勻變速直線運動的平均速度公式v－t圖像求位移[學習目標]1.理解平均速度公式．并能用平均速度公式解決相關(guān)問題.2.會用v－t圖像求位移并判定變加速直線運動位移的大?。弧⑵骄俣裙降睦斫馀c應(yīng)用導(dǎo)學探究如圖1所示，如果勻變速直線運動的初速度為v0，末速度為v，這段時間中間時刻的瞬時速度為，試推導(dǎo)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋v,2)＝.圖1答案方法一解析法在勻變速直線運動中，對于這段時間t，其中間時刻的瞬時速度＝v0＋eq\f(1,2)at，該段時間的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定義式和勻變速直線運動的位移公式整理加工可得eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq\f(1,2)at＝eq\f(2v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v,2)＝，即eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝.方法二圖像法這段時間位移x＝eq\f(v0＋v,2)t平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋v,2)中間時刻的瞬時速度對應(yīng)梯形中位線高，故＝eq\f(v0＋v,2)知識深化1．平均速度公式：eq\x\to(v)＝＝eq\f(v0＋v,2)(1)勻變速直線運動中任意一段時間t內(nèi)的平均速度等于該段時間的中間時刻的瞬時速度，還等于該段時間初、末速度矢量和的一半．(2)若同時涉及位移與時間而不涉及加速度，選用平均速度公式及中間時刻瞬時速度公式＝eq\f(x,t)，eq\f(v0＋v,2)＝eq\f(x,t).2．三個平均速度公式的比較：eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)適用于任何運動，eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)及eq\x\to(v)＝僅適用于勻變速直線運動．某汽車從車站由靜止開出，做勻加速直線運動，運動了12s時，發(fā)現(xiàn)還有乘客沒上來，于是汽車立即做勻減速直線運動至停下，共歷時20s，運動了50m，求汽車在上述運動中的最大速度的大?。鸢?m/s解析由于汽車在前、后兩階段均做勻變速直線運動，設(shè)最大速度為vm，則x1＝eq\f(vm,2)t1①x2＝eq\f(vm,2)t2②由①＋②得x1＋x2＝eq\f(vm,2)(t1＋t2)解得vm＝eq\f(2x1＋x2,t1＋t2)＝5m/s.2019年6月6日，中國科考船“科學”號(如圖2所示)對馬里亞納海溝南側(cè)系列海山進行調(diào)查，船上搭載的“發(fā)現(xiàn)”號遙控無人潛水器完成了本航次第10次下潛作業(yè)，“發(fā)現(xiàn)”號下潛深度可達6000m以上．潛水器完成作業(yè)后上浮，上浮過程初期可看作勻加速直線運動．今測得潛水器相繼經(jīng)過兩段距離為8m的路程，第一段用時4s，第二段用時2s，則其加速度大小是()圖2A.eq\f(2,3)m/s2 B.eq\f(4,3)m/s2C.eq\f(8,9)m/s2 D.eq\f(16,9)m/s2答案A解析根據(jù)勻變速直線運動中間時刻的速度等于平均速度可知：v1＝eq\f(8,4)m/s＝2m/s；v2＝eq\f(8,2)m/s＝4m/s再根據(jù)加速度的定義可知：a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(4－2,3)m/s2＝eq\f(2,3)m/s2.故選A.二、v－t圖像求位移1．利用v－t圖像求位移v－t圖線與時間軸所圍的“面積”表示位移．“面積”在時間軸上方表示位移為正，“面積”在時間軸下方表示位移為負；通過的位移為時間軸上、下“面積”絕對值之差．通過的路程為時間軸上、下“面積”絕對值之和．2．理解(1)初速度為v0的勻加速直線運動的v－t圖像如圖3甲，其中v0t與矩形面積相等，eq\f(1,2)at2與三角形面積相等，所以x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.(2)當物體做勻減速直線運動時，如圖乙，公式中的a取負值．相當于從勻速直線運動的位移中“減去”了一部分．圖3某一做直線運動的物體的v－t圖像如圖4所示，根據(jù)圖像求：圖4(1)物體距出發(fā)點的最遠距離；(2)前4s內(nèi)物體的位移大小；(3)前4s內(nèi)物體通過的路程．答案(1)6m(2)5m(3)7m解析(1)當物體運動了3s時，物體距出發(fā)點的距離最遠，xm＝eq\f(1,2)v1t1＝eq\f(1,2)×4×3m＝6m；(2)前4s內(nèi)物體的位移大小x＝|x1|－|x2|＝|eq\f(1,2)v1t1|－|eq\f(1,2)v2t2|＝eq\f(1,2)×4×3m－eq\f(1,2)×2×1m＝5m；(3)前4s內(nèi)物體通過的路程s＝|x1|＋|x2|＝eq\f(1,2)×4×3m＋eq\f(1,2)×2×1m＝7m.針對訓(xùn)練1一輛汽車從靜止開始由甲地出發(fā)，沿平直公路開往乙地，汽車先做勻加速直線運動，接著做勻減速直線運動，開到乙地剛好停止，其速度－時間圖像如圖5所示，那么0～t0和t0～3t0兩段時間內(nèi)()圖5A．加速度大小之比為3∶1B．位移大小之比為1∶1C．平均速度大小之比為2∶1D．平均速度大小之比為1∶1答案D解析加速度a＝eq\f(Δv,Δt)，由題圖知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，則eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,1)，A項錯誤；位移大小之比等于v－t圖線與t軸所圍圖形的面積之比，即eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，B項錯誤；平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)，eq\f(\x\to(v)1,\x\to(v)2)＝1，C項錯誤，D項正確．針對訓(xùn)練2某物體做直線運動，物體的v－t圖像如圖6所示．若初速度的大小為v0，末速度的大小為v1，則在0～t1時間內(nèi)物體的平均速度________(選填“大于”“等于”或“小于”)eq\f(v0＋v1,2).圖6答案大于3．v－t圖像與x－t圖像的比較種類內(nèi)容v－t圖像x－t圖像圖線斜率表示加速度表示速度圖線與時間軸所圍面積表示位移無意義兩圖線交點坐標表示速度相同，不表示相遇，往往是距離最大或最小的臨界點表示相遇相同點表示物體做直線運動(2021·廣元天立國際學校月考)有四個物體A、B、C、D，物體A、B運動的x－t圖像如圖7甲所示；物體C、D從同一地點沿同一方向運動的v－t圖像如圖乙所示．根據(jù)圖像做出的以下判斷中正確的是()圖7A．物體A和B均做勻變速直線運動B．在0～3s的時間內(nèi)，物體A、B的間距逐漸減小C．t＝3s時，物體C、D的位移相同D．在0～3s的時間內(nèi)，物體C與D的間距逐漸增大答案D解析由題圖甲看出：物體A和B的位移－時間圖像都是傾斜的直線，斜率都不變，速度都不變，說明兩物體都做勻速直線運動，故A錯誤；由題圖甲看出，在0～3s的時間內(nèi)，物體A的位移都大于B的位移，且從圖像上可以看出兩者之間的距離一直在增大，故B錯誤；由題圖乙可以看出C、D兩物體的v－t圖線在t＝3s交于一點，所以此時刻C、D的速度一定相同，根據(jù)v－t圖線與t軸所圍面積表示位移以及物體C、D從同一地點沿同一方向運動可知，t＝3s時物體C、D的位移不相同，故C錯誤；由題圖乙看出：在0～3s的時間內(nèi)，D的速度較大，C、D間距離增大，故D正確．考點一平均速度公式的運用1．(2021·河南省高一月考)如圖1所示是我國航母戰(zhàn)斗機在航母上的起飛過程．假設(shè)該戰(zhàn)斗機起飛前從靜止開始做勻加速直線運動，達到起飛速度v所通過的位移為x，則該戰(zhàn)斗機起飛前的運動時間為()圖1A.eq\f(2x,v) B.eq\f(x,v)C.eq\f(x,2v) D.eq\f(x,4v)答案A解析由平均速度公式可知x＝eq\f(v,2)t，即t＝eq\f(2x,v)，故A正確，B、C、D錯誤．2．(2021·鹽城市響水中學高一期末)一輛汽車從車站由靜止開出，做勻加速直線運動，經(jīng)過5s通過的位移為7.5m，則該汽車在5s末的速度大小為()A．2m/s B．3m/sC．4m/s D．5m/s答案B3．一物體從固定斜面上某點由靜止開始沿斜面做勻加速直線運動，經(jīng)過3s后到達斜面底端，并在水平地面上做勻減速直線運動，又經(jīng)過9s停止，已知物體經(jīng)過斜面和水平地面交接處時速度大小不變，則物體在斜面上的位移與在水平地面上的位移之比是()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．3∶1答案C解析設(shè)物體到達斜面底端時的速度為v，則物體在斜面上的平均速度eq\x\to(v)1＝eq\f(v,2)，在斜面上的位移x1＝eq\x\to(v)1t1＝eq\f(v,2)t1在水平地面上的平均速度eq\x\to(v)2＝eq\f(v,2)，在水平地面上的位移x2＝eq\x\to(v)2t2＝eq\f(v,2)t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故選C.4．一輛汽車在水平地面上沿直線行駛，在0～2t時間內(nèi)做勻加速直線運動，速度由0變?yōu)関.在2t～3t時間內(nèi)做勻減速直線運動，速度由v變?yōu)?，在這兩段時間內(nèi)，下列說法正確的是()A．加速度的大小之比為2∶1B．位移的大小之比為2∶1C．平均速度的大小之比為1∶2D．平均速度的大小之比為2∶1答案B解析根據(jù)題意作出汽車運動的v－t圖像，如圖所示．根據(jù)圖像的斜率表示加速度，可得加速度的大小之比a1∶a2＝eq\f(v,2t)∶eq\f(v,t)＝1∶2，故A錯誤；位移的大小之比x1∶x2＝eq\f(1,2)v·2t∶eq\f(1,2)vt＝2∶1，故B正確；平均速度的大小之比eq\x\to(v)1∶eq\x\to(v)2＝eq\f(0＋v,2)∶eq\f(v＋0,2)＝1∶1，故C、D錯誤．考點二v－t圖像的應(yīng)用5．(2021·連云港東海縣高一期末)越來越多的攝影愛好者開始迷上了無人機航拍攝影，在某次航拍中，無人機起飛時豎直方向的速度隨時間變化的規(guī)律如圖2所示，下列說法中正確的是()圖2A．無人機經(jīng)20s到達最高點B．無人機在0～80s時間內(nèi)飛行的最大高度為360mC．無人機在0～80s時間內(nèi)飛行的最大高度為300mD．無人機在70s時的加速度為－0.075m/s2答案B6.(2021·徐州市高一期末)如圖3所示為一物體運動的速度—時間圖像，下列說法正確的是()圖3A．5s末加速度反向B．5～6s內(nèi)加速度的方向與速度的方向相反C．8s末離出發(fā)點最遠D．前6s的平均速度大小為1.5m/s答案D7．做直線運動的物體甲的x－t圖像和物體乙的v－t圖像分別如圖4甲、乙所示，則關(guān)于這兩個物體的運動情況，下列說法正確的是()圖4A．甲在0～6s時間內(nèi)運動方向不變，它通過的總位移大小為2mB．甲在0～6s時間內(nèi)平均速度為零C．乙在0～6s時間內(nèi)通過的總位移為零D．乙在0～6s時間內(nèi)加速度大小不變，方向發(fā)生了變化答案C解析位移－時間圖像中圖線的斜率表示速度，甲在整個過程中圖線的斜率不變，知甲運動的速度不變，總位移為Δx＝2m－(－2m)＝4m，故A、B錯誤；乙在0～6s內(nèi)，先向負方向做勻減速直線運動，后向正方向做勻加速直線運動，速度的方向在第3s時發(fā)生改變，v－t圖線與時間軸圍成的面積表示位移，則乙在0～6s內(nèi)總位移為零，故C正確；速度－時間圖像中圖線的斜率表示加速度，題圖乙中圖線的斜率不變，知乙的加速度大小不變，方向也未發(fā)生改變，故D錯誤．8．如圖5是某物體運動的v－t圖像，根據(jù)圖像求：圖5(1)0～6s內(nèi)物體的位移為________．(2)0～2s內(nèi)物體的平均速度eq\x\to(v)1＝________，4～5s內(nèi)物體的平均速度eq\x\to(v)2＝________，eq\x\to(v)1________(選填“＞”“＝”或“＜”)eq\x\to(v)2.答案(1)6.5m(2)1m/s1m/s＝解析(1)0～5s內(nèi)物體向正方向運動位移x1＝eq\f(2＋5×2,2)m＝7m5～6s內(nèi)物體的位移x2＝－eq\f(1×1,2)m＝－0.5m0～6s內(nèi)物體的位移x＝x1＋x2＝6.5m(2)eq\x\to(v)1＝eq\f(0＋v,2)＝1m/seq\x\to(v)2＝eq\f(v＋0,2)＝1m/seq\x\to(v)1＝eq\x\to(v)2.9．(2021·宿遷市高一上期末)甲、乙、丙、丁四輛車由同一地點向同一方向運動，甲、乙的x－t圖像和丙、丁的v－t圖像如圖6所示，下列說法中正確的是()圖6A．0～t1時間內(nèi)甲車路程小于乙車路程B．0～t1時間內(nèi)的某時刻甲、乙兩車速度相等C．t2時刻，丙、丁兩車相遇D．t2時刻丙車加速度比丁車的加速度小答案B10．(2020·鎮(zhèn)江市丹徒高中月考)中國自主研發(fā)的“暗劍”無人機，時速可超過2馬赫．在某次試飛測試中，起飛前沿地面做勻加速直線運動，加速過程中連續(xù)經(jīng)過兩段均為120m的測試距離，用時分別為2s和1s，則無人機的加速度大小是()A．20m/s2 B．40m/s2C．60m/s2 D．80m/s2答案B11．(2021·鎮(zhèn)江市丹徒高中月考)汽車以10m/s的速度在平直公路上勻速行駛，某時刻駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方15m處的斑馬線上有行人，經(jīng)過0.5s反應(yīng)時間后，采取剎車禮讓行人，汽車恰好停在斑馬線前．汽車運動的v－t圖像如圖7所示，則汽車剎車時的加速度大小為()圖7A．20m/s2 B．6m/s2C．5m/s2 D．4m/s2答案C解析減速位移x′＝(15－10×0.5)m＝10m，減速時間設(shè)為t′，x′＝eq\f(v0,2)t′，得t′＝2s，a＝eq\f(v0,t′)＝5m/s2，C正確．12．(2020·山西太原高一上期中)我國“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器進行下潛試驗，從水面開始豎直下潛，最后返回水面，其v－t圖像如圖8所示，則下列說法正確的是()圖8A．0～4min和6～10min兩時間段平均速度大小相等B．全過程中的最大加速度為0.025m/s2C．3～4min和6～8min的加速度方向相反D．本次下潛的最大深度為6m答案A解析根據(jù)v－t圖像中圖線與橫軸圍成的面積表示位移，則0～4min內(nèi)的位移大小為：x＝eq\f