由底平面為等邊三角形，則，而，都在平面內(nèi)，則平面，由平面，則，都在平面內(nèi)，所以平面，平面，，對；C：為中點，連接，則，故直線與所成角，即為直線與所成角，由題設(shè)易知：，，則，對；D：由，若到平面的距離為，且，則，即，對.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線：，直線：，則直線與的交點坐標(biāo)為______.【答案】【解析】聯(lián)立直線與的方程，解方程得，即交點坐標(biāo)為.13.設(shè)，，若，分別是平面，的法向量，若，則______.【答案】【解析】由題意，則，故.14.由直線上的一點向圓引切線，切點為，則的最小值為______.【答案】【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心到直線距離為，因為，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，而的最小值為，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點分別為、、.（1）求直線的一般式方程；（2）求邊上的高線所在直線的斜截式方程.解：（1）因為點、，所以，直線的方程為，整理得，即直線的一般式方程為.（2）因為點、，則，所以，邊上的高線所在直線的斜率為，又，所以，邊上的高線所在直線的方程為，即，即邊上的高線所在直線的斜截式方程為.16.如圖，在三棱柱中，，分別為和的中點，設(shè)，，.（1）用，，表示向量；（2）用，，表示向量；（3）若，，，求.解：（1）.（2）.（3），，，.17.已知圓：和圓：.（1）求證：圓和圓相交；（2）求圓與圓的公共弦所在直線的方程以及公共弦的長.（1）證明：根據(jù)題意，圓：的圓心為，半徑，圓：，得，圓心為，半徑，圓心距，，圓和圓相交.（2）解：將兩圓方程相減，有，即兩圓公共弦所在直線的方程為，圓心到的距離，故公共弦的弦長為.18.已知橢圓C：（）經(jīng)過點，．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的左焦點且與PQ平行的直線交橢圓C于M，N兩點，求的長．解：（1）由橢圓C：經(jīng)過點，，得，而，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，橢圓的左焦點為，而直線的斜率為，因此直線的方程為，由消去y得，顯然，設(shè)，則，，所以.19.如圖，四棱錐中，平面，，，，，，是的中點.（1）證明：平面；（2）若二面角余弦值是，求實數(shù)的值.（1）證明：平面，，平面，，，又，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A