《管理統(tǒng)計學》習題及標準答案一、習題（一）描述統(tǒng)計基礎某制造企業(yè)為分析員工收入結構，隨機抽取50名生產(chǎn)員工的月收入（單位：元）數(shù)據(jù)如下：52005800630068007200750055005900640069007300760057006100650070007400770053006000660071007800540062006700790081008300850051005600600065007000750080008200840086005000570061006600710076008100830087008800要求：1.對上述數(shù)據(jù)進行分組整理，編制頻數(shù)分布表（組距為1000元，第一組下限為5000元），計算頻率、累計頻數(shù)和累計頻率；2.計算該樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；3.計算樣本標準差和變異系數(shù)；4.計算偏態(tài)系數(shù)（使用皮爾遜偏態(tài)系數(shù)公式），并判斷數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)方向。（二）參數(shù)估計某連鎖超市為評估顧客單次消費金額，隨機抽取120名顧客進行調(diào)查，測得樣本平均消費金額為185元，樣本標準差為32元。要求：1.以95%的置信水平估計該超市顧客單次消費金額的總體均值置信區(qū)間；2.若超市希望將允許誤差控制在5元以內(nèi)（95%置信水平），至少需要抽取多少名顧客進行調(diào)查？（已知總體標準差未知，使用樣本標準差替代）（三）假設檢驗某食品加工廠宣稱其生產(chǎn)的某款糕點平均重量為200克，標準差為5克。質(zhì)檢部門隨機抽取36塊糕點，測得平均重量為198克。要求：1.以α=0.05的顯著性水平檢驗該廠家的宣稱是否成立（雙側(cè)檢驗）；2.若實際總體均值為197克，計算該檢驗的功效（β錯誤的概率）。（四）單因素方差分析某電商公司為測試不同廣告投放策略的效果，選擇A、B、C三種策略在三個區(qū)域投放，連續(xù)10天記錄各區(qū)域的日銷售額（單位：萬元），數(shù)據(jù)如下：A策略：12.513.214.113.812.913.514.313.712.813.6B策略：15.214.816.115.514.915.716.315.914.715.4C策略：11.812.311.512.111.912.411.712.211.612.0要求：1.建立方差分析表（包括平方和、自由度、均方、F統(tǒng)計量）；2.以α=0.05的顯著性水平檢驗三種廣告策略的銷售額是否有顯著差異。（五）簡單線性回歸分析某企業(yè)為研究廣告費投入與月銷售額的關系，收集了過去12個月的相關數(shù)據(jù)（單位：萬元），如下表所示：|廣告費（x）|10|15|20|25|30|35|40|45|50|55|60|65||------------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||銷售額（y）|80|95|110|125|140|155|170|185|200|215|230|245|要求：1.計算廣告費與銷售額的相關系數(shù)；2.建立銷售額對廣告費的一元線性回歸方程；3.計算判定系數(shù)R2，并解釋其經(jīng)濟意義；4.檢驗回歸系數(shù)的顯著性（α=0.05）；5.預測當廣告費投入為70萬元時，銷售額的置信區(qū)間（α=0.05，已知x的均值為37.5，x的離均差平方和為4550，y的估計標準誤差為2.1）。二、標準答案（一）描述統(tǒng)計基礎1.頻數(shù)分布表編制（組距=1000元，第一組[5000,6000)）：|收入?yún)^(qū)間（元）|頻數(shù)（f）|頻率（%）|累計頻數(shù)|累計頻率（%）||----------------|-----------|-----------|----------|---------------||[5000,6000)|12|24.0|12|24.0||[6000,7000)|15|30.0|27|54.0||[7000,8000)|11|22.0|38|76.0||[8000,9000)|12|24.0|50|100.0|注：各組為左閉右開區(qū)間，如[5000,6000)包含5000≤x<6000的數(shù)據(jù)。2.集中趨勢計算：-算術平均數(shù)（\(\bar{x}\)）：\(\bar{x}=\frac{\sumx_i}{n}=\frac{5200+5800+\dots+8800}{50}=\frac{367500}{50}=7350\)元。-中位數(shù)（\(M_e\)）：數(shù)據(jù)排序后，第25、26位數(shù)據(jù)分別為7100和7200，故\(M_e=\frac{7100+7200}{2}=7150\)元。-眾數(shù)（\(M_0\)）：觀察頻數(shù)分布表，[6000,7000)組頻數(shù)最高（15），為眾數(shù)所在組。眾數(shù)計算公式：\(M_0=L+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}\timesd\)其中，\(L=6000\)，\(\Delta_1=15-12=3\)，\(\Delta_2=15-11=4\)，\(d=1000\)，故\(M_0=6000+\frac{3}{3+4}\times1000\approx6428.57\)元。3.離散程度計算：-樣本標準差（s）：首先計算離均差平方和：\(\sum(x_i-\bar{x})^2=(5200-7350)^2+(5800-7350)^2+\dots+(8800-7350)^2=12,345,000\)樣本標準差\(s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{12,345,000}{49}}\approx502.91\)元。-變異系數(shù)（CV）：\(CV=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%=\frac{502.91}{7350}\times100\%\approx6.84\%\)。4.偏態(tài)系數(shù)（皮爾遜公式）：皮爾遜偏態(tài)系數(shù)\(SK=\frac{3(\bar{x}-M_e)}{s}=\frac{3(7350-7150)}{502.91}\approx\frac{600}{502.91}\approx1.19\)。由于SK>0，數(shù)據(jù)呈右偏分布（正偏態(tài)）。（二）參數(shù)估計1.總體均值置信區(qū)間（95%置信水平）：樣本量n=120（大樣本），使用z分布，\(z_{\alpha/2}=1.96\)。置信區(qū)間公式：\(\bar{x}\pmz_{\alpha/2}\times\frac{s}{\sqrt{n}}\)代入數(shù)據(jù)：\(185\pm1.96\times\frac{32}{\sqrt{120}}\approx185\pm5.74\)，即(179.26,190.74)元。2.樣本量計算（允許誤差E=5元）：公式：\(n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\timess}{E}\right)^2\)代入數(shù)據(jù)：\(n=\left(\frac{1.96\times32}{5}\right)^2\approx\left(12.544\right)^2\approx157.35\)，向上取整為158名。（三）假設檢驗1.雙側(cè)檢驗步驟：-原假設\(H_0:\mu=200\)；備擇假設\(H_1:\mu\neq200\)。-檢驗統(tǒng)計量（大樣本，σ已知）：\(z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{198-200}{5/\sqrt{36}}=\frac{-2}{5/6}=-2.4\)。-臨界值：α=0.05，雙側(cè)檢驗臨界值\(z_{\alpha/2}=±1.96\)。-結論：|z|=2.4>1.96，拒絕原假設，認為廠家宣稱的平均重量不成立。2.檢驗功效計算（實際μ=197克）：-β錯誤為“取偽”概率，即當\(\mu=197\)時接受\(H_0\)的概率。-接受\(H_0\)的條件：\(198-1.96\times\frac{5}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq198+1.96\times\frac{5}{\sqrt{36}}\)，即(196.37,199.63)。-當實際μ=197時，計算z值：\(z=\frac{196.37-197}{5/\sqrt{36}}=\frac{-0.63}{0.833}\approx-0.756\)；\(z=\frac{199.63-197}{5/\sqrt{36}}=\frac{2.63}{0.833}\approx3.16\)。-β=P(-0.756≤Z≤3.16)=Φ(3.16)-Φ(-0.756)≈0.9992-0.2246=0.7746，故檢驗功效=1-β≈0.2254（22.54%）。（四）單因素方差分析1.方差分析表構建：-計算各組均值：\(\bar{x}_A=\frac{12.5+13.2+\dots+13.6}{10}=13.44\)；\(\bar{x}_B=\frac{15.2+14.8+\dots+15.4}{10}=15.4\)；\(\bar{x}_C=\frac{11.8+12.3+\dots+12.0}{10}=12.0\)；總均值\(\bar{x}=\frac{13.44\times10+15.4\times10+12.0\times10}{30}=13.61\)。-平方和計算：組間平方和（SSA）：\(\sumn_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2=10\times(13.44-13.61)^2+10\times(15.4-13.61)^2+10\times(12.0-13.61)^2=10\times(0.0289+3.2041+2.5921)=10\times5.8251=58.251\)；組內(nèi)平方和（SSE）：\(\sum\sum(x_{ij}-\bar{x}_i)^2\)，計算得A組=2.18，B組=2.74，C組=0.86，總SSE=2.18+2.74+0.86=5.78；總平方和（SST）=SSA+SSE=58.251+5.78=64.031。-自由度：組間自由度\(df_A=k-1=2\)；組內(nèi)自由度\(df_E=n-k=27\)；總自由度\(df_T=29\)。-均方：組間均方（MSA）=SSA/df_A=58.251/2≈29.126；組內(nèi)均方（MSE）=SSE/df_E=5.78/27≈0.214。-F統(tǒng)計量：\(F=MSA/MSE=29.126/0.214≈136.1\)。方差分析表：|誤差來源|平方和（SS）|自由度（df）|均方（MS）|F統(tǒng)計量||----------|--------------|--------------|------------|---------||組間|58.251|2|29.126|136.1||組內(nèi)|5.78|27|0.214|||總計|64.031|29|||2.顯著性檢驗：α=0.05，查F分布表得臨界值\(F_{0.05}(2,27)=3.35\)。由于F=136.1>3.35，拒絕原假設，認為三種廣告策略的銷售額有顯著差異。（五）簡單線性回歸分析1.相關系數(shù)（r）計算：公式：\(r=\frac{n\sumxy-\sumx\sumy}{\sqrt{[n\sumx^2-(\sumx)^2][n\sumy^2-(\sumy)^2]}}\)計算得：\(\sumx=450\)，\(\sumy=1950\)，\(\sumxy=76,500\)，\(\sumx^2=20,250\)，\(\sumy^2=351,250\)。代入公式：\(r=\frac{12\times76500-450\times1950}{\sqrt{[12\times20250-450^2][12\times351250-1950^2]}}=\frac{918000-877500}{\sqrt{(243000-202500)(4,215,000-3,802,500)}}=\frac{40500}{\sqrt{40500\times412500}}=1\)（注：因數(shù)據(jù)為嚴格線性關系，r=1）。2.回歸方程建立（\(\hat{y}=a+bx\)）：斜率b：\(b=\frac{n\sumxy-\sumx\sumy}{n\sumx^2-(\sumx)^2}=\frac{40500}{40500}=1\)；截距a：\(a=\bar{y}-b\bar{x}=\frac{1950}{12}-1\times\frac{450}{12}=162.5-37.5=125\)；回歸方程：\(\hat{y}=125+x\)。3.判定系數(shù)R2：由于r=1，故R2=r2=1，說明廣告費可以100%解釋銷售額的變動。4.回歸系數(shù)顯著性檢驗（t檢驗）：-原假設\(H_0:b=0\)；備擇假設\(H_1:b≠0\)。-檢驗統(tǒng)計量\(t=\frac{b-0}{s_b}\)，