4機械能守恒定律[學(xué)習(xí)目標]1.了解人們追尋守恒量和建立“能量”概念的漫長過程.2.知道什么是機械能，知道物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化.3.知道機械能守恒的條件，會判斷一個過程機械能是否守恒，能運用機械能守恒定律解決有關(guān)問題．一、追尋守恒量伽利略曾研究過小球在斜面上的運動，如圖1所示．圖1將小球由斜面A上某位置由靜止釋放，如果空氣阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度變?yōu)?(即到達最高點)時的高度與它出發(fā)時的高度相同，不會更高一點，也不會更低一點．這說明某種“東西”在小球運動的過程中是不變的．二、動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化1．重力勢能與動能的轉(zhuǎn)化只有重力做功時，若重力對物體做正功，則物體的重力勢能減少，動能增加，物體的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能；若重力對物體做負功，則物體的重力勢能增加，動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為重力勢能．2．彈性勢能與動能的轉(zhuǎn)化只有彈簧彈力做功時，若彈力對物體做正功，則彈簧的彈性勢能減少，物體的動能增加，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體的動能；若彈力對物體做負功，則彈簧的彈性勢能增加，物體的動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能．3．機械能：重力勢能、彈性勢能與動能統(tǒng)稱為機械能．三、機械能守恒定律1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變．2．表達式：eq\f(1,2)mv22＋mgh2＝eq\f(1,2)mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.3．應(yīng)用機械能守恒定律解決問題只需考慮運動的初狀態(tài)和末狀態(tài)，不必考慮兩個狀態(tài)間過程的細節(jié)，即可以簡化計算．1．判斷下列說法的正誤．(1)通過重力做功，動能和重力勢能可以相互轉(zhuǎn)化．(√)(2)機械能守恒時，物體一定只受重力和彈力作用．(×)(3)合力做功為零，物體的機械能一定保持不變．(×)(4)只有重力做功時，物體的機械能一定守恒．(√)2．如圖2所示，桌面高為h，質(zhì)量為m的小球從離桌面高為H處自由落下，不計空氣阻力，重力加速度為g，以桌面所在水平面為參考平面，則小球落到地面前瞬間的機械能為________．圖2答案mgH一、對機械能守恒定律的理解和判斷導(dǎo)學(xué)探究如圖3所示，質(zhì)量為m的物體沿光滑曲面滑下的過程中，下落到高度為h1的A處時速度為v1，下落到高度為h2的B處時速度為v2，重力加速度為g，不計空氣阻力，選擇地面為參考平面．圖3(1)從A至B的過程中，物體受到哪些力？它們做功情況如何？(2)求物體在A、B處的機械能EA、EB；(3)比較物體在A、B處的機械能的大?。鸢?1)從A至B的過程中，物體受到重力、支持力作用．重力做正功，支持力不做功．(2)EA＝mgh1＋eq\f(1,2)mv12EB＝mgh2＋eq\f(1,2)mv22(3)由動能定理得：WG＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12又WG＝mgh1－mgh2聯(lián)立以上兩式可得：eq\f(1,2)mv22＋mgh2＝eq\f(1,2)mv12＋mgh1即EB＝EA.知識深化1．對機械能守恒條件的理解(1)只有重力做功，只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化．(2)只有系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動能和彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化．(3)只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動能、彈性勢能、重力勢能的相互轉(zhuǎn)化．(4)除重力和彈力外，其他力也做功，但其他力做功的代數(shù)和始終為零．2．判斷機械能守恒的方法(1)做功分析法(常用于單個物體)(2)能量分析法(常用于多個物體組成的系統(tǒng))(3)機械能的定義法機械能等于動能與勢能之和，若一個過程中動能不變，勢能變化，則機械能不守恒，如勻速上升的物體機械能增加．[深度思考]機械能守恒的物體所受合外力一定為零嗎？答案不一定．合外力為零時，只是動能不變，機械能守恒是動能和勢能之和不變．如圖4所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是()圖4A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A機械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面上，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力和滑輪質(zhì)量時A加速下落、B加速上升過程中，A、B系統(tǒng)機械能守恒D．丁圖中，系在橡皮條一端的小球向下擺動時，小球的機械能守恒答案C解析若不計空氣阻力，題圖甲中只有重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但物體A機械能不守恒，選項A錯誤；題圖乙中物體B除受重力外，還受彈力，彈力對B做負功，機械能不守恒，但A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，選項B錯誤；題圖丙中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數(shù)和為零，A、B系統(tǒng)機械能守恒，選項C正確；題圖丁中小球的重力勢能轉(zhuǎn)化為小球的動能和橡皮條的彈性勢能，小球的機械能不守恒，選項D錯誤．針對訓(xùn)練(2021·江蘇南通市高一月考)關(guān)于機械能守恒，下列說法正確的是()A．人乘電梯減速上升的過程，機械能一定守恒B．物體必須在只受重力作用的情況下，機械能才守恒C．物體做平拋運動時，機械能一定守恒D．合外力對物體做功為零時，機械能一定守恒答案C解析人乘電梯減速上升過程，不能確定除重力以外的力是否做功，機械能不一定守恒，故A錯誤；只有重力或只有彈力做功時機械能守恒，除受重力外若物體還受其他力，物體機械能也可能守恒，如沿光滑斜面下滑的物體除受重力外還受支持力，但物體機械能守恒，故B錯誤；物體做平拋運動時只有重力做功，機械能守恒，故C正確；合外力對物體做功為零時，機械能不一定守恒，如在豎直方向勻速下落的物體合外力做功為零，但機械能減少，機械能不守恒，故D錯誤．二、機械能守恒定律的應(yīng)用1．機械能守恒定律的不同表達式項目表達式物理意義說明從守恒的角度看Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末初狀態(tài)的機械能等于末狀態(tài)的機械能必須先選零勢能面從轉(zhuǎn)化角度看Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp過程中動能的增加量等于勢能的減少量不必選零勢能面從轉(zhuǎn)移角度看EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB系統(tǒng)只有A、B兩物體時，A增加的機械能等于B減少的機械能2.應(yīng)用機械能守恒定律解題的一般步驟(1)根據(jù)題意選取研究對象；(2)明確研究對象的運動過程，分析研究對象在此過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機械能是否守恒．(3)恰當?shù)剡x取參考平面，確定研究對象在此過程中的初狀態(tài)和末狀態(tài)的機械能．(4)根據(jù)機械能守恒定律的不同表達式列方程并求解．如圖5所示，質(zhì)量m＝50kg的跳水運動員從距水面高h＝10m的跳臺上以v0＝5m/s的速度斜向上起跳，最終落入水中，若忽略運動員的身高，取g＝10m/s2，不計空氣阻力．求：圖5(1)運動員在跳臺上時具有的重力勢能(以水面為零勢能面)；(2)運動員起跳時的動能；(3)運動員入水時的速度大?。蝗胨畷r的速度大小與起跳時的方向有關(guān)嗎？答案(1)5000J(2)625J(3)15m/s無關(guān)解析(1)以水面為零勢能面，則運動員在跳臺上時具有的重力勢能為Ep＝mgh＝5000J.(2)運動員起跳時的速度為v0＝5m/s，則運動員起跳時的動能為Ek＝eq\f(1,2)mv02＝625J.(3)運動員從起跳到入水過程中，只有重力做功，運動員的機械能守恒，則mgh＋eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝15m/s.此速度大小與起跳時的方向無關(guān)．如圖6所示，水平輕彈簧一端與墻相連處于自由伸長狀態(tài)，質(zhì)量為4kg的木塊沿光滑的水平面以5m/s的速度開始運動并擠壓彈簧，求：圖6(1)彈簧的最大彈性勢能；(2)木塊被彈回速度增大到3m/s時彈簧的彈性勢能．答案(1)50J(2)32J解析(1)對彈簧和木塊組成的系統(tǒng)由機械能守恒定律有Epm＝eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)×4×52J＝50J.(2)對彈簧和木塊組成的系統(tǒng)由機械能守恒定律有eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋Ep1則Ep1＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv12＝32J.如圖7，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球從靜止開始下落到B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零．不計空氣阻力，則小球()圖7A．下落至B處速度最大B．由A至D的過程中機械能守恒C．由B至C的過程中，加速度先增大后減小D．由A運動到D時，重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量答案D解析小球從A至B過程，做自由落體運動，速度逐漸增大，小球從B至C過程，重力大于彈力，合力向下，小球做加速運動，加速度減小，小球從C至D過程，重力小于彈力，合力向上，小球做減速運動，加速度增大，所以從A至D過程小球的動能先增大后減小，在C點動能最大，速度最大，故A、C錯誤；由A至B下落過程中小球只受重力，其機械能守恒，從B至D過程，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但小球的機械能不守恒，故B錯誤；在D位置小球速度減小到零，小球的動能為零，則從A運動到D時，小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量，故D正確．考點一機械能守恒定律的理解與判斷1．在下列情況中，機械能守恒的是()A．飄落的樹葉B．沿著斜面勻速下滑的物體C．被起重機勻加速吊起的物體D．離弦的箭在空中飛行(不計空氣阻力)答案D解析樹葉在飄落過程中，空氣阻力做負功，機械能減少，故A錯誤；沿著斜面勻速下滑的物體，摩擦力做功，故機械能不守恒，故B錯誤；物體被起重機勻加速吊起時拉力對物體做功，故物體的機械能不守恒，故C錯誤；離弦的箭在空中飛行且不計空氣阻力，只有重力做功，機械能守恒，故D正確．2．關(guān)于機械能守恒的敘述，下列說法正確的是()A．做勻速圓周運動的物體，機械能一定守恒B．物體所受的合力不等于零，機械能可能守恒C．物體做勻速直線運動，機械能一定守恒D．物體所受合力做功為零，機械能一定守恒答案B解析若物體在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，動能不變，重力勢能變化，機械能不守恒，故A錯誤；物體所受的合力不等于零，它的機械能可能守恒，例如物體做自由落體運動，故B正確；物體在豎直方向做勻速直線運動時，動能不變，重力勢能變化，機械能不守恒，故C錯誤；物體所受合力做功為零，它的動能不變，重力勢能可能變化，機械能不一定守恒，故D錯誤．3．(2021·泉州市高一下月考)下列說法中正確的是()圖1A．圖1甲中“蛟龍?zhí)枴北坏踯噭蛩俚跸滤倪^程中它的機械能守恒B．圖乙中物塊在恒力F作用下沿固定光滑斜面勻速上滑過程中，物塊的機械能守恒C．圖丙中物塊沿固定斜面勻速下滑過程中，物塊的機械能不守恒D．圖丁中撐竿跳高運動員在上升過程中機械能守恒答案C解析題圖甲中“蛟龍?zhí)枴北坏踯噭蛩俚跸滤倪^程中，動能不變，重力勢能變小，所以機械能不守恒，故A錯誤；題圖乙中物塊在恒力F作用下沿固定光滑斜面勻速上滑過程中，恒力F做正功，物塊的機械能增加，故B錯誤；題圖丙中物塊沿固定斜面勻速下滑過程中，物塊在斜面上受力平衡，重力沿斜面向下的分力與摩擦力平衡，摩擦力做負功，物塊的機械能減小，故C正確；題圖丁中撐竿跳高運動員在上升過程中，撐竿的彈性勢能轉(zhuǎn)化為運動員的機械能，所以運動員的機械能不守恒，故D錯誤．4.如圖2所示，一輕彈簧一端固定于O點，另一端系一重物，將重物從與懸點O在同一水平面且彈簧保持原長的A點無初速度釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力，在重物由A點擺到最低點的過程中()圖2A．重物的機械能增加B．重物與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能不變C．重物與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能增加D．重物與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能減少答案B解析重物自由擺下的過程中，彈簧拉力對重物做負功，重物的機械能減少，選項A錯誤；對重物與彈簧組成的系統(tǒng)而言，除重力、彈力外，無其他外力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒，選項B正確，C、D錯誤．考點二機械能守恒定律的應(yīng)用5.如圖3所示，質(zhì)量為1kg的小物塊從傾角為30°、長為2m的光滑固定斜面頂端由靜止開始下滑，若選初始位置為零勢能點，重力加速度g取10m/s2，則它滑到斜面中點時具有的機械能和動能分別是()圖3A．5J,5JB．10J,15JC．0,5JD．0,10J答案C解析物塊的機械能等于物塊動能和重力勢能的總和，選初始位置為零勢能點，則物塊在初始位置的機械能E＝0，在運動的過程中只有重力做功，機械能守恒，所以物塊滑到斜面中點時的機械能為0，故有－mg×eq\f(1,2)Lsin30°＋eq\f(mv2,2)＝0，所以動能是5J，選項C正確．6．如圖4，在地面上以初速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落在比地面低h的海平面上，重力加速度為g，若以地面為參考平面，且不計空氣阻力，則()圖4A．物體在海平面上的重力勢能為mghB．重力對物體做的功為－mghC．物體在海平面上的動能為eq\f(1,2)mv02＋mghD．物體在海平面上的機械能為eq\f(1,2)mv02＋mgh答案C解析以地面為參考平面，海平面低于地面的高度為h，所以物體在海平面上時的重力勢能為－mgh，故A錯誤；重力做功與路徑無關(guān)，與初、末位置的高度差有關(guān)，拋出點與海平面的高度差為h，并且重力做正功，所以整個過程重力對物體做功為mgh，故B錯誤；由動能定理得mgh＝Ek2－eq\f(1,2)mv02，則物體在海平面上的動能為Ek2＝eq\f(1,2)mv02＋mgh，故C正確；根據(jù)機械能守恒知，物體在海平面上的機械能等于拋出時的機械能，為E＝eq\f(1,2)mv02，故D錯誤．7.(2021·河南高二期中)如圖5所示，在光滑水平桌面上，用一個質(zhì)量為1kg的小球壓縮左端固定的水平輕質(zhì)彈簧．小球與彈簧不拴接，此時彈簧的彈性勢能為5J，小球距桌邊的距離大于彈簧原長，釋放小球后小球從桌邊飛出，落地時的速度方向與水平方向成60°角，則桌面距離地面的高度為(重力加速度g取10m/s2，不計空氣阻力)()圖5A．1mB．1.5mC．2mD．4m答案B解析由動能定理有Ep＝eq\f(1,2)mv02，得v0＝eq\r(10)m/s，則小球落地時的速度大小v＝eq\f(v0,cos60°)＝2eq\r(10)m/s，由機械能守恒定律有Ep＋mgh＝eq\f(1,2)mv2解得h＝1.5m，A、C、D錯誤，B正確．8.以相同大小的初速度v0將物體從同一水平面分別豎直上拋、斜上拋、沿光滑斜面(足夠長)上滑，如圖6所示，三種情況達到的最大高度分別為h1、h2和h3，不計空氣阻力，則()圖6A．h1＝h2＞h3 B．h1＝h2＜h3C．h1＝h3＜h2 D．h1＝h3＞h2答案D解析豎直上拋的物體和沿光滑斜面運動的物體，上升到最高點時，速度均為0，由機械能守恒定律得mgh＝eq\f(1,2)mv02，所以h＝eq\f(v\o\al(02),2g)；斜上拋的物體在最高點速度不為零，設(shè)為v1，則mgh2＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv12，所以h2＜h1＝h3，D正確．9．(2021·江蘇鹽城市期末)高空“蹦極”是勇敢者的游戲．如圖7，蹦極運動員將彈性長繩(質(zhì)量忽略不計)的一端系在雙腳上，另一端固定在高處的跳臺上，運動員無初速度地從跳臺上落下．若不計空氣阻力，則()圖7A．彈性繩開始伸直時，運動員的速度最大B．整個下落過程中，重力對運動員所做的功等于運動員克服彈性繩彈力所做的功C．整個下落過程中，運動員的機械能守恒D．從彈性繩開始伸直到最低點的過程中，運動員的重力勢能與彈性繩的彈性勢能之和不斷增大答案B解析彈性繩開始伸直時，彈力開始從零增加，此時重力仍大于彈力，向下做加速運動，當彈力等于重力時，運動員的速度最大，A錯誤；運動員的速度從零開始，到零結(jié)束，故整個下落過程中，重力對運動員所做的功等于運動員克服彈性繩彈力所做的功，B正確；整個下落過程中，彈力對運動員做功，機械能不守恒，C錯誤；從彈性繩開始伸直到最低點的過程中，運動員的重力勢能與彈性繩的彈性勢能之和與動能相互轉(zhuǎn)化，動能增加，勢能之和減小，動能減小，勢能之和增加，即運動員的重力勢能和彈性繩的彈性勢能之和先減小后增加，D錯誤．10.如圖8是為了檢驗?zāi)撤N防護罩承受沖擊能力的裝置的一部分，M是半徑為R＝1.0m、固定于豎直平面內(nèi)的四分之一光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平，M的下端相切處放置豎直向上的彈簧槍，可發(fā)射速度不同的質(zhì)量m＝0.01kg的小鋼珠(可視為質(zhì)點)，假設(shè)某次發(fā)射的小鋼珠沿軌道內(nèi)側(cè)恰好能經(jīng)過M的上端點水平飛出，g取10m/s2，彈簧槍的長度不計，則發(fā)射該小鋼珠前，彈簧的彈性勢能為()圖8A．0.10JB．0.15JC．0.20JD．0.25J答案B解析設(shè)小鋼珠在M軌道最高點的速度為v，在最高點，由題意可得mg＝meq\f(v2,R)，從發(fā)射前到最高點，由機械能守恒定律有Ep＝mgR＋eq\f(1,2)mv2＝0.15J，選項B正確．11．(2020·武漢二中高一檢測)以20m/s的速度將質(zhì)量為m的物體從地面豎直向上拋出，若忽略空氣阻力，以地面為參考平面，g取10m/s2，則：(1)物體上升的最大高度是多少？(2)上升過程中在何處物體的重力勢能和動能相等？此時物體的速度是多大？答案(1)20m(2)10m10eq\r(2)m/s解析(1)以地面為參考平面，設(shè)物體上升的最大高度為h，由機械能守恒定律得eq\f(1,2)mv02＝mgh，所以h＝eq\f(v\o\al(02),2g)＝eq\f(202,2×10)m＝20m.(2)物體在地面處有E1＝eq\f(1,2)mv02，設(shè)在高h2處有Ek＝Ep.故E2＝mgh2＋eq\f(1,2)mv12＝2mgh2，由機械能守恒定律得E1＝E2，即eq\f(1,2)mv02＝2mgh2，解得h2＝eq\f(v\o\al(02),4g)＝eq\f(400,4×10)m＝10m，由mgh2＝eq\f(1,2)mv12可得v1＝10eq\r(2)m/s.12.如圖9是一個設(shè)計“過山車”的試驗裝置的原理示意圖，斜面AB與豎直面內(nèi)的圓形軌道在B點平滑連接，斜面AB和圓形軌道都是光滑的，圓形軌道半徑為R，一個質(zhì)量為m的小