2026年高考數(shù)學總復習——專題03集合培優(yōu)歸類題型1判斷集合元素個數(shù)集合的元素個數(shù)，和其他知識結合的較多，屬于中等偏難的題型，解決此類題型，要從集合的基本概念、基本性質以及集合元素的不同形式的表述入手，主要是三種形式：1.數(shù)集；2.點集（有序數(shù)對）；3.抽象型（韋恩圖型）集合中元素個數(shù)：1.點集多是圖像交點，與函數(shù)圖象或者圓錐曲線圖象等有關。2.數(shù)集，多涉及到一元二次方程根、一元二次不等式以及分式不等式指數(shù)對數(shù)等不等式的解集。1．（2024-2025年陜西名校教育聯(lián)盟）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，設集合，對恒成立，則集合N的元素個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題知，進而得，故一方面，結合得，進而得，另一方面，根據(jù)得，進而得，即可得，進而得答案.【詳解】解：令，解得，即數(shù)列的不動點為，其生成函數(shù)為，

所以，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像如圖：故，由蛛網(wǎng)圖：，,即，又，一方面，由得，，，，且當，，.另一方面，（法一）由得，，，且當，，，必須大于等于.所以集合的元素個數(shù)是2，故選：B.另一方面，（法二）由，得，又.又當，，必須大于等于..所以集合的元素個數(shù)是2，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列不等式恒成立問題，考查運算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題解題的關鍵在于根據(jù)蛛網(wǎng)圖模型得，進而得，再分別說明，即可.2．（24-25高三下·上海·開學考試）設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列，記集合出下列四個命題.①若與均為等差數(shù)列，則中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則中最多有1個元素.則上述命題中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，，均為等差數(shù)列，，，不為常數(shù)列且各項均不相同，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，中至多一個元素，①正確；對于②，令，，滿足，均為等比數(shù)列，但當為偶數(shù)時，，此時中有無窮多個元素，②錯誤；對于③，設，，若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，考慮關于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，，單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時，否則，，單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，，不可能同時成立，若，，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；故不可能有4個不同的正數(shù)解，即M中最多有3個元素，如，此時，③正確；對于④，為單調(diào)遞增，為遞減數(shù)列，，不為常數(shù)列且各項均不相同，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，④正確，則上述命題中正確的個數(shù)為3個，即①③④.故選：C【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質關系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.3．（2025高三·四川八省聯(lián)盟適應性模擬卷）用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根據(jù)題意可得或，進而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.【詳解】因為，，所以或，由，得，關于x的方程，當時，即時，易知，符合題意；當時，即或時，易知0，-a不是方程的根，故，不符合題意；當時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.【點睛】對于新定義的問題，一定要讀懂題意，一般理解起來不難，它一般和平常所學知識和方法有很大關聯(lián)；另外當時，容易遺漏a=0時的情況，注意仔細分析題目.4．（24-25高三上·上海楊浦·期中）設集合，則集合的元素個數(shù)為（

）A．1011 B．1012 C．2022 D．2023【答案】B【分析】依題意由表達式中角的特征可知當時，的取值各不相同，當時，利用誘導公式以及集合元素的互異性即可求得元素個數(shù)為.【詳解】根據(jù)題意可知，當時，，此時；又因為為奇數(shù)，為偶數(shù)，且中的任意兩組角都不關于對稱，所以的取值各不相同，因此當時集合中的取值會隨著的增大而增大，所以當時，集合中有1011個元素；當時，易知又易知，所以可得，即時的取值與時的取值相同，根據(jù)集合元素的互異性可知，時并沒有增加集合中的元素個數(shù)，當時，易知，可得當時，集合中的元素個數(shù)只增加了一個0，所以可得集合的元素個數(shù)為個.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于通過觀察集合中元素的特征，利用的三角函數(shù)值的范圍以及圖象的對稱性，由集合中元素的互異性得出當時，集合中的元素個數(shù)的增加情況即可求得結果.5．（24-25高三下·江西南昌·階段練習）集合且，集合且，用表示集合X中的元素個數(shù)，則（

）A．100 B．200 C．260 D．300【答案】B【分析】分、、、討論的取值可能種數(shù)，結合組合數(shù)的計算即可得，分、、、討論的取值可能種數(shù)即可得的取值可能種數(shù)，從而可得，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，對于：當時，都可以選出0，1，2，3中任意取一個，則取法為；當時，都可以選出0，1，2中任意取一個，則取法為；當時，都可以選出0，1中任意取一個，則取法為；當時，均取0，則取法為，此時；對于：當時，可取1，2，3，4之一，有種取法；當時，可取2，3，4之一，有種取法；當時，可取3，4之一，有種取法；當時，只能取4，有種；∴的取值只有種，同理可知也只有10種，于是；故.故選：B．題型2集合元素個數(shù)最值型集合元素個數(shù)型最值與參數(shù)，多涉及到數(shù)列，三角、解析幾何與函數(shù)等知識交匯處出題，難度較大，注意相關基礎知識的積累和應用。1．（23-24高一上·上海浦東）已知與是集合的兩個子集，滿足：與的元素個數(shù)相同，且為空集，若時總有，則集合的元素個數(shù)最多為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，解得，從中去掉形如的數(shù)，此時中有個元素，注意中還可含以下個特殊元素：、、、、、、，故中元素最多時，中共有個元素，由此可得出結論.【詳解】令，解得，所以，集合是集合的一個非空子集.再由，先從中去掉形如的數(shù)，由，可得，，此時，中有個元素.由于集合中已經(jīng)去掉了、、、、、、這個數(shù)，而它們對應的形如的數(shù)分別為、、、、、、，并且、、、、、、對應的形如的數(shù)都在集合中.故集合中還可有以下個特殊元素：、、、、、、，故集合中元素最多時，集合中共有個元素，對應的集合也有個元素，因此，中共有個元素.故選B.【點睛】本題考查集合中參數(shù)的取值問題，同時也考查了集合中元素的個數(shù)問題，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.2．（24-25高三上·北京朝陽·期中）數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計數(shù)方法.記為集合的元素個數(shù)，為集合的子集個數(shù)，若集合滿足：①，；②，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，根據(jù)元素個數(shù)得到子集個數(shù)，即，分析出，即可求解.【詳解】設，則，即，所以,若,則，即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，若，則，即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，所以,即，因為，且滿足，所以包含了的個元素外，還包含個屬于而不屬于的元素，當時，則,如，符合題意.當時，則,如，符合題意.所以的最大值為，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查交集與并集的混合運算，及集合的元素個數(shù)與集合子集間的關系，解題的關鍵由已知條件求，再分和討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，難度較大.3．（24-25高三·湖南長沙一中模擬）設集合A的最大元素為M，最小元素為m，記A的特征值為，若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為0.已知，，，…，是集合的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且，則n的最大值為（

）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】C【分析】要想n的值大，則特征值要盡可能的小，，，，…，是集合的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，不妨令是只有1個元素的非空真子集，則，是含有兩個元素的非空真子集，則時能保證n的值最大，同理可得：，以此類推，利用等差數(shù)列求和公式列出方程，求出n的最大值.【詳解】由題意，要想n的值大，則特征值要盡可能的小，可令，，，，，則，解得：或（舍去）.故選：C4．（23-24高一上·重慶沙坪壩·開學考試）已知有限集合，定義集合中的元素個數(shù)為集合的“容量”，記為．若集合，則；若集合，且，則正整數(shù)的值是．【答案】【分析】第一問：由所給定義得到集合，從而得到；第二問：由集合中元素確定集合中元素的最大值和最小值，從而得出的表達式，解方程可得．【詳解】第一問：因為，所以，所以，第二問：因為，易知集合中任意兩個元素的和最小值是，最大值是，且對任意，，都存在，，使得，所以，由，解得．故答案為：；5．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）已知集合，記集合的元素個數(shù)為.當時，（用數(shù)字表示）；當（且）時，.（用含有的式子表示）.【答案】4【分析】，列舉出和相應的，得到答案；分，，……，，依次得到每種情況下的的個數(shù)，相加，結合組合數(shù)的性質得到答案.【詳解】因為，，當時，，當時，，當時，，當時，，故，當時，此時，此時只有種情況，當時，此時可在中按照大小順序選擇三個數(shù)，且由于單調(diào)遞增，故不同的選法求出的不同，故有種情況，當時，此時可在中按照大小順序選擇三個數(shù)，且由于單調(diào)遞增，故不同的選法求出的不同，故有種情況，……，時，此時可在中按照大小順序選擇三個數(shù)，此時有種情況，綜上，.故答案為：4，【點睛】結論點睛：組合數(shù)的一些重要性質，，，，，題型3異構同集型以集合定義為核心的“異構同集”型，也就是集合“相同”的概念應用。立足于集合的基本性質，需要從以下幾方面來綜合考慮、比較與計算：（1）集合元素的三個特性：互異、無序、確定性．（2）元素與集合的兩種關系：屬于，記為；不屬于，記為．（3）集合的四種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖法、符號法．1．（24-25高一下·北京·開學考試）已知集合，．則（

）A． B．是的真子集C． D．【答案】C【分析】由集合相等的概念，說明，同時即可；【詳解】從中任取一個元素，一定是偶數(shù)，所以，從中任取一個元素，，所以,所以，故選：C2．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習）已知集合，，，則的關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將集合中元素化為統(tǒng)一形式，然后進行判斷即可.【詳解】，,，故故選：B.3．（24-25高一上·山東泰安·階段練習）下列每組集合是相等集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的概念判斷四個選項即可.【詳解】對于A，，，故，所以A錯誤；對于B，為點集，為數(shù)集，故，所以B錯誤；對于C，，，故，所以C錯誤；對于D，數(shù)集和數(shù)集元素一樣，故，所以D正確，故選：D.4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結合的包含的定義和集合相等的定義判斷的關系可得結論.【詳解】任取，則，，所以，所以，任取，則，，所以，所以，所以，任取，則，，所以，所以，又，，所以，所以，故選：C.5．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）已知集合且，定義集合，若，給出下列說法：①；②；③；其中所有正確序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】由集合的新定義結合，可得，由此即可求解【詳解】因為集合且，若，則中也包含四個元素，即，剩下的，對于①：由得，故①正確；對于②：由得，故②正確；對于③：由得，故③正確；故選：D6．（2025·河北·模擬預測）已知集合或，若，則．【答案】0【分析】由題意可得和2是方程的兩根，利用根與系數(shù)的關系求得，可求的值.【詳解】由得，，因為或，所以，所以和2是方程的兩根，所以，解得，所以．故答案為：.題型4異構同集型最值與求參（難點）5空異構同集型最值與求參，涉及到集合定義與集合關系的研究。1.研究集合問題，要抓住元素，看元素應滿足的屬性。2.研究兩（多個）集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。3.集合相等，是所屬元素相同，與順序無關（互異性），與形式無關（數(shù)集中與表示數(shù)的范圍的字母無關）1．（24-25高三上·上?！て谀τ诤瘮?shù)，定義.（1）且，則實數(shù)a的取值范圍是；（2），且且，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】先根據(jù)方程，與的特點分析兩集合的關系，探究3個預備結論，再針對兩不同函數(shù)進行具體求解.（1）集合的研究轉化為二次方程的解按判別式分類討論可得；集合則轉化為四次方程求解，需要進行因式分解降次處理，再轉化為二次方程的解的情況分類討論，要注意重根可能性的分析；（2）重點在轉化為方程的根的情況分析，作差變形構造函數(shù)利用導函數(shù)分類討論函數(shù)零點個數(shù)即可.【詳解】對于連續(xù)函數(shù)，下面證明預備結論：預備結論1：.證明：若，則；若，設，則，則，即，故；綜上所述，，得證.預備結論2：若，則.證明：若，則方程無解，若，則；若，則；綜上所述，方程無解，即，得證.預備結論3：若是增函數(shù)，則.證明：一方面，由預備結論1可知，；另一方面，若，則由，得；若，設，則，假設，由是增函數(shù)，若，則，這與矛盾；若，則，這與矛盾；故假設錯誤，即，故，即，綜上所述，得證.（1）對于函數(shù)，令，得方程，判別式.當，即時，方程無實根，即，由預備結論可知，滿足題意；當，即或時，方程有兩相等的實根，即為單元素集合，設，則，其中，所以，則，由，則，所以，滿足題意；當，即，或時，方程有兩不相等的實根，設為，不妨設.則，則，即，則令，，或，或；令，則方程化為，即，判別式，當，即時，方程無實根，即方程無實根，所以，滿足題意，故當或時，；當，即或時，方程有兩相等實根；當時，此時，則，此時恰好也是方程的根，即的根；當時，此時，則，此時恰好也是方程的根，即的根；故當，或時，，滿足題意；當，即或時，，方程，即有兩不等實根，設，則，故都不是方程的根，即不是的根，故方程有個不相等的實數(shù)根，，不滿足題意；綜上所述，若，則，故實數(shù)a的取值范圍是.（2）對于函數(shù)，令，當時，是增函數(shù)，由預備結論3可知，，不滿足題意；當時，令，則，在同一坐標系中分別作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，結合圖象可知，方程有且僅有一個根，集合為單元素集；令，則，即，當時，，故此時方程無解，故.令，，記，則，則，，則，令，則，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；故.①若，即時，，則，在是增函數(shù)，，，所以在內(nèi)有唯一零點，故原方程有唯一解，故為單元素集，由預備結論1可知，，則，不滿足題意；②若，即時，，又，，令，則，當時，，在上單調(diào)遞增；則，所以，故在內(nèi)有唯一零點，不妨設為；且在內(nèi)有唯一零點，不妨設，則有.故當時，，即，在單調(diào)遞增；當時，，即，在單調(diào)遞減；當時，，即，在單調(diào)遞增；又，由（由單調(diào)性可證），所以，又因為在上單調(diào)遞減，所以，又，所以在內(nèi)有唯一零點.又因為，又，且（由的單調(diào)性可證），所以，所以，又，故在和內(nèi)各有一個零點，即在內(nèi)有個零點，即原方程有個解，故集合中有3個元素，又由預備結論1，，則.故要使，則.故實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】結論點睛：關于不動點與穩(wěn)定點有如下定義與性質：定義：對于定義域為的函數(shù)，若，使得，則稱為函數(shù)的不動點；若，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點.常用性質：（1）不動點一定是穩(wěn)定點，而穩(wěn)定點不一定是不動點；（2）若函數(shù)不存在不動點，則必不存在穩(wěn)定點；（3）若函數(shù)單調(diào)遞增，則方程與同解，即不動點與穩(wěn)定點完全一致.2．（24-25高三·上?！るA段練習）已知，若，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，分析得，進而得到，從而利用“1”的代換與基本不等式即可得解.【詳解】因為，則方程與有相同的解，不妨設為，則，故，即，整理得，因為，所以，當且僅當且，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于分析得方程與有相同的解，從而得到，由此得解.3．（24-25高三·上海虹口·模擬）設，若非空集合滿足，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意直接代入，然后解一元二次不等式，通過分別判斷兩一元二次不等式的方程的，從而進行求解即可.【詳解】由，可得，即，由，可得在上恒成立，即，解得，又集合A是非空集合，所以在上有解，則，解得或，綜合可得：．故答案為：4．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，記集合，．若，則a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意設方程的兩個根分別為、，，得到參數(shù)之間的關系，有兩個集合相等得出，，消去參數(shù)即求解.【詳解】因為，所以，設方程的兩個根分別為、，且，，，所以，由，得，即，因為，所以，且，因為，解得，因為，所以，因為，所以，所以，所以化為，化為，，化為，即，解得，所以a的取值范圍為.故答案為：5．（24-25高三上·江蘇揚州·期中）已知非空集合，.若，則的值.【答案】【分析】根據(jù)可得是的兩個不相等的實數(shù)根，即可利用韋達定理求解.【詳解】由為非空集合可知，故，由于，故即，是的兩個不相等的實數(shù)根，故且，解得或（舍去），故，故答案為：題型5子集型最值與求參5單元素與集合以及集合與集合子集關系的判斷，解題的關鍵是正確理解所給的定義及熟練運用分類討論的思想進行列舉公式法求有限集合的子集個數(shù)(1)含n個元素的集合有2n個子集．(2)含n個元素的集合有(2n－1)個真子集．(3)含n個元素的集合有(2n－1)個非空子集．(4)含n個元素的集合有(2n－2)個非空真子集．集合子集求參題型，往往存在著思維和計算的一個“坑”，即若有，則要討論集合B是否是空集。所以思考子集，要有“從空集開始到自身結束”這個“順序感”：子集是從“從空集開始，到自身結束”1．（24-25高三·遼寧遼陽·模擬）我們將集合S的子集為元素的集合稱為S的一個子集族.例如集合有3個子集族：.若集合B中有3個元素，則B的不同子集族有（

）A．128個 B．127個 C．256個 D．255個【答案】D【分析】我們定義全子集族為：子集族內(nèi)的集合加上空集本身，先得出集合的子集個數(shù)，類比可得不同全子集族、不同子集族個數(shù).【詳解】我們定義全子集族為：子集族內(nèi)的集合加上空集本身，一般地，設集合中有個元素，則它有個子集，我們對所有子集按元素個數(shù)分類為：，則集合不同的全子集族個數(shù)為個，從而集合不同的子集族個數(shù)為個，若集合B中有3個元素，從而B的不同子集族有個.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于對新定義的理解，由此即可順利得解.2．（2025·江西萍鄉(xiāng)·三模）已知集合，，，若集合C有3個真子集，則實數(shù)m的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合有3個真子集可得中有兩個不同的元素，故求出的范圍后可得正確的選項.【詳解】因為有3個真子集，所以中有2個元素，故中有兩個元素，故且，則，解得且.故選：C.3．（2025·陜西安康·模擬預測）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根據(jù)集合間的關系得出參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C.4．（2025·重慶九龍坡·三模）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求得，由已知可得，進而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，解得，所以，由，可得，又，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.5．（24-25高一上·山東煙臺·階段練習）若集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再分類討論求出集合，利用求出的取值范圍即可得到結果．【詳解】依題意，或，當時，顯然不成立，即，滿足，因此；當時，，由，得，解得；當時，，由，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A題型6交集型最值與求參5單交集運算時，要注意交集運算的一些基本性質：①A∩B_A；②A∩BB；③A∩A＝A；

④A∩＝；⑤A∩B=B∩A.．1．（2025·福建廈門·三模）已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在時，恒成立，將問題轉化為求在上的最小值，從而可求出的取值范圍.【詳解】由，得，解得，所以，因為，，所以當時，恒成立，即恒成立，令，，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B2．（24-25高三下·廣西·開學考試）已知集合，現(xiàn)將中的元素從小到大依次排列，則第20個元素為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件觀察歸納可得，由此可得答案.【詳解】數(shù)列中的項為：，經(jīng)檢驗，數(shù)列中的都是數(shù)列中的項，觀察歸納可得，所以中元素從小到大依次排列的第20個元素為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)已知條件觀察規(guī)律，由此求得集合.3．（24-25高二上·陜西渭南·階段練習）已知函數(shù)的值域為，的值域為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，函數(shù)可看成點到點和點的距離之和，函數(shù)可看成過點和點的直線斜率，而點為上的點，分別求出值域即可.【詳解】由題意，，上式可看成點到點和點的距離之和，點關于軸的對稱點為，則，所以函數(shù)的值域為，，可看成過點和點的直線斜率，由于，所以點為上的點，如圖，當直線過時，，當直線與曲線相切時，設直線，則，得，所以的值域，所以.故選：D【點睛】關鍵點點睛：函數(shù)可看成點到點和點的距離之和，函數(shù)可看成過點和點的直線斜率，而點為上的點，分別求出值域即可.4．（20-21高一上·四川眉山·階段練習）設，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”.那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定與是兩個不同的“理想配集”）的個數(shù)是（

）A．16 B．9 C．8 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，子集和不可以互換，從子集分類討論，結合計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，對子集分類討論：當集合，集合可以是，共4種結果；當集合，集合可以是，共2種結果；當集合，集合可以是，共2種結果；當集合，集合可以是，共1種結果，根據(jù)計數(shù)原理，可得共有種結果.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合新定義及其應用，其中解答正確理解題意，結合集合子集的概念和計數(shù)原理進行解答值解答額關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.5．（24-25高三下·重慶·階段練習）設集合，，若只含一個元素，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩集合中，點的屬性即可判斷.【詳解】集合表示直線上及上側所有點，集合表示圓心在，半徑為1的圓上所有的點，又與相切，所以若只含一個元素，則，故選：C．題型7并集型最值與求參并集：集合并集運算的一些基本性質：(1)在進行集合運算時，若條件中出現(xiàn)A∪B＝B，應轉化為A?B，然后用集合間的關系解決問題，并注意A＝?的情況．(2)集合運算常用的性質：A∪B＝B?A?B；1．（24-25高一上·上?！て谥校┰O是均含有2個元素的集合，且，記，則B中元素個數(shù)的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先得到與的元素不同，則元素個數(shù)為4，從中選擇1個元素，再加入一個新元素，即可得到中元素個數(shù)最少，求解即可．【詳解】，，與的元素不同，則元素個數(shù)為4，若中元素個數(shù)的最小值是4，則只能是，，與矛盾，若從中選擇1個元素，再加入一個新元素，這樣元素個數(shù)為5個，這5個元素適當排列，得到，，，，例如，，，取，，，，符合題意，則中元素個數(shù)的最小值是，故選：B．【點睛】方法點睛：由已知，元素個數(shù)為4，從開始討論中是否還要增加元素，最少增加幾個能滿足題意.2．（2025高三·全國·專題練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合A，B，再由集合的并集、補集運算求解.【詳解】因為，，所以，，故選：C3．（2025·甘肅金昌·模擬預測）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求它們的交集.【詳解】，，則，，故.故選:D.4．（2024高一上·全國·專題練習）若集合A滿足對任意，，都有，則稱A為“S集”．若，，，為四個S集，且，則正整數(shù)的最大可能值為（

）A．66 B．67 C．68 D．69【答案】B【分析】首先觀察本題中A集合中只考慮整數(shù)，故首先考慮A集合中所含最小正整數(shù)1，其次考慮第二個整數(shù)2．則第三個整數(shù)應為4，以此類推得到后續(xù)整數(shù)滿足規(guī)律．同理當A集合中所含第一個整數(shù)1，第二個整數(shù)3，發(fā)現(xiàn)后續(xù)整數(shù)為所有正奇數(shù)．從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【詳解】考慮到最后與取交集，則集合A中只考慮整數(shù)．①假設A集合中所含第一個整數(shù)為1，第二個整數(shù)為2，則以此類推后續(xù)整數(shù)為,故觀察規(guī)律發(fā)現(xiàn)從第三個數(shù)開始滿足，；②假設A集合中所含第一個整數(shù)為1，第二個整數(shù)為3，則后續(xù)整數(shù)為故觀察規(guī)律發(fā)現(xiàn)從第一個數(shù)字開始滿足，；則最大整數(shù)可能值既滿足又滿足，令，則可發(fā)現(xiàn)我們需要尋找的最大整數(shù)為，其中即是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，故為6的倍數(shù)，由此可得最大整數(shù)，，代入選項發(fā)現(xiàn)B選項滿足題意．故選：B．5．（2023·上海普陀·一模）設、、、、是均含有個元素的集合，且，，記，則中元素個數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對的取值由小到大進行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.【詳解】解：設、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.①假設集合中含有個元素，可設，則，，這與矛盾；②假設集合中含有個元素，可設，，，，，滿足題意.綜上所述，集合中元素個數(shù)最少為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合元素個數(shù)的最值的求解，解題的關鍵在于對集合元素的個數(shù)由小到大進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.題型8全集與補集型最值與求參全集與補集運算的性質：1．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同時滿足：①若，則；②若，則.則集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、無限制，列舉出滿足條件的集合，即可得解.【詳解】因為，，由題意可知，若，則，若，則，若，則，若，則，、沒有限制，綜上所述，滿足條件的集合可為：、、、、、、、、、、、、、、、，共個，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于分析出元素與集合的關系，然后利用列舉法求解.2．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習）若全集，集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交并補集的運算結果，結合選項依次驗證即可判斷.【詳解】A：若，則，所以，與矛盾，故A錯誤；B：若，則，所以，與矛盾，故B錯誤；C：若，則，由，得，所以，與矛盾，故C錯誤；D：若，則，由，得，所以，故D正確.故選：D3．（2025·全國·模擬預測）已知集合，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式不等式求解集合A及，然后按照和分類討論，根據(jù)集合的關系列不等式組求解即可.【詳解】因為，所以，所以或，所以或，所以，當時，，解得，滿足；當時，要使，則，解得，綜上，，即的取值范圍是.故選：D.4．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求解集合，再得到，然后根據(jù)，即可求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以或，所以，所以，因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：.5．（24-25高三下·甘肅張掖·階段練習）已知集合，若，則實數(shù)取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合計算，利用求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，.由得，，∴或，∴，解得.故選：A.題型9韋恩圖應用韋恩圖：（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線．（2）Venn圖表示集合時，能夠直觀地表示集合間的關系，但集合元素的公共特征不明顯．1．（24-25高三·上海浦東新·階段練習）定義，設、、是某集合的三個子集，且滿足，則是的（

）A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】作出示意圖，由可知兩個陰影部分均為，根據(jù)新定義結合集合并集的運算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】如圖，由于，故兩個陰影部分均為，于是，（1）若，則，，而，成立；（2）反之，若，則由于，，，，，故選：A

【點睛】本題主要考查集合并集的運算以及充分條件與必要條件的定義，考查了分類討論、數(shù)形結合思想的應用，屬于較難題.2．（24-25高三上·上海·階段練習）定義集合運算；將稱為集合A與集合的對稱差，命題甲：；命題乙：則下列說法正確的是（

）A．甲乙都是真命題 B．只有甲是真命題C．只有乙是真命題 D．甲乙都不是真命題【答案】B【分析】根據(jù)對稱差集合的定義和集合的運算將變形即可判斷命題甲；對于乙，畫出和的圖示即可判斷.【詳解】對于甲，，故命題甲正確；對于乙，如圖所示：所以，，故命題乙不正確.故選：.【點睛】關鍵點點睛：對于集合新定義問題，關鍵是理解新定義，利用韋恩圖結合集合的運算，利用數(shù)形結合判斷.3．（2025高三·全國·專題練習）某小學對小學生的課外活動進行了調(diào)查．調(diào)查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有人，參加唱歌課外活動的有人，參加體育課外活動的有人，三種課外活動都參加的有人，選擇兩種課外活動參加的有人，不參加其中任何一種課外活動的有人．則接受調(diào)查的小學生共有（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】A【分析】作出韋恩圖，將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學生分別用集合、、表示，不妨設總人數(shù)為，選擇舞蹈和唱歌的人數(shù)為，選擇舞蹈和體育的人數(shù)為，選擇唱歌和體育的人數(shù)為，利用容斥原理可求得的值，即為所求.【詳解】如圖所示，用Venn圖表示題設中的集合關系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學生分別用集合、、表示，則，，，．

不妨設總人數(shù)為，選擇舞蹈和唱歌的人數(shù)為，選擇舞蹈和體育的人數(shù)為，選擇唱歌和體育的人數(shù)為，則，，，．由三個集合的容斥關系公式得，解得，故接受調(diào)查的小學生共有人．故選：A.4．（24-25高三上·上?！るA段練習）對于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)新定義，畫出韋恩圖即可求解.【詳解】由題意指圖（1）中陰影部分構成的集合，同樣指圖（2）中陰影部分構成的集合，，故選：A.5．（24-25高三上·遼寧·期中）已知集合為全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取，可得出，可判斷A選項；取，可判斷B選項；根據(jù)，可判斷C選項；根據(jù)，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則、均不為空集，因為，所以，當時，則，

又因為為的真子集，A錯；對于B選項，若，則，B錯；

對于C選項，因為，所以，，C錯；對于D選項，因為，所以，，D對.故選：D.題型10交并補集綜合型1．（2025高三·全國·專題練習）已知滿足（且）的有序集合組（A，B）的個數(shù)為32，則．【答案】3【分析】由題意作出韋恩圖，根據(jù)集合的運算，結合計數(shù)原理解題即可.【詳解】由題意作出韋恩圖如圖，因為，所以全集中不屬于交集的元素有個，剩余的元素屬于集合或，但不能同時屬于兩者，每個剩余元素有兩種選擇，因此總分配方式為，所以，解得．故答案為：32．（23-24高一上·北京·期中）定義集合的“長度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，則集合的“長度”的最小值是；若，集合的“長度”大于，則n的取值范圍是.【答案】/【分析】空1：根據(jù)區(qū)間長度定義得到關于的不等式組，再分類討論即可；空2：代入得到，再根據(jù)區(qū)間長度大于，得到關于的不等式組，解出即可.【詳解】集合，，且M，N都是集合的子集，由，可得，由，可得．要使的“長度”最小，只有當取最小值、取最大或取最大、取最小時才成立.當，，，“長度”為，當，，，“長度”為，故集合的“長度”的最小值是；若，，要使集合的“長度”大于，故或即或又，故.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是充分理解區(qū)間長度的定義，再根據(jù)交并集的含義得到不等式組，結合分類討論的思想即可.3．（23-24高三上·浙江金華·階段練習）從集合的非空子集中隨機取出兩個不同的集合，則在的條件下，恰有1個元素的概率為.【答案】【分析】按照要求分類討論并結合組合數(shù)公式、條件概率公式計算即可.【詳解】由題意若恰有1個元素，則分以下四種情形進行討論：情形一：若中有一個元素，則中至少有三個元素，此時滿足的情況有種，而滿足恰有1個元素的有種；情形二：若中有兩個元素，則中至少有兩個元素，此時滿足的情況有種，而滿足恰有1個元素的有種；情形三：若中有三個元素，則中至少有一個元素，此時滿足的情況有種，而滿足恰有1個元素的有種；情形四：若中有四個元素，則中至少有一個元素，且注意到集合不同，此時滿足的情況有種，而滿足恰有1個元素的有種；故由條件概率公式可得：恰有1個元素的概率為.故答案為：.4．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的定義域為，集合．當時，；若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】或【詳解】要使函數(shù)有意義，則解得，所以集合．因為，所以，所以或，所以或．因為，所以①當時，，即，滿足題意；②當時，解得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．5．（24-25高一上·四川綿陽·階段練習）已知或，，若，則m的取值范圍是.【答案】【分析】求出，由建立不等式即可得解.【詳解】由或，可得，因為，，所以且，解得，故答案為：題型11集合新定義型綜合解新定義題型的步驟：（1）理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.1．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和為奇數(shù)，稱M為A的奇子集，則A的所有“奇子集元素之和”的總和為.【答案】【分析】設為的奇子集，中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，分析得的奇子集與偶子集個數(shù)相等；計算奇子集元素之和時，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和.【詳解】設為的奇子集，則若，令，若，令為把中的去掉后剩下的元素形成的集合，則中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，顯然每個奇子集，均恰有一個偶子集與之對應，每個偶子集，均恰有一個奇子集與之對應，故的奇子集與偶子集個數(shù)相等；對任一，含的子集共有個，用上面的對應方法可知，在時，這個子集中有一半為奇子集，在時，由于，將