【暑期預習銜接講義】20252026學年人教版九年級數(shù)學上冊第七講：二次函數(shù) （知識總結梳理+3大考點典例精講+變式訓練+高頻精煉）知識點01：二次函數(shù)的相關概念1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).2.判斷一個函數(shù)是否為二次函數(shù)的步驟：(1)將函數(shù)解析式右邊整理為含自變量的代數(shù)式，左邊是因變量的形式；(2)a，b，c為常數(shù)，且a≠0；(3)等號左邊是因變量y，右邊是關于自變量x的整式；(4)等式的右邊自變量的最高次數(shù)為2.知識點02：二次函數(shù)的一般形式二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)知識點03：思維導圖考點1：二次函數(shù)的識別【典型例題】下列函數(shù)表達式中，一定是二次函數(shù)的是（

）【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義，對選項逐一分析判斷即可．故選：C．【變式訓練1】下列各式中，二次函數(shù)的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．則二次函數(shù)的個數(shù)有2個，故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．【變式訓練2】下列實際問題中的與之間的函數(shù)解析式是二次函數(shù)的是（）A．正方體集裝箱的體積為，棱長為B．高為的圓柱形儲油罐的體積為，底面圓半徑為C．媽媽買烤鴨花費86元，烤鴨的質(zhì)量為千克，單價為元/千克【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項判斷即可．故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的定義去判斷．考點2：根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)【典型例題】A． B． C．2 D．不能確定【答案】B【詳解】解：由題意得故選：B．【變式訓練1】【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解．故選：C【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，由二次函數(shù)定義建立不等式是解題的關鍵．【變式訓練2】A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義及解一元二次方程，熟練掌握解二次函數(shù)的定義是解題關鍵．由二次函數(shù)的定義列出關于的一元二次方程和不等式，解方程與不等式即可．故選：A．考點3：列二次函數(shù)關系式【典型例題】【答案】D【分析】根據(jù)題意，先根據(jù)周長，將長方形的另一邊表示出來，再根據(jù)長方形的面積=長×寬，即可進行解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是掌握長方形的面積計算方法.【變式訓練1】一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關系式為（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【答案】D【分析】根據(jù)兩年后機器價值＝機器原價值×（1﹣折舊百分比）2可得函數(shù)解析式．【詳解】解：根據(jù)題意知y＝100（1﹣x）2，故選：D．【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖像要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．【變式訓練2】某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是，經(jīng)過兩次降價后的價格（單位：元）隨每次降價的百分率的變化而變化，與之間的關系為（

）【答案】C【分析】根據(jù)每次降價的百分率都是，經(jīng)過兩次降價后的價格，列出函數(shù)關系式即可求解．故選：C．【點睛】本題考查了列二次函數(shù)關系式，根據(jù)題意列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．一、單選題1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義，對選項逐一分析判斷即可．故選：A．A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠一3 C．a(chǎn)≠3且a≠0 D．a(chǎn)≠3【答案】D故選D.【點睛】考查二次函數(shù)的定義，形如y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)稱為二次函數(shù)；3．已知y=（m+2）+2是關于x的二次函數(shù)，那么m的值為（）A．2 B．2 C．±2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)形如y=a+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)，可得答案．【詳解】解：∵y=（m+2）+2是y關于x的二次函數(shù)，∴|m|=2且m+2≠0，解得m=2，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關鍵是二次項的系數(shù)不能為0．4．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≠0【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為0可得關于a的不等式，解不等式即得答案．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，屬于基礎題型，掌握二次函數(shù)的概念是關鍵．5．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的定義．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關鍵條件．共有2個二次函數(shù)，故選：B．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)．解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的定義，要注意二次項系數(shù)不等于0的條件不能漏．根據(jù)二次項系數(shù)不等于0，二次函數(shù)的最高指數(shù)為2列出方程組，求出m的值即可．故選：C．7．矩形的周長為12cm，設其一邊長為xcm，面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關系式及其自變量x的取值范圍均正確的是（）A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）【答案】D【分析】已知一邊長為xcm，則另一邊長為（6x）cm，根據(jù)矩形的面積公式即可解答．【詳解】解：已知一邊長為xcm，則另一邊長為（6x）cm．則y=x（6x）化簡可得y=x2+6x，（0＜x＜6），故選：D．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式的知識，解題的關鍵是用x表示出矩形的另一邊，此題難度一般．【答案】D故選：D．【點睛】題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式，用含的代數(shù)式分別表示出每件利潤及銷售量是解題的關鍵．二、填空題【答案】3故答案為：3．10．正方形邊長為3，若邊長增加，那么面積增加，則與之間的函數(shù)關系式是．【分析】增加的面積新正方形的面積原正方形的面積，把相關數(shù)值代入化簡即可．【點睛】考查列二次函數(shù)關系式；得到增加的面積的等量關系是解決本題的關鍵．【答案】5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求出m的值．故答案為：5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用二次函數(shù)的定義得出方程是解題關鍵．12．已知二次函數(shù)y＝1﹣5x＋3x2，則二次項系數(shù)a＝，一次項系數(shù)b＝，常數(shù)項c＝．【答案】351【詳解】解：二次函數(shù)y＝1﹣5x+3x2，則二次項系數(shù)a＝3，一次項系數(shù)b＝﹣5，常數(shù)項c＝1，故答案為：3，﹣5，1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的定義是解題關鍵．【答案】②④/④②【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2，二次項系數(shù)不為0，逐一判斷．⑤函數(shù)式為分式，不是二次函數(shù)．故答案為②④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否屬于二次函數(shù)是解決本題的關鍵．【答案】敏敏故敏敏正確．【分析】根據(jù)增加的面積=新面積原面積即可求解，根據(jù)結果的形式可以判斷函數(shù)類型．【詳解】y=(2+x)(1+x)?2×1=x2+3x，是二次函數(shù).【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，熟練掌握二次函數(shù)的概念是解題的關鍵.三、解答題16．指出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．函數(shù)解析式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項【答案】見解析【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的解析式處理．【詳解】解：函數(shù)解析式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項2010100【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，理解二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．17．已知函數(shù)y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應怎樣？【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義求解．【詳解】解：（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義，得：m2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴當m=0時，這個函數(shù)是一次函數(shù)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴當m1≠0，m2≠1時，這個函數(shù)是二次函數(shù)．【點睛】考點：二次函數(shù)的定義；一次函數(shù)的定義(1)求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關于k所滿足的式子，求解即可；∴k