高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市昌邑市2024-2025學年高二上學期11月期中數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線過點，，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于的斜率為，故傾斜角滿足，又，從而.故選：D.2.與向量平行的一個向量的坐標是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，，A不是；對于B，，B是；對于C，，C不是；對于D，，D不是.故選：B3.已知直線：，：，若，則a的值為（）A. B.3 C. D.3或【答案】C【解析】因為，則，解得或，當時，：，：，兩直線重合，故舍去，當時，：，：，兩直線平行，符合題意，綜上所述，.故選：C.4.已知是直線上一點，且是直線的一個法向量，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由是直線的一個法向量，得直線的一個方向向量為，其斜率為，所以直線的方程為，即.故選：A5.直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.與a的取值有關【答案】A【解析】由知直線過，而點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.故選：A.6.A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，，，M為的中點，則是（）A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定【答案】C【解析】因為M為的中點，所以，可得，所以，即，可得是直角三角形.故選：C7.已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B8.三棱錐中，，，直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點為，連接，如下圖所示：因為，所以可得，又，所以即，即，故，滿足，所以；所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，即；設平面的一個法向量為，則，令，可得；可得，設直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設橢圓：左、右焦點分別為、，是上的動點，則（）A.B.的最大值為C.的面積的最大值為D.存在點，使得【答案】BCD【解析】橢圓：的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，設的頂點，則，，C正確；對于D，由知，以線段為直徑的圓與橢圓有個交點，當點此交點之一時，，D正確.故選：BCD10.將正方形沿對角線折成直二面角，下列結論中正確的是（）A.B.C.與平面所成的角為D.與所成的角為【答案】ABD【解析】令正方形對角線的中點為，則，由二面角為直二面角，得，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，對于A，，即，則，A正確；對于B，，B正確；對于C，平面的一個法向量，，因此與平面所成的角為，C錯誤；對于D，，因此與所成的角為，D正確.故選：ABD11.已知圓：和圓：，點Q是圓上的動點，則（）A.與圓、圓都相切的直線有四條B.若圓上到直線的距離為的點有4個，則m的取值范圍是C.過點Q作圓的兩條切線，切點分別為M和N，則D.已知，，若點B為圓上一動點，則的最小值為2【答案】ACD【解析】解：對于A項：因為圓：和圓：，所以，所以兩圓外離，所以與圓、圓都相切的直線有四條，故A正確；對于B項：因為圓：，所以，所以當?shù)骄嚯x，即時，圓上到直線的距離為的點有4個，故B錯誤；對于C項：因為,又因為，即，所以，所以，又因為，所以，所以C正確；對于D項：設，則以點為圓心，為半徑的圓的方程為，因為，所以恒成立，所以以點為圓心，為半徑的圓恒過點，所以，所以,所以的最小值為2，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量為單位向量，，則向量在向量方向上投影的數(shù)量為_____.【答案】【解析】依題意，向量在向量方向上投影的數(shù)量為.故答案為：13.已知圓心在直線上，且，都是圓上的點，則圓的標準方程為______.【答案】【解析】依題意，線段的中點，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.故答案為：14.已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，母線長為.若該圓臺內(nèi)部有一個球，則球的半徑的最大值為_____；若該圓臺內(nèi)部有一個正方體，且底面在圓臺的下底面內(nèi)，當正方體的棱長最大時，以為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長度為______.【答案】①.②.【解析】依題意，圓臺軸截面是上下底邊長分別為，母線長為的等腰梯形，圓臺的高，即等腰梯形的高，由，得，圓臺內(nèi)的最大球球心在圓臺上下底面圓心所連線段上，最大球的截面大圓在等腰梯形內(nèi)，圓心在線段上，當該圓與等腰梯形的腰相切時，，以為直徑的圓同梯形的腰相交，所以球的半徑的最大值為；把圓臺還原成圓錐，則圓臺軸截面等腰梯形兩腰延長即得圓錐的軸截面等腰，正方體上底面的外接圓為圓臺平行于底面的截面圓，又圓臺的高大于其上底面圓直徑，因此正方體的棱長小于，其對角面為等腰的內(nèi)接矩形，如圖，設，則，，交于點，則，由，解得，因此正方體最大棱長為，此時以為球心，半徑為的球與正方體表面交線是該正方體共點的個正方形面與球的大圓構成的以直角為加以圓心角，半徑為的段圓弧組合而成，交線長為.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若，求的模.解：（1），則，，所以.（2）由，得，設，則，所以，解得，所以，則，所以.16.如圖，在直三棱柱中，，，，，D，E分別是，的中點.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：由直三棱柱性質(zhì)，以及D，E分別是，的中點，所以，即四邊形為平行四邊形，可得，又平面，平面，所以平面；又易知，即四邊形為平行四邊形,可得，又平面，平面，所以平面；顯然平面，所以平面平面；（2）解：因為是直三棱柱，所以，又，所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：由，，，，可得：，即；設平面的一個法向量為，則，令，可得；可得，易知平面的一個法向量為，則,結合圖形可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，滿足條件的點P的軌跡為C.（1）求C的軌跡方程；（2）點M為直線：上動點，過M作C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，當四邊形的面積最小時，求直線的方程.解：（1）設軌跡上任意一點，由題意，所以，化簡得（2）由題意可知:直線到圓心的距離為，則直線與圓相離，若四邊形的面積最小，即三角形的面積最小，因為，則最小，即最小.所以由向直線作垂線，垂足為，所以直線，所以，由題意可得四邊形的外接圓方程為即.所求的直線即為兩圓的相交弦所在的直線，將與兩圓方程作差得，則直線的方程為:.18.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，M為的中點，設平面與平面的交線為.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）設H為上的動點，當與平面所成角的正弦值最大時，求的長.（1）證明：由，為的中點，得，則四邊形為平行四邊形，，而平面平面，則平面，又平面，平面平面，因此，而平面，平面，所以平面.（2）證明：作交于，連接，由四邊形為等腰梯形，，，得，由（1）知，，又，則為等邊三角形，，為中點，又四邊形為等腰梯形，為中點，則，四邊形為平行四邊形，，于是為等腰三角形，，，有，因此，平面，則平面，而平面，所以平面平面.（3）解：由（2）知直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，令，得，設，設與平面所成角為，則當時，取得最大值，此時.19.球面三角學是球面幾何學的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的角、邊、面積等問題，其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應用.定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點A，B，C，過任意兩點的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的A和；若球面上A，B，C，的對徑點分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球O的半徑為R，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面、圓弧和所在平面交