高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.已知直線l的方程為，則l的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】由題意得，直線斜率為，即，又，則.故直線的傾斜角為.故選：A.2.已知直線與直線平行，則的值為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】由兩直線平行得：，解得或.當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不合題意.當(dāng)時(shí)，，即，，兩直線平行，符合題意.故的值為.故選：A.3.已知雙曲線，若點(diǎn)到的漸近線距離為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)到的漸近線距離為，即，解得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.4.在四面體中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，用向量，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，由題意得，.故選：D.5.已知圓不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與圓相切，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榕c相切，所以或，所以或，因?yàn)椴唤?jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故選：C.6.已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)時(shí)，二面角平面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，菱形滿足，，則和都為等邊三角形，所以，，又，則，所以就是二面角的平面角，由于，所以，所以是等邊三角形，所以，即二面角平面角的大小為.故選：B.7.已知橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.若橢圓離心率為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2由題意，橢圓的離心率為，可得，因?yàn)?、關(guān)于直線對(duì)稱，且直線的斜率為，則，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，即，即，即，①又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，②聯(lián)立①②可得，故線段的中點(diǎn)為.故選：C.8.已知四棱錐的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，其各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)樗睦忮F的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，所以頂點(diǎn)在底面射影是底面四邊形外接圓的圓心.因?yàn)?，所以△為等腰三角?因?yàn)?，所以，故△為等邊三角形，則.設(shè)底面四邊形外接圓半徑為，則根據(jù)正弦定理得，即，解得.設(shè)線段的中點(diǎn),則，那么由勾股定理可知，所以，故是等邊三角形的中心，則.設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意可知球心在射線上，當(dāng)球心在線段上時(shí)，如圖1所示，則，即，解得，此時(shí)，不符合題意舍去.當(dāng)球心在射線上且在平面的下方時(shí)，如圖2所示，，即，解得，此時(shí)符合題意，故球的半徑，所以根據(jù)球體的表面積公式知該四棱錐外接球的表面積為.故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知空間中四點(diǎn)，，，，則（）A. B.C.在上的投影數(shù)量為 D.為銳角【答案】BCD【解析】A：因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，所以，所以，故正確；C：因?yàn)?，所以，，所以在上的投影?shù)量為，故正確；D：因?yàn)?，所以，由坐?biāo)可知不共線，所以為銳角，故正確；故選：BCD.10.已知直線，圓，為圓上任意一點(diǎn)，則（）A.直線過(guò)定點(diǎn) B.若圓關(guān)于直線l對(duì)稱，則C.的最大值為 D.的最大值為3【答案】BC【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為2,0，半徑為；A：因?yàn)?，令，可得，所以過(guò)定點(diǎn)，故錯(cuò)誤；B：若圓關(guān)于對(duì)稱，則過(guò)圓心2,0，所以，解得，故正確；C：表示連線的斜率，設(shè)，即，如下圖，當(dāng)與相切時(shí)，此時(shí)取最值，所以，解得，所以的最大值為，即的最大值為，故正確；D：表示，因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；故選：BC.11.在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，N為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.存在點(diǎn)N使得垂直于平面C.若平面，則D.直線與平面所成角的最大值為【答案】ACD【解析】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，即，故A正確；對(duì)于B，由A知，，設(shè)，則，即，所以，又平面，則，無(wú)解，所以不存在點(diǎn)N使得垂直于平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B知，設(shè)，可得，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x則，令，得，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，由B知，設(shè)，可得，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即直線與平面所成角的最大值為，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上的高為_(kāi)_______.【答案】【解析】，則直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，則邊上的高為.13.在三棱錐中，已知，，點(diǎn)P到，的距離均為，那么點(diǎn)P到平面的距離為_(kāi)_______.【答案】【解析】過(guò)P作AC，AB垂線，垂足為E，F(xiàn)，由題，則.又，則，又，，則.則，又由勾股定理，可得.取BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD.由以上分析可知.因平面PAD，則平面PAD.過(guò)P作AD垂線，垂足為G，則，又平面PAD，則.因平面ABC，則平面ABC，即PG為P到平面的距離.在中，因，，則.又在中，，則；又，則為以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則即D和G重合，則.14.已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則________；的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、B，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，所以，，，則，直線交軸于點(diǎn)，所以，.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C過(guò)點(diǎn)，，且圓關(guān)于x軸對(duì)稱.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.解：（1）由圓關(guān)于x軸對(duì)稱可知圓心x軸上，設(shè)圓心，半徑為；即可得，解得，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為，顯然不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為；易知圓心到直線的距離又可解得或，即直線l的方程為或.16.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程及；（2）斜率為的直線與拋物線的交點(diǎn)為、（在第一象限內(nèi)），與軸的交點(diǎn)為（、不重合），若，求的周長(zhǎng).解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，可得，所以，拋物線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可得，解得.（2）設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)橹本€的斜率為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1由，可得，則，可得，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，可得，，所以，，可得，所以，，，所以，的周長(zhǎng)為.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：在中，由余弦定理得，解得，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，故，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知雙曲線C:x2a2-（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，，求的最小值；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.解：（1）由題意知雙曲線C:x2a2-y2b2故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，，則，當(dāng)，即時(shí)，最小值為，當(dāng)，即時(shí)，最小值為；（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)不妨取,則；當(dāng)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，不妨令，聯(lián)立，得，由于直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，必有，直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，需滿足或，則，則，綜合以上可知為定值.19.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方），當(dāng)過(guò)時(shí)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將平面沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）垂直.①當(dāng)B為橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)，求折疊后直線與平面所成角的正弦值；②求三棱錐體