高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市優(yōu)高聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的公差為，因此，.故選：A.3.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】，所以，所以則.故選：B.4.為研究某種植物的生長高度y（單位：cm）與光照時(shí)間x（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系,研究人員隨機(jī)測量了12株該種植物的光照時(shí)間和生長高度,得到的回歸方程為,則樣本的殘差的絕對值為（）A.1.05 B.1.15 C.1.25 D.1.35【答案】A【解析】把代入，可得生長高度y的估計(jì)值為，則樣本的殘差的絕對值為.故選：A.5.在等比數(shù)列中，，記，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】等比數(shù)列中，，所以，當(dāng)，當(dāng)，，則的最大值為.故選：C.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，故得，解得.故選：B.7.已知數(shù)列滿足，若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，則數(shù)列的首項(xiàng)為，，，故.故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的大小關(guān)系為（）A B.C. D.【答案】B【解析】由，得到，令，則，所以（為常數(shù)），又，則，所以，得到，又，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列命題正確的是（）A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.75和-0.90，則乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng)B.在回歸方程中，當(dāng)變量每增加1個(gè)單位時(shí)，變量平均增加2個(gè)單位C.一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.95D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，因?yàn)?，所以乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故A正確；對于B選項(xiàng)，回歸方程中，斜率2表示當(dāng)每增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加2個(gè)單位，故B正確；對于C選項(xiàng)，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，說明完全線性相關(guān)，且為正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)應(yīng)為1，而非0.95，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心點(diǎn)，所以將代入線性回歸方程中得，，解得，故D正確.故選：ABD.10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)且滿足，則（）A.. B.數(shù)列為等比數(shù)列.C.. D..【答案】BC【解析】構(gòu)造等比數(shù)列，兩邊加1得:，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得：，，，由，首項(xiàng)得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由可知是公比為2的等比數(shù)列，選項(xiàng)B正確；，選項(xiàng)C正確；，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的極小值為 B.若存在，使得，則C.當(dāng)時(shí)，無解 D.若在上不存在極值，則【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，易知其定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，得到，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，極小值為，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，由，得到，所以，令，則，令，得到，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，則，得到，故選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，即，得到又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，，由題知或恒成立，即或恒成立，令，則，令，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，即，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，且，則______.【答案】【解析】由題意可得，，則.故答案為：13.已知函數(shù)圖象的兩條切線相互垂直，并分別交軸于A，B兩點(diǎn)，則__________.【答案】2【解析】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)和處的兩條切線互相垂直，如圖，可得的零點(diǎn)為1，故不妨設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，則，,所以，即．因?yàn)椋?，即，：，即，則，，因?yàn)椋?，?故答案為：2.14.已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，當(dāng)時(shí)，使得的最小n為______；設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則所有可能的取值為______.【答案】13；235，257，284【解析】依題意，，，所以當(dāng)時(shí)，使得的最小n為13；由，得，則或，若，則；若，則或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由，得，因此數(shù)列從第6項(xiàng)起成周期性，周期為3，于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以所有可能的取值為235，257，284.故答案為：13；235，257，284四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，解得，所以.（2）由（1）知，所以的前項(xiàng)和所以①－②得，故.16.某科技公司為了提升其產(chǎn)品的市場競爭力，每年都會投入一定的資金用于研發(fā)和市場推廣.（1）該公司從管理層到基層員工中隨機(jī)抽取了120名進(jìn)行調(diào)研，現(xiàn)將120名員工的學(xué)歷劃分為“高學(xué)歷”和“低學(xué)歷”,對投入一定的資金用于研發(fā)和市場推廣劃分為“支持”和“不支持”,整理得到如下數(shù)據(jù)：支持不支持合計(jì)高學(xué)歷30低學(xué)歷40合計(jì)60120請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整并回答：是否有的把握認(rèn)為高學(xué)歷群體和低學(xué)歷群體對投入資金研發(fā)和市場推廣的滿意度有關(guān)？（2）通過對該公司2015年至2024年每年的研發(fā)投入（單位：百萬元）與年利潤增量y（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得到回歸模型為：，且有.請求出該模型中關(guān)于的回歸方程并預(yù)測投資金額為6百萬元時(shí)的年利潤增量．參考公式及參考數(shù)據(jù)，其中，臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828.解：（1）由題完成列聯(lián)表得：支持不支持合計(jì)高學(xué)歷302050低學(xué)歷304070合計(jì)6060120由表中的數(shù)據(jù)可得，所以沒有的把握認(rèn)為高學(xué)歷群體和低學(xué)歷群體對投入資金研發(fā)和市場推廣的滿意度有關(guān)．（2）由，所以，，所以，則，所以關(guān)于的回歸方程，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)投資金額為6百萬元時(shí)年利潤增量的預(yù)測值為（百萬元）.17.已知在時(shí)有極值0.（1）求常數(shù)a，b的值；（2）如果存在，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù).解：（1）由可得，因時(shí)有極值0，可得，即，解得：，（因，故舍去）或，當(dāng)時(shí)，，由可得或，由可得，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在時(shí)取得極小值，符合題意.故.（2）由（1）可知，，1

+00+

0增4減0增2所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且，如果存在使得成立，等價(jià)于．而.故得，因時(shí)，，所以，即滿足條件的最大整數(shù)為20．18.已知數(shù)列和滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②①－②，可得，所以又滿足，故.對于數(shù)列法一：由數(shù)列，同除得，即，又故數(shù)列是首項(xiàng)為2的常數(shù)列，故通項(xiàng)公式為.法二：，累加得：，又所以當(dāng)時(shí)，符合上式.所以（2）令，所以因?yàn)?，?9.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為D.設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn).當(dāng)時(shí),設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于的“N數(shù)列”.（1）若是函數(shù)關(guān)于的“N數(shù)列”，求的值；（2）若是函數(shù)關(guān)于的“N數(shù)列”,記.（i）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）證明：.解：（1），曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，則在處的