高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線在軸上的截距是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于直線，它在軸上的截距為.故選：A.2.下列方程所表示的直線中，傾斜角為的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】?jī)A斜角為，則其斜率為，對(duì)A，斜率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，斜率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，斜率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，即，其斜率為，故D正確；故選：D.3.已知點(diǎn)沿著向量的方向移動(dòng)到點(diǎn)Q，且，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),，則，由得，解得或（舍），∴，∴，∴，即.故選：C.4.已知圓，則過(guò)點(diǎn)的圓C的切線方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】，則圓心坐標(biāo)為，半徑為2，由于，可知點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為，符合題意，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則，解得，此時(shí)直線方程為，即.綜上所述，切線方程為：或.故選：D.5.已知正方體中，，分別為上底面和下底面的中心，則下列與和共面的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,0,，,0,，,0,，,2,，,2,，,2,，,1,，,1,，所以，，設(shè)與和均平行的平面的法向量為,,，則有，令，則,1,，對(duì)于A，，則，所以與和共面，故A正確；對(duì)于B，，則，所以不與和共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，所以不與和共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，所以不與和共面，故D錯(cuò)誤．故選：A．6.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，D為的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，∴，由圖可知，平面的法向量為.設(shè)與平面所成的角為，則，故與平面所成的角的正弦值為.故選：B.7.已知點(diǎn)在直線上，若以P為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則，因?yàn)閳A可化為，所以圓A的圓心為，半徑為，因?yàn)橐訮為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，即，解得，則，即，則.故選：B.8.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，E上兩動(dòng)點(diǎn)M，N均位于x軸上方，且，若與的交點(diǎn)在y軸上，且縱坐標(biāo)為，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，由于，與的交點(diǎn)在y軸上，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，知道則，代入，求得，求得，故.設(shè)與的交點(diǎn)在y軸上，為.顯然,,代入.即，化簡(jiǎn)得，，即.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，直線，若或，則a的值可能為（）A.4 B. C. D.1【答案】BC【解析】對(duì)于直線，直線，若，則，所以，解得，故B正確；若，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，故C正確；由上述解析可知AD錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知圓，則（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.若點(diǎn)在圓上，則的最大值為C.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的值為D.若點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)在圓上，，則的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閳A，可化為，所以圓心，半徑為，設(shè)，則，又點(diǎn)在圓上，所以直線與圓有交點(diǎn)，即，解得，所以的最大值為，故B正確；因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，而圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，則，而的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，且在線段時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.故選：BCD.11.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時(shí)，的面積S的最大值為C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面【答案】AC【解析】由題意得，.∵，平面，平面，，∴平面，∵，∴平面.由得點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，∴，由得，.A.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到距離為，故，為定值，選項(xiàng)A正確.B.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，由平面，平面，得，∴，最大值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.當(dāng)時(shí)，，由得，，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得，選項(xiàng)C正確.D.當(dāng)時(shí)，，由題意得，四邊形為正方形，故，要使平面，需，∵，∴不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.定義，若向量，向量的模為2，向量與向量的夾角為，則_______.【答案】6【解析】由題意.13.已知，，點(diǎn)C，D滿足，，則D點(diǎn)的軌跡方程為______________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，又，，則，，，因?yàn)椋?，則，故，因，所以，所以，則，所以D點(diǎn)的軌跡方程為.14.“若點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)P處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一.已知橢圓，點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線為直線l，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓，所以，，即，如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由題意可知，又因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，且，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡為以為原點(diǎn)，為半徑的圓，圓的方程為，易知點(diǎn)到圓心的距離為，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C.（1）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線被圓E截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.解：（1）依題意，設(shè)點(diǎn)，因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，故，設(shè)的外接圓的一般方程為，則，解得，則圓的一般方程為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，易知滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)的方程為，即綜上，所求直線的方程為或.16.如圖，在三棱錐中，，，M在線段上，且，N為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求異面直線，所成角的余弦值.（1）證明：連接，如圖，，N為的中點(diǎn).，，又平面，，平面，由平面，所以；（2）解：取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，如圖，則，異面直線，所成的角為或其補(bǔ)角，由題意，，，，所以，又，,所以，則在中，，即異面直線，所成角的余弦值為.17.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，左焦點(diǎn)為.（1）求橢圓C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.解：（1）由題意可知，解得.橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，恒成立，，，，，，整理得，解得或(舍去)，，直線的方程為或.18.如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.（1）求證：平面；（2）當(dāng)，時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在（2）的條件下，若為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)G的位置.（1）證明：取BD中點(diǎn)，連接PO，是BM的中點(diǎn)，，且，在線段CD上取點(diǎn)，使，連接OF，QF，，，且，，四邊形POFQ為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：，則，，取BD中點(diǎn)，則，又平面，平面BCD，以為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，，，，所以，故，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：由（2）知為BD中點(diǎn)，為AD中點(diǎn)，連接OM，，點(diǎn)為內(nèi)動(dòng)點(diǎn)且平面QGM，又平面ABD，平面平面，，故點(diǎn)在OM上，設(shè)，又，，，則，，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)QG與平面所成角為，則最大時(shí)，最大，，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)最大，即當(dāng)點(diǎn)位于中位線靠近的八等分點(diǎn)的第3個(gè)點(diǎn)處時(shí)，QG與平面所成角最大.19.定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱M，N為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作，已知四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：有兩個(gè)點(diǎn)G滿足“共軛點(diǎn)對(duì)”，并求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)G分別為，，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓E上，滿足且點(diǎn)P，Q在直線兩側(cè)，求四邊形的面積的最大值.（1）解：由于A，D兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題意知橢圓經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，顯然橢圓不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，且的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因此，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”定義可知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足