高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知（，且），則（）A.28 B.42 C.43 D.56【答案】A【解析】,.故選:A.2.從4名男生、3名女生中選2人分別擔(dān)任班長(zhǎng)和副部長(zhǎng)，要求選出的2人中至少有一名男生，則不同的方法數(shù)為（）A.18 B.24 C.30 D.36【答案】D【解析】由題意從4名男生、3名女生中選2人分別擔(dān)任班長(zhǎng)和副部長(zhǎng)的方法數(shù)有，從3名女生中選2人分別擔(dān)任班長(zhǎng)和副部長(zhǎng)的方法數(shù)有，所以選出的2人中至少有一名男生方法數(shù)為.故選：D.3.已知的展開式中的系數(shù)為17．則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】根據(jù)題意，的展開式通項(xiàng)為，所以的展開式中為：，則，解得.故選：A4.某網(wǎng)紅奶茶店“ChillTea”在市中心有三個(gè)分店：A店、B店、C店.根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)，顧客選擇、、店的概率分別為30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作時(shí)間超過15分鐘的概率分別為：店20%、店40%、店30%.若小明隨機(jī)選擇一個(gè)分店下單，他等待超過15分鐘的概率是（）A.28% B.32% C.35% D.40%【答案】B【解析】由題意選擇店并超時(shí)的概率為：；選擇店并超時(shí)的概率為：；選擇店并超時(shí)的概率為：；所以等待超過15分鐘的概率為，故選：B5.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（）A. B.0 C. D.或【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上點(diǎn)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，所以，此時(shí)，所以.故選：A.6.從這個(gè)數(shù)字中選個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則該三位數(shù)能被整除的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從這個(gè)數(shù)字中選個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)：（個(gè)），三位數(shù)是的倍數(shù)，需要滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和是的倍數(shù)，有兩種情況和；由組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，由組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，所以一共有：個(gè)，這個(gè)三位數(shù)被整除的概率是，故選D.7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.【答案】A【解析】易知，因?yàn)?，令，得，或，則時(shí)，，時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A符合題意,故選：A.8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，若時(shí)，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若時(shí)，由求導(dǎo)得，，因，故恒有，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；要使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，多選得0分9.中國(guó)的五岳是指在中國(guó)境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個(gè)方位，分別是東岳泰山,西岳華山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明與其父母共3人計(jì)劃在假期出游，每人選一個(gè)地方，則下列結(jié)論正確的是（）A.3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為60B.恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為15C.恰有1人選泰山的方法總數(shù)為48D.至少1人選泰山的方法總數(shù)61【答案】ACD【解析】對(duì)于A，3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為，A正確；對(duì)于B，恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，恰有1人選泰山的方法總數(shù)為，C正確；對(duì)于D，3人選擇的方法總數(shù)為，沒有人選擇泰山的方法數(shù)為，因此至少1人選泰山的方法總數(shù)，D正確.故選：ACD10.甲罐中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球．整個(gè)取球過程分為兩步：（1）先從甲罐中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙罐，記事件為“取出的是紅球”，事件為“取出的是白球”；（2）再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出兩個(gè)球，記事件B為“取出的兩球都是紅球”，事件C為“取出的兩球?yàn)橐患t一白”，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由題意知，，，，，，，.故選：.11.已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)，則下列的結(jié)論正確的是（）A.B.區(qū)間上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值【答案】AC【解析】由有，由圖可知的分布如圖所示：當(dāng)時(shí)，，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，即在單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，由圖可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以，由圖可知當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若甲同學(xué)在某次期中考試中數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)第一的概率為，記該同學(xué)在本次期中考試中數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)第一發(fā)生的次數(shù)為離散型隨機(jī)變量，則______.【答案】【解析】由題意可得服從兩點(diǎn)分布，故，故.故答案為：13.某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，已知甲同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)“整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建”這5個(gè)項(xiàng)目對(duì)應(yīng)的編號(hào)分別為，則從五個(gè)項(xiàng)目中選三個(gè)的情況有：，共10種情況，其中甲選的項(xiàng)目中含的有：6種情況，其中再選擇項(xiàng)目的有：3種情況，故甲參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦“，則他還參加“田間灌溉“項(xiàng)目的概率為．故答案為：.14.已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知二項(xiàng)式，且滿足.（1）求值，并求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)；解：（1）因?yàn)?，即，整理得，解得或（舍去），?所以展開式的通項(xiàng)為（且），則，故二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第項(xiàng)，為；（2）令，解得，所以，所以二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.16.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.（1）如果參加選拔的9名同學(xué)站成一排且男生不相鄰共有多少種站隊(duì)方法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種選法？（3）如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法？解：（1）先安排4名女生，出現(xiàn)5個(gè)空位，再安排5名男生，所以參加選拔的9名同學(xué)站成一排且男生不相鄰共有種方法；（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在內(nèi)，包含兩種情況，第一種甲和乙都在內(nèi)的選法有種，第二種情況，甲乙選人，有種選法，則如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，共有種選法；（3）如果人中必須既有男生又有女生，先從所有人中選人，去掉只有男生和只有女生的情況，故有種選法.17.化州市宏達(dá)廣場(chǎng)的惠客多超市準(zhǔn)備在2024年五一假期舉辦了一場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，并且設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，其中三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，每種獎(jiǎng)品都有若干個(gè)，凡是在該商場(chǎng)消費(fèi)的人均可參與抽獎(jiǎng)，消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)后可從4種獎(jiǎng)品中隨機(jī)選擇一種，每種獎(jiǎng)品被選中的可能性相同，且每位消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為．（1）求甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的概率；（2）若有4位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)，記三等獎(jiǎng)的4種獎(jiǎng)品中無人挑選的獎(jiǎng)品種數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列．解：（1）設(shè)事件為“甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇獎(jiǎng)品不一樣”，由三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，故甲、乙2位消費(fèi)者的選擇情況共有（種），其中2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的情況有（種），因?yàn)槊课幌M(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為，所以，．（2）由題，的所有可能取值為0，1，2，3，由題知，4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，共有種情況，表示4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，所以；表示4個(gè)人挑選了3種獎(jiǎng)品，故有2個(gè)人選中同一種獎(jiǎng)品，所以；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了2種獎(jiǎng)品，從4種獎(jiǎng)品中選2種獎(jiǎng)品的方法有（種），對(duì)于被選中的2種獎(jiǎng)品，4個(gè)人不同的選擇方法有（種），所以有2種獎(jiǎng)品被選中的方法有（種），所以，；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了同一種獎(jiǎng)品，所以．所以的分布列為012318.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（3）當(dāng)時(shí)，求證.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，故，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，所以，即，解得，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）法一：令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，..故，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以；法二：當(dāng)時(shí)，，故只需證明當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，故在上有唯一實(shí)根，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值.由得，故.綜上，當(dāng)時(shí)，.19.定義：，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,則稱為“M函數(shù)”.（1）若為“M函數(shù)”，求m的取值范圍.（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).①求a的取值范圍；②證明：為“M函數(shù)”.解：（1）由，求導(dǎo)可得，令，解得，由函數(shù)為“函數(shù)”，則，可得，解得.（2）①由，則，求導(dǎo)可得，令，由題意可得函數(shù)存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，由，令，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，