高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的一個方向向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，直線斜率為-2，所以直線的一個方向向量為.故選：B.2.已知雙曲線：的焦距為4，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由雙曲線：的焦距為4，得，所以.故選：D3.已知橢圓的焦點在軸上，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓的焦點在軸上，則，解得，所以的取值范圍為.故選：C4.若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線，所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量與，得，而，則，所以直線，所成角的大小.故選：B5.圓：與圓：的公切線的條數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，則，因此圓與圓外切，所以圓與圓外切有3條公切線故選：B6.設(shè)F為拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上的三個點，若，則（）A.6 B.4 C.3 D.【答案】C【解析】由題意得焦點，設(shè)點Ax1,y1，則，所以，所以.故選：C.7.在四棱錐中，，，，則此四棱錐的高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以此四棱錐的高.故選：B.8.已知是圓：上任意一點，若的取值與無關(guān)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】D【解析】依題意，，當且僅當或時取等號，因此，即，則，要的取值與無關(guān)，當且僅當，此時，由，得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線C上，若，則（）A.F的坐標為 B.C. D.【答案】BCD【解析】由拋物線，可得，所以，且焦點在y軸正半軸上，則焦點，所以A錯誤；由拋物線的定義,可得，解得，所以B正確；由，可得，所以，則，所以C正確；由，所以D正確．故選：BCD．10.已知點是橢圓上關(guān)于原點對稱且不與的頂點重合的兩點，的左?右焦點分別為，點為原點，則（）A.的離心率為B.的值可以為3C.D.若的面積為，則【答案】ACD【解析】A選項，橢圓中，，離心率為，A正確；B選項，設(shè)，且，則，故，所以，B錯誤；C選項，由對稱性可得，所以，C正確；D選項，不妨設(shè)在第一象限，Ax0,y0，則則，則，故，故D正確.故選：ACD.11.已知點是棱長為的正方體表面上的一個動點，則（）A.存在點，使得B.若是中點，當在棱上運動時，存在點使得C.當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是D.若是的中點，當點在底面上運動時，存在點使得平面【答案】BCD【解析】A選項：由已知若，則在線段靠近的三等分點處，此時點不在正方體表面，A選項錯誤；如圖所示建立空間直角坐標系，B選項：由已知，又點在棱上，則可設(shè)，，則由，得，解得，B選項正確；C選項：由已知，設(shè)，，則，即，則，所以與所成角的余弦值為，當時，，當時，設(shè)，則，綜上所述，即，C選項正確；D選項：由已知，設(shè)，x∈0,2且，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，若平面，則，即，即點在直線上，又直線與正方形有公共點，所即存在點可使得平面，D選項正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若圓關(guān)于直線對稱，則_________．【答案】【解析】圓的圓心為，依題意，點在直線上，即，解得，此時圓，即，符合題意，所以.故答案為：13.定義行列式運算，設(shè)向量，，．已知，，則________．【答案】【解析】由可得：所以，故答案為：14.已知，是雙曲線：（，）的左、右頂點，，是雙曲線上第二象限內(nèi)的點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，且，則雙曲線的離心率為_________；當取得最大值時，則點的縱坐標為_________．【答案】①.②.【解析】依題意，，，雙曲線：，設(shè)，則，，，所以雙曲線的離心率；顯然，則，當且僅當時取等號，由，解得，而，則，所以點的縱坐標為.故答案為：2；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓，點．（1）若橢圓的左焦點為，上頂點為，求點到直線的距離；（2）若點是橢圓的弦的中點，求直線的方程．解：（1）如上圖，∵橢圓方程為，點，∴橢圓左焦點是，上頂點，則直線在軸、軸截距為和，∴直線的截距式方程為，可化為，∴點到直線的距離．（2）如上圖，設(shè)，則，兩式相減得：，∴直線的斜率①，又∵點是橢圓的弦的中點，∴，，∴代入①式得：，∴直線的方程為，即．16.如圖，在四棱錐中，平面，，，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：，，即，又平面，且平面，，又，平面，，平面；（2）解：如圖所示，以點為坐標原點，，，方向為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則A2,0,0，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以，則直線與平面所成角的正弦值為.17.已知兩直線和的交點為．（1）若直線過點且與直線平行，求直線的一般式方程；（2）若圓過點且與相切于點，求圓的標準方程．解：（1）聯(lián)立方程組，解得，所以直線和的交點．因為直線與直線平行，故可設(shè)直線．又直線過點，則，解得，即直線的方程為．（2）設(shè)所求圓的標準方程為，直線斜率為，故直線CP的斜率為，由題意可得，解得，故所求圓的標準方程為．18.已知雙曲線的漸近線上一點與右焦點的最短距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標原點，直線與雙曲線的右支交于、兩點，與漸近線交于、兩點，與在軸的上方，與在軸的下方．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍．（ⅱ）設(shè)、分別為的面積和的面積，求的最大值．解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，且，因為到直線的距離為，故，則，故雙曲線的方程為：．（2）如圖，（?。┰O(shè)Ax1,y1消元得，則，因為直線與雙曲線右支交于兩點，故，則，故的取值范圍為-1,1．（ⅱ）由（ⅰ）知，，原點到直線的距離，設(shè)，，聯(lián)立，則，，，，則，而，令，則，當即時取到等號．綜上所述，的最大值為．19.定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求“共軛點對”中點所在直線的方程；（3）設(shè)為坐標原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標大于0，設(shè)四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.（1）解：依題意，橢圓的另一焦點為，因此，于是，所以橢圓的標準方程為.（2）解：設(shè)“共軛點對”中點B的坐標為，由（1）知，點在橢圓C：上，依題意，直線l的方程為，整理得，所以直線的方程為.（3）證明：由（2）知，直線：，由，解得或，則，，設(shè)點，，則，兩式相減得