高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中測(cè)評(píng)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，設(shè)傾斜角為，則，又，所以．故選：D.2.圓心為點(diǎn)，半徑的平方為5的圓的一般方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圓心為點(diǎn)，半徑的平方為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，展開化為一般方程為．故選：B．3.已知直線：（）恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的方程可整理為，令時(shí)，，則恒過定點(diǎn)，故選：.4.若是空間的一組基底，是空間的另一組基底，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，是空間的兩組基底，所以，，不共面，，，不共面，設(shè)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不能作為基底．對(duì)于A，，，，，此時(shí)，，故不能作為基底；對(duì)于B，，，，，此時(shí)，，故不能作為基底；對(duì)于C，，，，，此時(shí)，無解，故可以作為基底；對(duì)于D，，，，，此時(shí)，，故不能作為基底．故選：C5.如圖，在直三棱柱中，，，，且，，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則可取，則點(diǎn)到平面的距離為．故選：B.6.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓和的漸近線在第一象限交于點(diǎn)，若與另一條漸近線平行，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，,又為的中點(diǎn)，所以在△中，．如圖所示，設(shè)與平行的漸近線交于點(diǎn)，即，,由雙曲線的對(duì)稱性可知，所以，所以．因此為等邊三角形，即，可得直線斜率為，則的漸近線方程為．故選：.7.已知橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在過點(diǎn)且斜率為的直線上，的中點(diǎn)在上，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，由的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)為點(diǎn)，可知，所以的斜率為，直線，又，所以Q橫坐標(biāo)，故，代入可得，聯(lián)立，得，化簡(jiǎn)得，兩邊同除以，得，解得，所以．故選：B.8.已知點(diǎn)，，定義為，的“對(duì)稱距離”．若點(diǎn)，在圓：上，則，的“對(duì)稱距離”的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】點(diǎn)，的“對(duì)稱距離”，相當(dāng)于點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以當(dāng)點(diǎn)，在圓上時(shí)，點(diǎn)在圓關(guān)于的對(duì)稱圓上，又圓心到直的距離，所以圓與相離，從而圓與圓外離．所以，的“對(duì)稱距離”的最小值，即為兩圓上的點(diǎn)，的距離的最小值，也即點(diǎn)到的距離的最小值的兩倍，其中點(diǎn)到的距離最小值為圓心到直的距離減去半徑，即，所以所求最小值為．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于空間向量，下列說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面D.已知向量，，則在上的投影向量為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，直線的方向向量為，平面的法向量為，則，則，所以或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，整理得，，由此可得有公共點(diǎn)的三向量共面，即，，，四點(diǎn)共面，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，則在方向上的投影向量為，D正確．故選：ACD.10.已知雙曲線，的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率為的直線經(jīng)過且與的右支交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.若，則C.D.若，則的面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，根據(jù)的漸近線方程為，直線經(jīng)過且與的右支交于，兩點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B，由題意得，解得，故，在中，為的中點(diǎn)，且，故，因?yàn)?，所以，所以，所以B正確．對(duì)于C，，下面說明雙曲線上右支上的點(diǎn)橫坐標(biāo)越小，越小，設(shè)右支上的點(diǎn)為，，則，故隨著的增大，增大，由于與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，所以當(dāng)與雙曲線的漸近線平行時(shí)，最小（不能達(dá)到），不妨設(shè)此時(shí)：，代入雙曲線的方程得，解得，所以，則，所以C正確．對(duì)于D，由，兩邊平方得①，在中由余弦定理得，即②，所以②－①得，所以的面積為，所以D正確．故選：BCD11.“沒有運(yùn)算的向量只能起到路標(biāo)作用，有了運(yùn)算的向量力量無窮”，除了向量線性運(yùn)算和數(shù)量積外常見的還有向量的外積．定義如下，空間向量與的外積是一個(gè)向量，其長(zhǎng)度等于，其方向滿足，，，，且三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖）．在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，為的中心，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，根據(jù)外積定義可得，又，A正確；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，根據(jù)定義可得，長(zhǎng)度相等，方向相反，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，根據(jù)定義得與反向，，所以，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，，且共面，則______．【答案】【解析】共面，則存在非零實(shí)數(shù)，滿足，則即解得所以，則，所以．13.已知平面內(nèi)點(diǎn)，，平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為______．（化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)形式）【答案】【解析】設(shè)坐標(biāo)為，由題意得，變形為，兩邊平方得，化簡(jiǎn)得，兩邊平方得，化簡(jiǎn)得.故答案為：14.已知點(diǎn)是拋物線：（）上一點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離為10，且點(diǎn)到軸的距離為6，則______．【答案】2或18【解析】由題意，，則．又點(diǎn)在拋物線上，所以，將和代入可得，解得或18．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，三棱錐中，，分別是，上的點(diǎn)，且，，設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）已知，，且，若，求的值．解：（1）．（2）由可得，即，即，即，即，．16.已知圓的圓心在直線：上，且圓與兩坐標(biāo)軸都相切，圓：．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓與圓相切，求的值．解：（1）由圓與兩坐標(biāo)軸都相切可知，圓的圓心在直線或上，又直線與直線平行，所以圓心在直線上．聯(lián)立，可得圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意：，可得圓心，半徑，所以．當(dāng)兩圓外切時(shí)，，解得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得．綜上，的值為或．17.如圖，在平面四邊形中，，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，將沿翻折至，且點(diǎn)在平面上的射影為平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面．（1）試確定點(diǎn)具體位置；（2）求二面角的余弦值．解：（1），，又平面，平面，，又，都在平面內(nèi)，平面，．，，即在線段上，過作交于，又，，即，且．平面，則平面與平面交于，且點(diǎn)在上，，平面，平面平面，．又，四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)．（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，由，得，所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則取，可得：，則，平面法向量可取為，所以即二面角的余弦值為．18.已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線：與軸交于點(diǎn)，且．（1）求的方程；（2）點(diǎn)為上不同于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，過作的兩條切線，分別交軸于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)．①證明：是的中點(diǎn)；②證明：．（1）解：如圖所示，由右焦點(diǎn)為得，因?yàn)?，所以，若，則，即，無解；若，則，即，所以，故的方程為．（2）證明：如圖所示，設(shè)，易知過點(diǎn)且與相切的直線斜率存在且不為，設(shè)為，與聯(lián)立消去整理得，由，整理得，設(shè)兩條切線，的斜率分別為，，則．①因?yàn)?，，直線的方程為，則，所以，故是的中點(diǎn)．②由題意，，，，所以，，由，得，所以，得證．19.閱讀材料：1．，是平面內(nèi)兩點(diǎn)，把這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)伸縮成原來的倍，橫坐標(biāo)不變，即，，若直線的斜率存在，則，，即；2．把圓上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的（），或者把圓上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的（），可以得到橢圓．即圓通過“拉伸”或“壓縮”得到橢圓．閱讀上述材料，并應(yīng)用材料提供方法解決下面問題：（1），，是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，把這些點(diǎn)縱坐標(biāo)伸縮成原來的倍，橫坐標(biāo)不變，得到點(diǎn)，，，，的面積分別記為，，求證；（2）若直線：與橢圓：交于，兩點(diǎn)，且，問的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是說明理由；（3）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，，直線，的斜率分別為，，求證為定值．解：（1）當(dāng)軸時(shí)，，，，，，．當(dāng)不平行于軸時(shí)，過作軸的平行線交直線于點(diǎn)，